מתמטיקה, שירה וקסמים

מתמטיקה היא דבר מועיל מאין כמותו. כל המדע המודרני מבוסס עליה. ובכל זאת, אם תשאלו מתמטיקאי מה מושך אותו לעסוק במקצועו, תקבלו תשובה אחידה: יופי. “אין מקום תחת השמיים למתמטיקה מכוערת”, אמר המתמטיקאי האנגלי הרדי.

במיוחד, יש המשווים את היופי של המתמטיקה ליופי של השירה. “מתמטיקאי שאינו גם קצת משורר איננו מתמטיקאי מושלם”, אמר המתמטיקאי הגרמני קרל ווירשרטאס (\({1897 – 1815}\)). “אוקלידס היה היחיד שראה את היופי בעירומו” העידה המשוררת האמריקנית עדנה וינסנט מיליי. כיצד ייתכן הדבר? המתמטיקה עוסקת במציאת סדר בעולם החומרי. שירה עוסקת ברגשות. מה הקשר בין השתיים?

במאמר הזה אגע בשאלה הזאת על קצה המזלג. הקטעים הבאים לקוחים מספר שהקדשתי לנושא, “מתמטיקה, שירה ויופי”, שפורסם בהוצאת הקיבוץ המאוחד ב-\({2008}\).

1. כייסים הפוכים

את התשובה לשאלה מהו המשותף בין היופי בשירה ובמתמטיקה אפשר לסכם במילה אחת: קסמים.

“קסם” פירושו שאינך יכול לעקוב אחר המתרחש. הדברים קורים מהר מדי. איננו מבינים עד הסוף. כאשר מופיע פתרון לא צפוי לבעיה מתמטית, כאילו “משום מקום”, אנחנו חשים יופי, משום שאיננו מבינים לגמרי. הקרקע נשמטה תחת רגלינו. גם בשירה זה קורה, אלא ששם זו אינה תופעת לוואי. זוהי המטרה. השיר חותר לכך שנקלוט את המסר בלי לדעת שקלטנו. שיר הוא כייס, שבמקום לגנוב משהו, מכניס לנו משהו לכיס בלי שנרגיש. השיר רוצה שנקלוט משהו מבלי משים.

2. למה שירים הם (לפעמים) בחרוזים?

עד לפני כמאה שנים רוב השירה הייתה בחריזה, וגם כיום שירה כתובה במשקל, כלומר קצב הטעמות קבוע. האם שאלתם את עצמכם אי פעם מדוע?

התשובה לא צפויה – זה נעשה להסחת דעת. תשומת הלב של השומע מופנה לצד החיצוני – לתבנית החוזרת של הצלילים. זה נעים, וזה מרדים, כמו נענוע של ערישה. וכשתשומת הלב מופנית לצורה החיצונית, קל יותר להעביר את המסרים. הכייס יכול לעשות את עבודתו באין מפריע.

החריזה והמשקל אינן התחבולות היחידות. יש עוד רבות, ועל כמה מהן נספר כאן. אבל לפני כן, אדגים את עניין ה”קסמים” במתמטיקה.

3. כמה משחקים יש בטורניר גביע

הנה דוגמה לפתרון יפה לבעיה מתמטית. משהו נראה כבלגן, ואז מופיע סדר בלתי צפוי.

“טורניר גביע” הוא תחרות שבה השחקנים מתחלקים לזוגות, כל זוג עורך משחק, והמנצח עולה לשלב הבא. שאלה: כמה משחקים ייערכו בטורניר שבו משתתפים \({16}\) שחקנים? בואו נעקוב אחר הסיבובים. בסיבוב הראשון יסתדרו \({16}\) השחקנים ב-8 זוגות. 8 משחקים יתקיימו, ו-8 שחקנים יעלו לשלב הבא. 8 השחקנים שעלו לסיבוב השני יסתדרו ב-4 זוגות, וישחקו 4 משחקים. בסיבוב השלישי יהיו 2 משחקים, וברביעי, שבו נקבע מחזיק הגביע, 1. יחד: \({15}\). \({16}\) הוא חֶזְקה של 2 – הוא \({2^4}\). משום כך בכל סיבוב אפשר היה לסדר את כל השחקנים בזוגות. אבל אפשר לקיים טורניר גם עם מספר שחקנים שאינו חֶזקה של 2. במקרה זה, יש סיבובים שבהם מספר השחקנים אינו זוגי, ואי אפשר לחלק את כולם לזוגות. כאשר דבר זה קורה, מתחלקים השחקנים לזוגות פרט לשחקן אחד, והשחקן העודף עולה לסיבוב הבא בלי לשחק. כמה משחקים ייערכו אז?

