על החישוב של π

כידוע נהוג להשתמש באות היוונית \(\pi\) לסמן את היחס בין היקף של מעגל לקוטרו, בהיותה האות הראשונה של המילה היוונית περιφέρεια, שפירושה ״היקף״.

בימי קדם התקבלו בתרבויות שונות קירובים והערכות שונים לגבי ערכו של \(\pi\), אבל ארכימדס היה הראשון שניסה באופן מדעי לחשב את ערכו המדויק. שיטתו תוארה כבר במאמר בחוברת קודמת של עתון זה (כרך 5, מסי 4) ולא נכנס כאן לפרטים. הגישה העיקרית היתה לחסום מצולעים משוכללים במעגל וגם לחסום את המעגל במצולעים כאלה. ארכימדס ידע לחשב את שטחי המצולעים האלה ומאחר ששטח המעגל גדול מזה של כל מצולע שחסום בו וקטן משטח המצולע החוסם אותו, הצליח ארכימדס לקבוע גבולות שביניהם נמצא \(\pi\). במיוחד הוכיח כי

\(\displaystyle 3\frac{10}{71} \lt \pi \lt 3\frac{1}{7}\)

באופן עקרוני ניתן להמשיך לפי שיטתו של ארכימדס ולחשב את \(\pi\) לכל דיוק שנרצה, אבל החישובים נעשים מסובכים מאד. חסרון שני בשיטת ארכימדס הוא שאי אפשר להסיק ממנה נוסחה מפורשת עבור \(\pi\).

רוב המאמצים לחשב את \(\pi\) בתקופה האחרונה התבססו על נוסחה המיוחסת למתמטיקאי הגרמני ליבניץ (G.W. Leibnitz).

הנוסחה היא:

\(\displaystyle (1) \quad \arctan{x} = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} \dots\)

אם \(-1 \lt x \leq 1\), כאשר \(\arctan{x}\) נמדד ברדיאנים. נדחה את הוכחת נוסחה זו לסוף המאמר ובינתיים נראה איך להסיק ממנה מסקנות.

אם נציב \(x=1\), נקבל מיד כי

\(\displaystyle \frac{\pi}{4} = 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{5} – \frac{1}{7} + \frac{1}{9} – \frac{1}{11} + \dots\)

אבל באיזה אין תועלת רבה. כי כדי לחשב את \(\pi\) לפי נוסחה זו עד לדיוק של 10 ספרות, נצטרך להביא בחשבון לפחות שני מיליארד אברים של הטור. כי הרי אם נפסיק את הסיכום אחרי \(2N\) אברים, ז.א. באבר \(-\frac{1}{4N-1}\), תהיה שארית הטור

\(\displaystyle (\frac{1}{4N+1} – \frac{1}{4N+3}) + (\frac{1}{4N+5} – \frac{1}{4N+7}) + \dots\)

\(\displaystyle = \frac{2}{(4N+1)(4N+3)} + \frac{2}{(4N+5)(4N+7)} + \dots\)

\(\displaystyle \gt \frac{2}{(4N+2)^2} + \frac{2}{(4N+6)^2} + \dots\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} [ \frac{1}{(2N+1)^2} + \frac{1}{(2N+3)^2} + \dots ] \)

\(\displaystyle \gt \frac{1}{2} [ \frac{1}{(2N+2)^2} + \frac{1}{(2N+4)^2} + \dots ] \)

\(\displaystyle = \frac{1}{8} [ \frac{1}{(N+1)^2} + \frac{1}{(N+2)^2} + \dots ] \)

וניתן להוכיח, אם כי לא נציג כאן את ההוכחה, כי הנוסחה האחרונה בסוגריים ערכה בערך \(\frac{1}{N}\). ראינו איפוא כי אם ניקח \(2N\) אברים מהטור ניתקל בשגיאה של לפחות \(\frac{1}{8N}\). כדי להשיג דיוק של 10 ספרות דרוש כי

\(\displaystyle \frac{1}{8N} \lt 10^{-10}\)

