אדמונד לנדאו: סיפור עם הוכחה

לנדאו וביברבך – הוכחה שאי אפשר לחלק זוית כללית לשלושה ע”י סרגל ומחוגה, ופרשה עצובה בצידה

אליהו לוי (לפי הצעת פרופ’ בנימין וייס מהאוניברסיטה העברית)

תקופת הנאצים הביאה סבל רב למתמטיקאים יהודים, גם כאשר לא הגיע הדבר לרצח ממש.

בין המתמטיקאים הגרמנים שלא סומנו ע”י המשטר הנאצי כיהודים או יהודים למחצה או לרבע או כבעלי פוליטיקה לא רצויה, היו כאלה ששיתפו פעולה עם המשטר ואף תמכו במשטר הנאצי בהתלהבות. אחד המתמטיקאים הגרמנים הגדולים שהביע תמיכה במשטר הנאצי ובעמדותיו היה לודביג ביברבך (\(Ludwig~Bieberbach~1886-1982\)) שכתב מאמרים המקשרים גזע ומתמטיקה ברוח המשטר.

ידועה פרשת הצקותיהם של פעילים נאצים מבין הסטודנטים בגטינגן (שהיתה המרכז המתמטי העולמי עד שעליית הנאצים מחקה אותו) בתחילת שנות ה-1930 למתמטיקאי היהודי-גרמני הגדול אדמונד לנדאו (\(Edmund~Landau~1877-1938\)), מכוכבי המכון בגטינגן, עד שהטרדות אלה אילצו אותו לפרוש ב-1933, דבר שכאב לו מאוד.

כדאי להתעכב קצת על אדמונד לנדאו, מגדולי תורת המספרים האנליטית ותורת הפונקציות המרוכבות בדורו, שבהן היו לו תוצאות רבות והספרים שכתב נחשבו למופת, ומאידך בעל תפקיד מיוחד בהיסטוריה של המתמטיקה הישראלית. הוא פתח את מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית בכך ששימש שם פרופסור בסמסטר חורף 1927-28. העובדה שמתמטיקאי “טהור” כה גדול היה מעורב בכך, היתה גורם משמעותי הן בכך שמייד עם הקמת האוניברסיטה הוקם בה מכון למתמטיקה, והן בכך שהיתה זו מתמטיקה “טהורה”. חוט משוך מכאן למסורת של הצטיינות במתמטיקה “טהורה” באוניברסיטה העברית ואח”כ באוניברסיטאות אחרות בארץ. (מסורת שניזונה ברובה מדורות של סטודנטים מצטיינים.)

לנדאו היה בן למשפחה יהודית אמידה ומכובדת מאוד בברלין. הוא התייחס על ר’ יחזקאל הלוי לנדא מפראג, מראשי מנהיגי היהדות במאה ה-18, הידוע בכינוי “נודע ביהודה” על שם ספר השו”ת שחיבר. (וגם שמו העברי של אדמונד לנדאו היה יחזקאל.) מאידך, אשתו של אדמונד לנדאו היתה בתו של הביולוג המפורסם פאול אהרליך, שנחשב בדורו לראש המדענים הגרמנים-יהודים.

משנות ה-1920 הזדהה לנדאו יותר ויותר עם המסורת היהודית והציונות. הוא למד עברית. כאשר, בהשפעת חיים וייצמן, דובר על הקמת האוניברסיטה העברית בירושלים, היה לנדאו בין המדענים היהודים שתמכו בכך בהתלהבות (בין המתמטיקאים והפיסיקאים האחרים היו אלברט איינשטיין, ז’אק אדמר וטוליו לוי-צ’יויטה). אבל לנדאו הגדיל לעשות: הוא לא רק השתתף בטכס הפתיחה של האוניברסיטה ב-1925 ונשא שם הרצאה בעברית על “שאלות פתוחות וסתומות בתורת המספרים האלמנטרית” (אולי ההרצאה העברית הראשונה בכלל במתמטיקה “גבוהה”), אלא שמייד כאשר החלה האוניברסיטה לקבל סטודנטים, בסמסטר חורף 1927-28, בא לנדאו עם משפחתו לירושלים כפרופסור הבכיר שם למתמטיקה. על הלך רוחו של לנדאו בחצי-שנה זו תעיד העובדה שרבים ממכתביו מירושלים כתובים בעברית, מתוארכים בתאריך העברי וחתומים: “יחזקאל הלוי, ירושלים עיה”ק”. למרות שבסוף סמסטר זה חזר לנדאו עם משפחתו לגטינגן, הוא המשיך להיות מעורב בתוכנית הלימודים והוא שקבע מי יהיו יורשיו: אברהם הלוי פרנקל ומיכאל פקטה, ש”מלכו” במכון שנים רבות.