בואו ואֲלמֵד אתכם את סודם העיקרי של המתמטיקאים, סוד שהם מחלקים עם המשוררים ואשר נחזור אליו שוב ושוב: הם חושבים בדוגמאות. המתמטיקה אומנם מופשטת, אבל אל ההפשטות מגיעים מדוגמאות. המתמטיקאים גם יודעים שככל שהדוגמה פשוטה כן ייטב. אין דבר כזה, “דוגמה פשוטה מדי”. ובכן, הדוגמה הפשוטה ביותר היא של שחקן אחד. במקרה זה, כמובן, אין כלל מִשחקים והשחקן היחיד מוכרז כמנצח. כשיש שחקן אחד מספר המשחקים הוא אפוא 0. בדוגמה הבאה בתור בפשטותה, תחרות עם 2 שחקנים, יש משחק אחד. כשיש 3 שחקנים מתקיימים שני משחקים: משחק בין זוג, ואחריו עוד משחק בין המנצח בסיבוב הראשון ובין השחקן שהמתין בצד. נתקדם מעט וניקח כדוגמה טורניר של \({10}\) שחקנים. בסיבוב הראשון יתקיימו 5 משחקים, ו-5 שחקנים יעלו לשלב הבא. בסיבוב השני ישחקו 2 זוגות, ושחקן אחד יעלה ללא משחק. בסיבוב זה יתקיימו אפוא 2 משחקים, ויעלו 3 שחקנים. בסיבוב הבא ישחקו 2 מתוך ה-3 משחק אחד, ויעלו שני שחקנים – המנצח במשחק, והשחקן שלא שיחק. בסיבוב האחרון ייערך משחק אחד בין אותם שני שחקנים.

tournament

בסיבוב הראשון נערכו 5 משחקים, בשני 2, בשלישי 1 וברביעי 1.

יחד: \({9}\). זה לא היה קשה במיוחד, אבל במקרה של \({1000}\) שחקנים החישוב יהיה כבר קשה ומייגע. האם יש דרך קלה יותר? שימו לב שבכל המקרים האלה מספר המשחקים היה שווה למספר השחקנים, פחות 1. יש לשער שזה אינו מקרה, כלומר שיש לכך סיבה. מתבקש לשער שהדבר נכון תמיד: מספר המשחקים תמיד קטן באחד ממספר השחקנים. השערה טובה היא שלב מכריע בכל תגלית, אבל היא דורשת הוכחה. במקרה זה, כדי להבין את הסיבה לנכונותה של ההשערה צריך לראות את התמונה מזווית אחרת, כלומר לבצע התקה: מהתבוננות במנצחים להתבוננות במפסידים. לצורך הדוגמה נתבונן במקרה שבו משתתפים בטורניר \({1000}\) שחקנים. כל אחד מ-\({999}\) השחקנים שלא זכו בגביע הפסיד בדיוק פעם אחת: היה בדיוק משחק אחד שבו “הועף” מן הטורניר. כיוון שבכל משחק יש מפסיד אחד בדיוק, כדי ש-\({999}\) שחקנים יפסידו, נחוצים \({999}\) משחקים! ללא ספק, הרבה יותר פשוט.

כאשר נמצא מפתח לפתרון בעיה, בדרך כלל הוא פותח דלתות רבות נוספות. הוא מספק תשובה לא רק לשאלה המקורית, אלא גם לשאלות כלליות יותר. במקרה זה, אפשר למשל להכליל את חוקי התחרות: בכל שלב משחקים כמה זוגות (לא חשוב כמה, העיקר שלפחות זוג אחד משחק), ולשלב הבא עולים המנצחים במשחקים אלה, וכן כל השחקנים שלא שיחקו. לא מאוד הוגן, משום שלחלק מן השחקנים יש חיים יותר קלים מלאחרים, אבל לגיטימי, לפחות מבחינה מתמטית. כמה משחקים נערכים במקרה זה? ובכן, גם בנוסח הזה מפסיד כל שחקן, פרט לזוכה בטורניר, בדיוק במשחק אחד, ועל כן מתקבלת אותה תשובה: מספר המשחקים הוא כמספר היוצאים מן התחרות. כלומר, כמספר השחקנים פחות 1.