ולכן \(N \gt 10^9\), ז.א. שידרשו, כפי שאמרנו, לפחות \(2 \cdot 10^9\) אברים. מאידך ידוע כי, עבור כל \(\alpha, \beta\)

\(\displaystyle (2) \quad \tan{(\alpha + \beta)} = \frac{\tan{\alpha} + \tan{\beta}}{1 – \tan{\alpha} \tan{\beta}}\)

אם נכתוב \(\tan{\alpha} = a\), \(\tan{\beta} = b\) ובכן \(\alpha = \arctan{a}\), \(\beta = \arctan{b}\) נקבל

\(\displaystyle (3) \quad \arctan{a} + \arctan{b} = \arctan{\frac{a+b}{1-ab}}\)

במיוחד, אם ניקח \(a=\frac{1}{2}\), \(b = \frac{1}{3}\), נקבל

\(\displaystyle \arctan{\frac{1}{2}} + \arctan{\frac{1}{3}} = \arctan{\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{6}}} = \arctan{1} = \frac{1}{4}\pi\)

מהטור של לייבניץ יוצא עכשיו:

\(\displaystyle (4) \quad \frac{1}{4}\pi = (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{2^5} – \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2^7} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2^9} \dots)\)

\(\displaystyle \quad + (\frac{1}{3} – \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3^5} – \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{3^7} \dots)\)

שני הטורים האלה הם מכשירים יעילים למדי למטרות חישוב נומרי. נניח שנסכם את \(2N\) האברים הראשונים של הטור הראשון. השארית תהיה

\(\displaystyle \frac{1}{4N+1} \cdot \frac{1}{2^{4N+1}} – \frac{1}{4N+3} \cdot \frac{1}{2^{4N+3}} + \frac{1}{4N+5} \cdot \frac{1}{2^{4N+5}} \dots\)

\(\displaystyle = \frac{1}{4N+1} \cdot \frac{1}{2^{4N+1}} – [ \frac{1}{4N+3} \cdot \frac{1}{2^{4N+3}} – \frac{1}{4N+5} \cdot \frac{1}{2^{4N+5}} ] \dots\)

\(\displaystyle \lt \frac{1}{4N+1} \cdot \frac{1}{2^{4N+1}}\)

\(\displaystyle \lt \frac{1}{4N \cdot 2^{4N+1}} = \frac{1}{N \cdot 2^{4N+3}}\)

נוכל איפוא לקבל דיוק של 10 ספרות אם

\(\displaystyle N \cdot 2^{4N+3} \gt 10^{10}\)

וזה יתקיים, כפי שאפשר לברר בקלות, אם \(N \gt 7\).

יוצא כי מספיק לקחת 14 אברים מהטור הראשון (ואפילו פחות מהטור השני) להשיג דיוק של 10 ספרות. למעשה ניתן להוכיח בדרך דומה כי, באופן כללי ההפרש בין הסכום של k האברים הראשונים של הטור (1) לבין הערך המדויק של \(\arctan{x}\), כאשר \(-1 \lt x \lt 1\), הוא קטן מ-

\(\displaystyle \frac{x^{2k}}{2k(1-x^2)}\)

נסתכל עכשיו בנוסחה (3) ונציב \(a = b = \frac{1}{5}\). נקבל

\(\displaystyle 2 \arctan{\frac{1}{5}} = \arctan{\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}}} = \arctan{\frac{5}{12}}\)

ולכן

\(\displaystyle 4 \arctan{\frac{1}{5}} = 2 \arctan{\frac{5}{12}} = \arctan{\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}}} = \arctan{\frac{120}{119}}\)

מאידך, בהסתמך שוב על (3), קיים

\(\displaystyle \arctan{1} + \arctan{\frac{1}{239}} = \arctan{\frac{1+\frac{1}{239}}{1-\frac{1}{239}}} = \arctan{\frac{120}{119}}\)

ומכאן ש-

\(\displaystyle (5) \quad \frac{1}{4} \pi = \arctan{1} = 4 \arctan{\frac{1}{5}} – \arctan{\frac{1}{239}}\)