באתר של האיגוד למתמטיקה בישראל \(www.imu.org.il\) ניתן למצוא את ההרצאה של לנדאו בעברית שהוזכרה לעיל, וגם מאמר מתמטי שלו בעברית. יש שם גם מאמר באנגלית של שאול כץ הדן בהרחבה בהיסטוריה של לנדאו ותחילת מכון איינשטיין למתמטיקה באוניברסיטה העברית.

והנה, בספר שכתב ביברבך אחרי המלחמה, “תורת הבניות הגיאומטריות”, שיצא לאור בבאזל ב-1925, הוא מסב את תשומת לב הקוראים להוכחה לכך שאי אפשר לחלק זווית כללית לשלושה ע”י סרגל ומחוגה, שגילה לנדאו כשהיה סטודנט בן 20 (ב-1897) ושלא היתה ידועה קודם לכן. היא נמצאה על דף נייר שכתב לנדאו ושנמצא בעזבונו של המתמטיקאי \(H.~A.~Schwarz\). ביברבך משבח את לנדאו הצעיר על “יצירה עצמאית ראשונה של מתמטיקאי גדול”.

האם ביברבך רצה לנסות להתנער (לפחות בעיני הציבור) מעברו הנאצי? נביא תרגום חפשי של מה שכתב לנדאו בדף הנייר:

“כדי להוכיח, שחלוקת זווית כללית לשלושה ע”י מספר סופי של בניות עם סרגל ומחוגה אינה אפשרית, צריך להראות, שאי אפשר, ע”י מספר סופי של פעולות רציונליות ( כלומר ארבע פעולות החשבון) והוצאות שורשים ריבועיים, לקבל מ \({a}\) ביטוי \({u}\) שיקיים את המשוואה

\(\displaystyle f(u)\equiv 4u^3-3u+a=0 \ \ \ \ \ (1)\)

שכן עבור \({x=\sin(\phi/3)}\) מתקיים \({\sin\phi=3x-4x^3}\), כלומר \({4x^3-3x+\sin\phi=0}\). [ראו מאמרו של גדי אלכסנדרוביץ’ שהופיע בגיליון הקודם: בניות בסרגל ומחוגה. אילו הייתה לנו שיטה לחלק זווית כללית \({\phi}\) לשלושה בעזרת סרגל ומחוגה, היינו יכולים לצאת מקטע באורך \({\sin\phi}\) ולבנות קטע באורך \({\sin(\phi/3)}\)].

נניח, איפוא, שקיים ביטוי כזה ב \({a}\). כדי ליצור אותו [נתמקד בשלבים בהם הוצאנו שורש ריבועי] יש לבנות סידרת ביטויים \({y_1,\ldots,y_s}\) , כאשר את \({y_i}\) קיבלנו מהוצאת שורש ריבועי, כלומר \({y_i^2}\) הוא ביטוי רציונלי ב \({a,y_1,\ldots,y_{i-1}}\) ו \({y_i}\) עצמו אינו כזה, בעוד ש \({x}\) הוא ביטוי רציונלי ב \({a,y_1,\ldots,y_s}\) ולא ב \({a,y_1,\ldots,y_{s-1}}\). נניח שלקחנו את מספר השלבים \({s}\) הקטן ביותר שנותן שורש כזה, ונניח ש \({s\ge1}\), כלומר שאין שורש למשוואה (1) שהוא ביטוי רציונלי ב \({a}\).