באבחת חשיבה אחת נפתרה בעיה שנראתה ממבט ראשון מורכבת ומסובכת. כבמעין קסם הופיע רעיון חדש, של הסתכלות במפסידים במקום במנצחים, והכול התבהר. תחושת הקסם נובעת מכך שהכול קורה מהר מדי, ואיננו מצליחים לעקוב עד תום אחרי המפנה שהתרחש.

4. שתי תחבולות שיריות

התחבולה המוכרת ביותר של השירה, והמזוהה איתה יותר מכל תחבולה אחרת, היא המטפורה. מטפורה היא “השאלה”. לוקחים תבנית מוכרת ממקום אחד, ומשתמשים בה במקום שני. למשל, “ללכת על קרח דק”, “להכות על הברזל בעודו חם”. בשפת היומיום יש לשימוש במטפורות שני יתרונות: בדרך כלל משתמשים בתמונות, ותמונות מבינים יותר טוב מאשר מילם מופשטות. שנית, אפשר להעביר תבנית שלמה במילים קצרות. במקום לבנות בניין חדש, מעבירים בניין קיים ממקום אחר. זה יכול לחסוך הרבה עבודה.

בשירה יש לשימוש במטפורות מטרה נוספת: המטפורה היא כמו קוסם שמפנה את תשומת ליבנו למה שהוא עושה ביד שמאל, כשאת התעלול הוא מבצע ביד ימין. אנחנו חושבים על המדמה, ואילו את המדומה אנחנו קולטים בלי משים.

כדוגמה אקח את מה שהוא קרוב לוודאי השיר הכי מפורסם בעולם. לא – אינני מתכוון ל”אל הציפור”, וגם לא ל”הכניסיני תחת כנפך”. השיר שזכה להכי הרבה תרגומים, ושידוע יותר מכל שיר אחר גם מחוץ לשפת המקור שלו, הוא “שיר הלילה של הנודד” של המשורר הגרמני יוהן וולפגנג גתה (\({1749}\) – \({1832}\)).

השיר הזה נכתב בתחילת תקופת הרומנטיקה, שחרתה על דגלה את האינדיבידואל. בספרות הרומנטית הופיעו דמויות סובלות, הנאבקות על האמת הפנימית שלהן. הגיבורים יצאו למסעות של גילוי עצמי – את החיפוש העצמי באמצעות נדודים בעולם לא המציאו התרמילאים של ימינו. גיבור “שיר הלילה של הנודד” הוא הלך, כנראה למוד אכזבות, או אף אוהב נכזב. השיר מתחזה בתחילתו לשיר טבע. עד השורה האחרונה, שנותנת לכל משמעות חדשה. מתברר בה שכל מה שרואים בחוץ מייצג למעשה את מה שקורה בפנים.

למעשה, זהו מהלך שמתחולל כמעט בכל שיר. כל שיר מתחיל בחוץ ומסיים בפנים, בתוך נפשו של הגיבור.

מֵעַל כָּל פְּסָגוֹת

דְּמָמָה,

בְּצַמְּרוֹת הָעֵצִים

לֹא תִּשְׁמַע

אִוְשַׁת רוּחַ

צִפֳּרִים שׁוֹתְקוֹת בַּסְּבַךְ

חַכֵּה, עוֹד מְעַט

גַּם אַתָּה תָּנוּחַ.

השיר מורכב משני חלקים. בשש השורות הראשונות מצוירת תמונה פסטורלית כביכול: פסגות הרים, צמרות עצים וציפורים. למעשה, זוהי תמונה מאיימת, משום שהכול שקט ודומם. לתחושת אי השקט מוסיף המשקל, המשתנה משורה לשורה, ונדמה שהוא משקף את הערעור הפנימי של הגיבור. אותו אפקט יש לחריזה, שאינה קבועה. לפעמים מתחרזת שורה עם השורה שאחריה, לפעמים מתחרזות שתי שורות שמופרדות על ידי שורה אחת, ובין ה”רוח” וה”תנוח” מפרידות שתי שורות. ולבסוף, בשתי השורות האחרונות, מתברר הכול: השקט המאיים אינו אלא שיקוף רצונו של הנודד למות. המוות מופיע בדרך סמלית, כמנוחה.

