קסמה של המתמטיקה

כשהייתי בן 9, סיפרו לי הורי יום אחד שבפגישה עם ידידים בערב הקודם דירג כל אחד מהנוכחים רשימה בת עשרה איברים בסדר לינארי. הרשימה הספציפית אינה זכורה לי, אך לצורך הדיון הבה נניח שהמדובר היה בעשרת השירים בתחרות זמר כלשהי ששודרה ברדיו, וכל אדם רשם את הדירוג הסופי הצפוי לפי הערכתו, לאחר ששמע את השירים. בהמשך הערב, כשהתברר הדירוג הסופי לפי החלטת השופטים, בדק כל אחד מן הידידים את טיב הניחוש שלו לכל שיר ע”י חישוב הערך המוחלט של ההפרש בין מיקומו של השיר לפי הניחוש ומיקומו בהחלטת השופטים. הטיב הכולל של הניחוש של כל אחד מן הנוכחים נקבע כסכום עשרת הערכים המוחלטים של ההפרשים שחישב לשירים השונים, כאשר סכום קטן יותר מתאים כמובן לניחוש נכון יותר (או לפחות קרוב יותר לטעמם של השופטים). בסיום הערב ציין כל אחד מן הידידים את ערך הסכום שקיבל, והסכומים שהוזכרו (לצורך הדיון, אינני זוכר כמובן את המספרים המדויקים) היו 18, 20, 22, 17, 14 ו-36. אמי תהתה אם הערך 17 הוא אכן ערך אפשרי ; למרות שכסופרת ומתרגמת הייתה בעלת תחומי עניין רחוקים מן המדעים המדויקים, היא ניחנה באינטואיציה מתמטית בריאה, והייתה לה תחושה שערך הסכום חייב להיות זוגי. היא סיפרה לי את הסיפור ואני מצאתי אמנם הוכחה פשוטה לזוגיות הסכום (אני מניח שרוב הקוראים לא יתקשו למצוא הוכחה דומה).

 ככל ילד בן 9, היו לי מדי פעם ויכוחים עם הורי. ניסיתי לשכנע אותם, למשל, שמן הראוי לאפשר לי לנסוע לים לבדי, שכדאי לקנות לי אופניים או שרצוי לרשום אותי לשעורי פסנתר (וזמן קצר אח”כ, שחשוב להפסיק את שיעורי הפסנתר שלי באופן מיידי). אני זוכר שלאחר הדיון בזוגיות הציון, התרשמתי עמוקות מכך שגם ילד יכול לשכנע מבוגר אינטליגנטי בנכונותה של עובדה מתמטית בקלות רבה בהרבה מיכולתו לשכנע בדיון בנושאים אחרים, בדומה לאלה שהוזכרו לעיל. האמת המתמטית היא אובייקטיבית, וטיעון מתמטי נכון יכול להיות משכנע בוודאות מוחלטת בלי תלות ביכולת ההבעה של הטוען או בסמכותו המקצועית.

אינני חושב שהחלטתי להיות מתמטיקאי קשורה ישירות לסיפור שלמעלה ; למיטב זכרוני, כבר לפני גיל 9, התעניינתי בפתרון חידות מתמטיות והתלהבתי מהאתגר האינטלקטואלי שבנסיונות להתמודד עימן. ידעתי מגיל צעיר שברצוני להיות מתמטיקאי, הגם שכתלמיד בי”ס היה לי באופן טבעי מושג מעורפל למדי על אופיו ומהותו של המחקר המבוצע ע”י מתמטיקאי.