נזכיר ש \({y_s}\) הוא שורש ריבועי של ביטוי רציונלי ב \({a,y_1,\ldots,y_{s-1}}\). אז קל להיווכח ש \({x}\) ניתן לכתיבה בצורה \({x=\alpha+\beta y_s}\) כאשר \({\alpha}\) ו \({\beta}\) הם ביטויים רציונליים ב \({a,y_1,\dots,y_{s-1}}\). [ כי \({x}\) הוא ביטוי רציונלי ב \({a,y_1,\ldots,y_s}\), כלומר מנה של שני פולינומים ב \({y_s}\) עם מקדמים שהם ביטויים רציונליים ב \({a,y_1,\ldots,y_{s-1}}\), ו \({y_s}\) הוא שורש ריבועי של ביטוי כזה. לכן \({x}\) הוא מנה \({\dfrac{\alpha”+\beta”y_s}{\alpha’+\beta’y_s}}\) ומהמכנה ניפטר ע”י הכפלת מונה ומכנה בביטוי הצמוד \({\alpha’-\beta’y_s}\)].

כאן \({\beta\ne0}\), אחרת היה \({x=\alpha}\) שהוא ביטוי רציונלי ב \({a,y_1,\ldots,y_{s-1}}\).

אבל אז גם \({\alpha-\beta y_s}\) חייב להיות שורש של \({f(u)=0}\). אכן, את

\(\displaystyle f(\alpha+\beta y_s)=4(\alpha+\beta y_s)^3-3(\alpha+\beta y_s)+a\)

אפשר לכתוב כ \({A+By_s}\), כאשר \({A}\) ו \({B}\) ביטויים רציונליים ב \({a,y_1,\ldots,y_{s-1}}\), ואז \({f(\alpha-\beta y_s)=A-By_s}\). הינחנו ש \({\alpha+\beta y_s}\) הוא שורש, כלומר \({A+By_s=0}\). אבל אז חייב להיות \({B=0}\), אחרת היינו מקבלים \({y_s=-A/B}\) , ביטוי רציונלי ב \({a,y_1,\ldots y_{s-1}}\). מכאן שגם \({f(\alpha-\beta y_s)=A-By_s=0}\).

מאחר ש \({\beta\ne0}\), השורשים \({\alpha+\beta y_s}\) ו \({\alpha-\beta y_s}\) שונים, וכיוון שמקדם \({u^2}\) ב \({f(u)}\) הוא \({0}\), סכום שלושת שורשי הפולינום הוא \({0}\) [ זיכרו שמקדמי פולינום (עם מקדם ראשי \({1}\)) הם הפולינומים הסימטריים היסודיים בשורשיו] ומכאן שהשורש השלישי הוא \({-(\alpha+\beta y_s+\alpha-\beta y_s)=-2\alpha}\), שהוא ביטוי רציונלי ב \({a,y_1,\ldots y_{s-1}}\), בניגוד למינימליות של \({s}\).

הוכחנו, איפוא, שאם יש למשוואה שורש שהוא ביטוי ב \({a}\) שמתקבל ע”י פעולות רציונליות והוצאת שורשים ריבועיים, אזי יש לה שורש שמתקבל רק ע”י פעולות רציונליות, וידוע איך להוכיח שזה בלתי אפשרי” (את זה נשאיר כתרגיל).

[פיתרון: נוכיח שעבור \({a=1/2}\) (כלומר \({\phi=30^\circ}\)) אין ביטוי כזה. אכן, אילו היה אפשר למצוא פיתרון \({u}\) למשוואה (1) ע”י פעולות רציונליות, היה זה שורש רציונלי \({u=p/q}\) בו \({p}\) ו \({q}\) שלמים וזרים. כלומר

\(\displaystyle 0=f(u)=f\left(\frac{p}{q}\right)=4\frac{p^3}{q^3}-3\frac{p}{q}+a= 4\frac{p^3}{q^3}-3\frac{p}{q}+\frac12.\)

נכפיל ב \({2q}\). נקבל \({8\frac{p^3}{q^2}=6p-q}\) ומכאן \({q^2|8p^3}\) ומאחר ש \({q}\) זר ל \({p}\), \({q^2|8}\) כלומר \({q=\pm1,\pm2}\) ואז \({u}\) שלם או חצי שלם. אבל אף \({u}\) כזה לא יכול לקיים \({f(u)=4u^3-3u+\frac12=0}\)].

קו-אופי מיוחד של הוכחה זו (כפי שמציין ביברבך בספרו) הוא שהיא משתמשת בכך שלמשוואה ממעלה שלישית לא יכולים להיות יותר משלושה שורשים.

Trisec

עמוד מתוך: \({L.~Bieberbach, Theorie~der~Geometrischen~Konstruktionen,Basel~1952}\)