אם נציב \(x=\frac{1}{5}\) ב-(1) נראה, לפי האמור לעיל, שנקבל דיוק של 10 ספרות אם ניקח k אברים כך ש-

\(\displaystyle \frac{(\frac{1}{5})^{2k}}{2k \cdot \frac{24}{25}} \lt 10^{-10}\)

ולזה מספיק ש-\(k \gt 7\). באשר לטור (1) כאשר \(x = \frac{1}{239}\), קל לראות כי 3 אברים יספיקו. ההצבה (5) מאפשרת איפוא לחשב את \(\pi\) בדיוק רב בעבודה קלה יחסית. בעזרת הנוסחה (4) הצליח המתמטיקאי האנגלי יוהן מצ׳ין (John Machin) כבר בשנה 1706 לחשב את \(\pi\) עד לספרה ה-100. קיימות מספר רב של נוסחאות אלטרנטיביות, ביניהם זו של אוילר (L. Euler) משנת 1779, והיא

\(\displaystyle (6) \quad \frac{1}{4} \pi = 5 \arctan{\frac{1}{7}} + 2 \arctan{\frac{3}{79}}\)

המתמטיקאי שנקס (W. Shanks) המשיך במאמצים האלה ובשנת 1873 פרסם רשימה של 707 הספרות הראשונות בפיתוח העשרוני של \(\pi\). עם פיתוחם של מחשבים אלקטרוניים לבשה בעית החישוב צורה חדשה. עכשיו יכול כל תלמיד תיכון היודע תכנות לחשב את \(\pi\) עד לדיוק של מליוני ספרות תוך כמה דקות.

בהקשר זה נזכיר מקרה מבדר במקצת. בשנת 1937 התקיימה בפאריז (בירת צרפת) תערוכה גדולה ואחד הביתנים בה היה ״ביתן המדע״. לשם קישוט בבנין זה שמו על ארבעה הקירות מסביב את 707 הספרות של \(\pi\) שהיו ידועות עד אז. הבנין קיים, על כל קישוטיו, עד ליום הזה ומשמש כ״מוזיאון המדע״. אבל לפני כשלושים שנה, כאשר התחילו להשתמש במחשבים אלקטרוניים חישבו את \(\pi\) לדיוק של כמה אלפי ספרות ואחת העובדות שהתגלו היתה שבחישוביו של שנקס היתה כנראה טעות והספרות אחרי הספרה ה-135 אינן נכונות!

בסוף נזכיר שתי גישות אחרות לחישוב של \(\pi\).

א. המתמטיקאי האנגלי ברונקר (Brouncker) הוכיח בשנת 1658 את הנוסחה הבאה:

\(\displaystyle (7) \quad \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{9}{2 + \cfrac{25}{2+ \cfrac{49}{2 + \cfrac{81}{2+ \cfrac{121}{2 + \dots}}}}}}\)

לא נוכל להוכיח נוסחה זו כאן ואנו מצטטים אותה בעיקר מפני שהיא כל כך שונה מאלה שניתנו למעלה.

ב. הנוסחה השניה הומצאה ע״י המתמטיקאי הצרפתי ויטה (F. Vieta) שחי במאה ה-16. הוא יצא מהעובדה כי

\(\displaystyle \sin{\alpha} = 2 \cos{\frac{\alpha}{2}} \cdot \sin{\frac{\alpha}{2}}\)

\(\displaystyle \quad = 2 \cos{\frac{\alpha}{2}} (2 \cos{\frac{\alpha}{4}} \sin{\frac{\alpha}{4}})\)

\(\displaystyle \quad = 2^2 \cos{\frac{\alpha}{2}} \cos{\frac{\alpha}{4}} \sin{\frac{\alpha}{4}}\)

\(\displaystyle \quad = 2^2 \cos{\frac{\alpha}{2}} \cos{\frac{\alpha}{4}} (2 \cos{\frac{\alpha}{8}} \sin{\frac{\alpha}{8}})\)

\(\displaystyle \quad = 2^3 \cos{\frac{\alpha}{2}} \cos{\frac{\alpha}{4}} \cos{\frac{\alpha}{8}} \sin{\frac{\alpha}{8}}, \dots\)

