גאומטריה

ההוכחה הנכונה למשפט פיתגורס

semicircle

על אף שמשפט פיתגורס הוא כבר בן למעלה מאלפיים וחמש מאות שנים, הוא עדיין בעל חיוניות ועניין גם לבני דורנו. הוא המפתח לנוסחת המרחק בין נקודות במישור, שפירושו שהוא נמצא בכל מודל במדע ובהנדסה שמכיל גיאומטריה או טריגונומטריה. הוא שותף סמוי למכפלה הסקלרית של וקטורים, ובתפקיד הזה הוא ממלא מקום במשוואות היסודיות של הפיזיקה. הוא הרוח החיה מאחורי משוואות תורת היחסות הפרטית ותורת הקוואנטים. הוא גם אחד המשפטים היחידים שמוכרים בציבור הרחב עם הוכחה.

להמשיך לקרוא

הוכחת אי-רציונליות של שורשים של מספרים שלמים באמצעות קיפולי נייר

438268437_dcd370e303מתמטיקאי בשם היפאסוס, חבר באסכולה הפיתגוריאנית (המאה החמישית לפני הספירה) הוכיח שלא קיימת מנה של שני טבעיים שהריבוע שלה הוא 2. בלשון ימינו אומרים שהוא מצא שהשורש של 2 איננו רציונלי. על פי האגדה הוא שילם על תגלית זו בחייו, משום שהפיתגוריאנים האמינו שכל גודל חשוב הוא רציונלי. במאמר הזה מתארים המחברים הוכחה יפה של ג'ון קונווי (מתמטיקאי אנגלי שעובד בפרינסטון) לאי הרציונליות של שורש 2, בעזרת קיפולי נייר.

להמשיך לקרוא

גיאומטריית המקדשים היפנית

japanבין השנים 1639 עד 1854 סגרו השוגונים מבית טוקוגאווה את יפן באופן הרמטי מהעולם החיצון. בין השאר רעיונות מערביים, ביניהם הישגי ההתעוררות המדעית באירופה, לא יכלו כמעט לחדור ליפן. אבל בתקופת בידוד זו המשיכה התרבות היפנית להתפתח מתוך עצמה.

בתקופה זו, אוהבי מתמטיקה יפנים, סמוראים, סוחרים ואיכרים, היו מציגים ופותרים בעיה, בדרך כלל גיאומטרית, מציירים את הבעיה בצבעים בלוחית עץ יפהפיה, שנקראה sangaku (לוחית מתמטית), ותולים אותה תחת גגו של בניין מקודש.

להמשיך לקרוא

ממוצע משוקלל, הסתברות, תוחלת ועקומים בעלי רוחב קבוע

מIMG_6078מוצע בלי ועם משקלות. מאמר על קשר נחמד בין הסתברות לגיאומטריה. קשר מפורסם כזה הוא ה"מחט של בופון" ושיטה הסתברותית להערכת המספר π. במאמר מקושרת תגליתו של בופון למשפט על צורות מישוריות שבכל כיוון במישור יש להן אותו רוחב.

להמשיך לקרוא