בתיכון למדתי בבי”ס הריאלי בחיפה, השתתפתי בחוגי העשרה מתמטית שארגן המורה שלי שם, מר יעקב קפלן, ונטלתי חלק בתחרויות נוער לפתרון בעיות מתמטיות שהתקיימו באותה עת בארץ. בסיום הלימודים נרשמתי ללימודי מתמטיקה במסגרת העתודה האקדמית של צה”ל, אך בשל מלחמת יום הכיפורים נדחו לימודיי, ושירתתי שנה בחיל השריון. אח”כ סיימתי תואר ראשון במתמטיקה בטכניון, ושירתתי ביחידת מחקר בצבא, שם שיתפתי פעולה עם כמה וכמה עמיתים שהפכו לימים לחוקרים מובילים במחלקות למתימטיקה, למדעי המחשב ולהנדסה באוניברסיטאות השונות בארץ. במהלך הלימודים הזדמן לי להיפגש עם פאול ארדש, מתמטיקאי הונגרי נודע שהיה נוהג לשוטט ברחבי העולם עם מזוודה חצי ריקה שהכילה את כל רכושו, להעלות השערות מתמטיות ולהתוות דרכים לפתרונן. שאלה ששמעתי מארדש הובילה לעבודת המאסטר שלי באוניברסיטת ת”א, אותה כתבתי בהנחייתו של פרופ’ מיכה פרלס מן האוניברסיטה העברית, והפגישות והדיונים עם ארדש, תחילה כסטודנט בארץ ואח”כ כחוקר צעיר ב-MIT ובאוניברסיטת ת”א, השפיעו רבות על כיווני המחקר שלי והניבו במשך השנים מספר מאמרים משותפים.

 תחום המחקר שלי הוא קומבינטוריקה, העוסקת במחקר של מבנים מתמטיים סופיים, ושימושיה במדעי המחשב תוך התמקדות בשיטות הסתברותיות ואלגבריות. התחום קסם לי מגיל צעיר, בעיקר משום שהבעיות המרכזיות בו מנוסחות לעיתים קרובות בצורה פשוטה ובהירה, שאינה דורשת רקע רב, אך פתרונן דורש לעיתים קרובות שימוש בכלים מתוחכמים מתחומים מתמטיים שונים. התוצאה הבאה שאפשר לקרוא לה “משפט המחרוזת”, מדגימה זאת היטב:

כל מחרוזת המכילה חרוזים מ-T צבעים שונים, באופן שמספר החרוזים בכל צבע מתחלק ב- K, אפשר לחתוך ב- \({(K-1)T}\) מקומות, ולחלק את האינטרוולים הנוצרים ל-K משפחות, שבכל אחת בדיוק אותו מספר חרוזים מכל צבע.

הניסוח כאן אלמנטרי ופשוט, אך ההוכחה הידועה היחידה משתמשת בשיטות טופולוגיות מתוחכמות.

  לקומבינטוריקה שימושים רבים בתחומים שונים, לרבות תורת האינפורמציה, מדעי המחשב התיאורטיים, תורת המספרים וגיאומטריה, והיא תופסת מקום מרכזי יותר ויותר במתמטיקה המודרנית, בה ההתמקדות בשיטות קונסטרוקטיביות ובהיבטים כמותיים משמעותית בהרבה משהייתה בעבר. בעידן המודרני ברור לכל שלמתמטיקה ישנו תפקיד חשוב מאין כמוהו בפיתוח המדע והטכנולוגיה. עובדה פחות ידועה, אולי, היא יופייה של המתמטיקה כמדע העומד בפני עצמו. כפי שכתב המתמטיקאי הבריטי הנודע,

G. H. Hardy: “ייתכן שקשה מאוד להגדיר יופי מתמטי, אך עובדה דומה נכונה גם לגבי יופי בכל תחום אחר. קרוב לוודאי שאיננו יודעים למה בדיוק כוונתנו כשאנו קובעים שיצירה מוסיקלית היא יפה, אך זה איננו מונע מאיתנו לזהות זאת כשאנו שומעים אותה”.

 יופייה של המתמטיקה מתבטא בקשרים בלתי צפויים בין תחומים שונים, בהוכחות קצרות ואלגנטיות, בוודאות המוחלטת הנובעת מנכונותה של הוכחה ובאתגר האינטלקטואלי במציאתה. אחת התכונות החשובות ביותר של מתמטיקאי היא היכולת לזהות יופי מתימטי, והיכולת להמשיך ולהתלהב מיופי זה לאורך שנים של מחקר.

נוגה אלון הוא פרופסור למתימטיקה ולמדעי המחשב באוניברסיטת תל-אביב, ובעל מינוי מיוחד כפרופסור אורח במכון ללימודים מתקדמים בפרינסטון. פירסם למעלה מ-400 מאמרים, רובם בקומבינטוריקה ובמדעי המחשב התיאורטיים. הוא חבר האקדמיה הישראלית למדעים, חבר האקדמיה האירופאית למדעים, וזכה בפרסים רבים בארץ ובעולם, לרבות פרס ארדש, פרס פהר, פרס Polya, פרס ברונו, פרס לנדאו, פרס Gödel ופרס ישראל.