רואים כי ניתן להמשיך בדרך זו ובאופן כללי,

\(\displaystyle \sin{\alpha} = 2^n \cos{\frac{\alpha}{2}} \cos{\frac{\alpha}{2^2}} \cos{\frac{\alpha}{2^3}} \cdots \cos{\frac{\alpha}{2^n}} \sin{\frac{\alpha}{2^n}}\)

דהיינו:

\(\displaystyle \cos{\frac{\alpha}{2}} \cos{\frac{\alpha}{2^2}} \cos{\frac{\alpha}{2^3}} \cdots \cos{\frac{\alpha}{2^n}} = \frac{\sin{\alpha}}{2^n \sin{\frac{\alpha}{2^n}}}\)

אבל ידוע כי \(\frac{\sin{\theta}}{\theta}\) שואף לערך הגבולי 1 כאשר \(\theta\) שואף ל-0. מכאן שכאשר \(n\) גדל לקראת אינסוף ישאף

\(\displaystyle 2^n \sin{\frac{\alpha}{2^n}}\)

שהוא אינו אלא

\(\displaystyle \alpha \cdot \frac{\sin{\frac{\alpha}{2^n}}}{\frac{\alpha}{2^n}}\)

לערך הגבולי \(\alpha\). מהשיקולים האלה הסיק ויטה את הנוסחה

\(\displaystyle (8) \quad \frac{\sin{\alpha}}{\alpha} = \cos{\frac{\alpha}{2}} \cos{\frac{\alpha}{2^2}} \cos{\frac{\alpha}{2^3}} \cos{\frac{\alpha}{2^4}} \dots\)

נציב ב-(8) \(\alpha = \frac{\pi}{2}\) וניזכר כי \(\sin{\frac{\pi}{2}} = 1\), נקבל

\(\displaystyle (9) \quad \frac{2}{\pi} = \cos{\frac{\pi}{2^2}} \cos{\frac{\pi}{2^3}} \cos{\frac{\pi}{2^4}} \dots\)

אבל, עבור כל זווית \(\theta\), קיים

\(\displaystyle \cos{\theta} = 2 \cos^{2}\frac{\theta}{2} – 1\)

ולכן

\(\displaystyle (10) \quad \cos{\frac{\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos{\theta}}{2}}\)

כולנו יודעים כי

\(\displaystyle \cos{\frac{\pi}{2^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2}{4}}\)

ולכן, לפי (10),

\(\displaystyle \cos{\frac{\pi}{2^3}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}\)

אם נמשיך, נקבל

\(\displaystyle \cos{\frac{\pi}{2^4}} = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{4}}\)

ובאותה דרך

\(\displaystyle \cos{\frac{\pi}{2^5}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}}{4}}\)

וכו׳.

נציב את כל אלה ב-(9) ונקבל את נוסחת ויטה

\(\displaystyle \frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{2}{4} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{4}} \cdots}\)

 הוכחת הנוסחה (1)

ההוכחה הפשוטה ביותר מתבססת על חשבון אינטגרלי: נניח כי \(0 \lt x \lt 1\). אזי

\(\displaystyle \arctan{x} = \int_0^x \frac{{d}u}{1+u^2} = \int_0^x (1 – u^2 + u^4 – u^6 + \dots) {d}u = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \frac{x^7}{7} + \dots\)

ברור שהפיתוח של \(\frac{1}{1+u^2}\) בטור הנדסי אפשרי אך ורק אם \(u^2 \lt 1\) ולכן התנאי \(0 \leq x \lt 1\) היה דרוש. נוסף על זה הנחנו שהאינטגרל של סכום של טור אינסופי שווה לסכום האינטגרלים של אברי הטור. דבר זה אינו נכון תמיד אבל ניתן לאשר כי הוא קיים במקרה זה. המעבר ל-\(x\) שלילי הוא מידי מאחר שגם \(\arctan{x}\) וגם נוסחת ליבניץ מחליפים את סימנם כאשר מציבים \(-x\) במקום \(x\).