5. תפניות פתאומיות

השיר הזה משתמש בתחבולה נוספת: התפנית הפתאומית שמתחוללת בשורה האחרונה.

התחבולה הזאת, של שורה שבה כל המשמעות משתנה, מופיעה בשירים רבים. חוקר הספרות הישראלי מנחם פרי קרא לשירים כאלה “שירים מתהפכים”. הוא טען שיש הרבה יותר שירים מתהפכים מאשר נראה על פני השטח. למשל, לדעתו כרבע משירי ביאליק הם שירים מתהפכים.

מהו הקסם בזאת? כיצד גורמת התפנית הפתאומית לשומע לדעת משהו בלי לדעת עד תום? הסוד הוא בכך שכאשר התפנית מתרחשת, צריך להבין הרבה מאוד בבת אחת. פתאום נחוץ לפרש את כל מה שקרה עד כה בדרך אחרת. וכשזה קורה, אי אפשר להבין הכל, לפחות לא במודע. יותר מדי אינפורמציה אמורה להיקלט בבת אחת.

ממש כמו בפתרון יפה של בעיה מתמטית, שבו איננו יכולים להבין הכל כל כך מהר.

6. המקרה המוזר של הנמלים על המוט

רַק עַל עַצְמִי לְסַפֵּר יָדַעְתִּי

צַר עוֹלָמִי כְּעוֹלַם נְמָלָה.

(“רק על עצמי”, רחל (בלובשטיין), \({1890 – 1931}\))

בפתרון יפה של בעיה מתמטית קורה בדיוק אותו דבר שמתרחש בשירים מתהפכים: רעיון חדש מגיח כאילו משום מקום, ומבהיר את התמונה. אלא שהרעיון כל כך לא צפוי, שאיננו קולטים אותו במפורש ועד תומו. גם כשנפגוש בו שוב עדיין לא נקלוט את מלוא עומקו, ולכן הוא יכול להמשיך ולעורר בנו תחושת יופי. ממש כפי שאפשר ליהנות שוב ושוב משמיעה של סימפוניה של מוצרט – גם בפעם המאה איננו יכולים לפענח במפורש את כל הסדר שבה.

הנה עוד דוגמה מסוג זה. על מוט באורך מטר אחד נמצאות נמלים במספר כלשהו. הנמלים נעות – חלקן ימינה, חלקן שמאלה, אבל כולן באותה מהירות: בדיוק מטר אחד בדקה. המוט צר, כרוחב נמלה אחת, וכאשר שתי נמלים נפגשות אין הן יכולות להמשיך בדרכן. במקום זה הן מתנהגות כמו כדורי ביליארד שהתנגשו, כלומר כל אחת מהן הופכת את כיוונה וממשיכה בכיוון ההפוך, באותה מהירות.

ants1

כששתי נמלים נפגשות (איור שמאלי) הן הופכות כיוון (איור ימני)

מדי פעם גם מגיעה נמלה לקצה המוט, ואז היא נופלת ונעלמת לבלי שוב. שאלה: האם בסופו של דבר ייפלו כל הנמלים מן המוט? ואם כן, תוך כמה זמן?

ממבט ראשון, נראה שהדבר תלוי במצב ההתחלתי, כלומר במספר הנמלים על המוט ובמערך שלהן. אם יש הרבה נמלים, נראה שאם בכלל ייפלו כולן, זה עלול לקחת זמן רב. איך אפשר לבחון זאת? סודם הראשון של המתמטיקאים הוא הסתכלות בדוגמאות. כל חשיבה מתמטית מתנהלת כמשחק פינג-פונג מעודן בין דוגמאות והפשטות. ההבדל בין החבטות בכיוון המופשט והחבטות בכיוון הדוגמאות הוא שאת הדוגמאות אפשר לזַמֵן בצורה מודעת, בעוד שתהליך ההפשטה מתרחש ללא שליטה מודעת. משום כך נחוץ לפתוח בדוגמאות. כמובן, סיבה נוספת לכך היא שהדוגמאות הן חומר הגלם להפשטות. ובכן, הדוגמה הפשוטה ביותר היא זו של נמלה אחת. אם הנמלה נמצאת בקצה אחד של המוט והולכת לכיוון הקצה השני, היא תיפול תוך דקה. בכל מקרה אחר היא תיפול תוך פחות מדקה. אבל לא נגענו כאן עדיין במהות הבעיה משום שבמקרה זה לא היו התנגשויות. נתבונן אפוא בשתי נמלים, ונתחיל במקרה שבו, כך נדמה לפחות, ייקח להן זמן רב ליפול: שתיהן נמצאות בקצוות מנוגדים והולכות זו בכיוונה של זו.

