תורת המספרים

פולינום בעל ערכים ראשוניים

oilerבספר בתורת המספרים של טום אפוסטול (Apostol) מסתתרת שאלה שנראית תמימה, מצא את השלם הקטן ביותר x ≥ 0 כך ש- ƒ(x) = x² + x +41  פריק. נזכיר שמספר טבעי נקרא "פריק" אם הוא מכפלת מספרים קטנים ממנו (כלומר – "פריק" פירושו "לא ראשוני"). בבדיקה מגלים שפולינום זה מקבל ערכים ראשוניים עבור כל  x=1,2,...,39 , ורק בעבור x=40  מתקבל ערך פריק.

להמשיך לקרוא

הנפה של ארטוסטנס-לז’נדר

salvergכמו לא מעט בעיות בתורת המספרים גם בהשערת התאומים הראשוניים יש פער מביך בין קלות הניסוח של ההשערה וקושי ההוכחה שלה. ההשערה גורסת שקיימים אינסוף זוגות ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2.לאחרונה הושגה התקדמות מרשימה בבעיה זו. הכלי שבעזרתו הושגה ההתקדמות הזאת נקרא "שיטות נפה" – נפה (פא רפויה) היא כברה, ובלשון פשוטה יותר – מסננת.

להמשיך לקרוא

השערת ארטין

ארטיןמחקרים אריתמטיים (Disquisitiones Arithmeticae)  הוא ספר בתורת המספרים שנכתב על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס שרבים רואים בו את גדול המתמטיקאים  מאז ומעולם. הספר יצא לאור בשנת 1801,  כשגאוס היה בן 24 בלבד. בספרו זה שאל גאוס את השאלה הבאה..

להמשיך לקרוא

שברים עשרוניים וטורים גיאומטריים

fractal2הסדרה 1,2,4,8,16 נקראת "סדרה גיאומטרית". במקרה זה - סדרה אינסופית, אבל אפשר לדבר גם על סדרות גיאומטריות סופיות, שבהן יש איבר אחרון. בסדרה גיאומטרית כל איבר גדול מקודמו פי מספר קבוע, שנקרא ה"מנה" של הסדרה. בדוגמה הזאת המנה היא 2. המקור של השם הוא בכך שכל איבר הוא הממוצע הגיאומטרי של שני שכניו. למשל, 8 הוא הממוצע הגיאומטרי של 4 ושל 16...

להמשיך לקרוא