ants2
כעבור חצי דקה הן תיפגשנה באמצע המוט, תהפוכנה כיוון, וכעבור עוד חצי דקה הן תיפולנה כל אחת באותו קצה שממנה יצאה. אם כך, שתיהן תיפולנה אחרי דקה אחת בדיוק. הנה דוגמה קצת יותר מסובכת: נמלה א’ נמצאת בקצה הימני, נמלה ב’ נמצאת בדיוק באמצע המוט, והן הולכות זו לקראת זו.

ants3
פגישתן תהיה במרחק רבע מטר מן הקצה הימני, ואחריה תלך נמלה א’ עוד רבע מטר ימינה, עד שתיפול מן הקצה הימני, ואילו נמלה ב’, שכבר הלכה רבע מטר, תלך שמאלה עוד שלושת רבעי המטר עד שתיפול בצד השמאלי. בסך הכול תעבור נמלה ב’ מטר אחד, ומאחר שהיא הולכת מטר בדקה, הדבר ייקח לה דקה. זה כבר מתחיל לעורר חשד. בכל הדוגמאות שבדקנו עד כה כל הנמלים נפלו מן המוט תוך דקה. אבל ייתכן שעלינו לעלות בדרגת הסיבוך ולהתבונן בשלוש נמלים. ניקח למשל מקרה שבו נמלה א’ נמצאת בקצה הימני והולכת שמאלה; נמלה ב’ נמצאת בקצה השמאלי והולכת ימינה; נמלה ג’ נמצאת בדיוק באמצע והולכת ימינה.

ants4
לאחר רבע דקה תיפגשנה א’ ו-ג’, ותהפוכנה את כיוון הליכתן. ברגע הפגישה של א’ ו-ג’ נמצאת ג’ במרחק שלושת רבעי המטר מצד שמאל, ואילו ב’ נמצאת במרחק רבע מטר מצד שמאל. הנה כך:

ants5
לאחר שתהפוך את כיוונה, א’ תיפול עד מהרה בקצה הימני. נמלים ב’ ו-ג’ הולכות זו מול זו ולכן תיפגשנה באמצע המוט. עד אז הלכה כל אחת מהן חצי דקה. כשהן נפגשות הן משנות כיוון, ותוך חצי דקה נוספת תיפולנה שתיהן. שוב, דקה! תוך דקה בדיוק לא תישאר אף נמלה על המוט! מוזר למדי. בכל המקרים נפלו כל הנמלים תוך דקה. האם יש כאן חוק כללי? האם הדבר נכון תמיד? התשובה היא “כן”, וההוכחה אינה מסובכת, אבל היא דורשת הארה. כלומר, תובנה שהופכת באחת את הדברים לפשוטים בתכלית. למרבה המוזרות, ההארה אינה מוסיפה אינפורמציה, אלא דווקא להפך, מתעלמת מאינפורמציה. היא מתעלמת מזהותן של הנמלים. אם לא אכפת לנו מי הן הנמלים, מה קורה ברגע הפגישה של שתי נמלים? ובכן, למעשה לא קורה דבר. לפני הפגישה אחת הנמלים הלכה שמאלה והשנייה ימינה; אחרי הפגישה קורה בדיוק אותו דבר – גם אז נמלה אחת הולכת שמאלה והאחרת ימינה, באותן מהירויות. והרי איזו נמלה הולכת שמאלה ואיזו ימינה כלל אינו משנה לצורכי הבעיה! המסקנה היא שאפשר להתעלם כליל מן הפגישות. מטרתן רק לבלבל. השאלה זהה לחלוטין לשאלה: נמלים צועדות על מוט באורך מטר אחד, כל אחת במהירות של מטר לדקה, בלי להתנגש ובלי לשנות
כיוון. תוך כמה זמן ייפלו? בנוסח זה אין כאן חידה של ממש: כל אחת מהן תיפול תוך דקה או פחות. תלוי במרחק ההתחלתי שלה מן הקצה שלכיוונו היא צועדת.

7. המתמטיקאים בני המזל

המתמטיקאים הם עם בר מזל. משלמים להם בשביל לשחק. לנוכח המיליארדים המושקעים במחקר מתמטי ובחינוך מתמטי אפשר היה לצפות שהם יידרשו לעסוק בנושאים שימושיים, אבל למעשה ההפך הגמור הוא הנכון. הם מרשים לעצמם לשחק בבעיות כמו חידת הנמלים, ובעיניהם יש לכך ערך. מדוע? משום שאת סוד שימושיותה יוצאת הדופן של המתמטיקה אפשר לראות כבר בחידה הזאת. משתקף בה כוחה העיקרי של המתמטיקה: ההפשטה. הדבר מתבטא, לפני הכול, בהצגת הבעיה. הנמלים בבעיה הן נמלים מתמטיות: נמלים אמיתיות אינן הולכות במהירות אחידה, ואינן מצייתות לחוקים כה פשוטים. הנמלים שלנו מקיימות כללים ברורים ומובחנים. המתמטיקה היא חקר מערכות המצייתות לכללים מוגדרים היטב. אבל עוד יותר מאשר בהצגת הבעיה, ניכרת ההפשטה בפתרונה. הסוד היה במציאת חוקיות פנימית, כאילו גילינו בתצלום רנטגן את המבנה הסמוי שמתחת לדברים. וחוקיות זו התגלתה כשהתעלמנו מפרט מסוים, שהתגלה כטפל – זהותן של הנמלים. ההתעלמות מן הטפל היא תכונה עיקרית של כל חשיבה מתמטית.

ובהפשטות יש יופי. בדיוק מן הסיבה שעליה דובר במאמר הזה: קשה לקלוט אותן לגמרי במודע. את המוחש אנחנו קולטים בקלות. הפשטות כוללות כל כך הרבה, וכל כך רחוקות מהבנתנו הרגילה, שאנחנו לא מבינים אותן עד תומן. וכשכך הוא, אנחנו חשים יופי.

8. תמונה שירית, תמונה מתמטית

הכללה אחת שווה אלף דוגמאות.

(פלוני)

דוגמה אחת שווה אלף הכללות.

(אלמוני)

אני רוצה לספר על עוד קו דמיון אחד בין שירים ומתמטיקה: המשחק בין המוחש והמופשט, בין הפרטי והכללי.

בספרו \({12}\) שיחות על שירה מסביר המשורר איתמר יעוז קסט את ההבדל בין שיר ופזמון: הפזמון מדבר על הכללי, ואילו השיר מדבר על הפרטי, כלומר על אירועים אישיים וקונקרטיים. הפזמון אומר “הללויה, ישירו כולם”, השיר אומר “ראיתי ציפור רבת יופי”. שירה לעולם אינה מדברת בלשון הפשטות. היא מדברת בלשון תמונות. “שיר הלילה של הנודד” אינו אומר “הגיבור של השיר נסער. הוא במצוקה”. זה לא שיר, אלא אולי דיווח עיתונאי. השיר מתאר תמונה בחוץ, שהדממה שלה מפחידה. מן התמונה הזאת אנחנו למדים על מה שקורה לגיבור.

דבר דומה נכון גם במתמטיקה. מקובל להאמין שמתמטיקאים חושבים במופשט. זה לגמרי לא נכון. כל מתמטיקאי מקצועי יאמר לכם – הוא חושב בדוגמאות. ההפשטות באות אז מאליהן. והוא חושב גם בתמונות, ממש כמו שעושה השירה. דוגמה מפורסמת לתמונה מתמטית היא מערכת הצירים הקרטזית. מעניין איך הייתה האלגברה מתפתחת לולא התמונה הזאת, שאנשי האלגברה משתמשים בה כל כך הרבה!

הוא שאמר ווירשטרס: “מתמטיקאי שאיננו גם קצת משורר אינו מתמטיקאי מושלם”.