20 תגובות על על החישוב של π

  • מאת א.עצבר‏:

    במאמר זה קיימת הנחה כי (מספר היחס בין היקף מעגל לקוטרו של 1 מ”מ ) = ( למספר היחס בין מעגל לקוטרו של 1000 מ”מ)

    הנחה זו מתגלה על פי שיטת החישוב המקובלת המסמנת את הקוטר במספר 1 ( כאשר 1 יכול להיות 1 מ”מ או 1000000 מ”מ)
    נובע מכך שקיימת הסכמה ( שכלל לא מוכחת) שהקוטר האמיתי של מעגל , כלל לא משפיע על ערכו של מספר היחס בין היקף מעגל לקוטרו.
    ואם הקוטר האמיתי של מעגל ( המוצג לדוגמה 14557 מ”מ ) כן משפיע על ערכו של מספר היחס בין ההיקף לקוטר ?
    חקירת המעגלים, מחייבת לפתור מיד בהתחלה, את בעיית הקוטר האמיתי .

    א.עצבר

  • מאת יוסי‏:

    היי אני לא קשור פה לעיתון אבל סתם ראיתי את התגובה שלך האם התכוונת שהם הניחו שפאי קבוע? זה מה שהתכוונת?
    אם כן יש הוכחה פשוטה עם חולקת המעגל לקטעים קטנים כמו בחדו”א.

    • מאת א.עצבר‏:

      ביקורת על המאמר….על החישוב של פאי

      מאמר זה פותח במשפט…נהוג לסמן באות היוונית פאי, את “היחס” ביו היקף המעגל לקוטרו ….
      ראשית מהו יחס ? והתשובה היא …פיזור אחיד של כמויות.

      כל מספר מביע כמות ערטילאית , והפיזור האחיד של 3 ב 18 ירשם בקיצור כך 3||18
      מהפיזור האחיד של 3 ב 18 נובע גם פיזור אחיד של 2 ב 12 הנרשם כך 2||12 , ונובע גם פיזור
      אחיד של 1 ב 6 הנרשם כך 1||6 , ונובע גם פיזור אחיד של 7 ב 42 הנרשם כך 7||42 , ונובע גם
      פיזור אחיד של 17.5 ב 105 הנרשם כך 17.5||106 וכן הלאה ללא סוף

      יחס מתמטי הוא פיזור אחיד של צמד מספרים זה בזה , ואותו יחס ניתן להבעה עם אינסוף צמדי מספרים.

      יחס פיזיקלי ידוע הוא “מהירות קבועה” המביע מרחק תנועה וזמן תנועה בפיזור אחיד.
      מהירות קבועה ידועה מראש , של 88 מטרים במשך 1 שנייה תרשם כך 88||1 או כך 44||0.5
      או כך 132||1.5 או כך 616||7 או כך 352||4 וכן הלאה ללא סוף.

      יחס פיזיקלי של אותו צבע אחיד יופיע אם נערבב היטב 1 סמ”ק יין ב 427 סמק מים, או אם נערבב
      היטב 12 סמ”ק יין ב 5124 סמ”ק מים , וכן הלאה ללא סוף

      יחס גיאומטרי יופיע בין אורכי ניצבים של משולש ישר זווית הידועים מראש , כמו 3ס”מ ו 12 ס”מ

      יחס גיאומטרי יופיע בין צירוף אורכים אקראי של קיסם ועיפרון , אך ליחס זה אין יחס מתמטי משקף,
      כיוון שהאורכים המדויקים של הקיסם והעיפרון אינם ניתנים לייצוג מספרי.
      אם נמדוד את אורך הקיסם ואורך העיפרון, נוכל להביע את היחס הנעלם של אורכים אלו , כנמצא
      בין שני יחסים מתמטיים, לדוגמה בין 128||21 ל 127||21

      יחס גיאומטרי יופיע בין צירוף אורכים אקראי של היקף מעגל וקוטרו, אך ליחס גיאומטרי זה אין יחס
      מתמטי משקף, כיוון שהאורכים המדויקים של היקף המעגל וקוטרו, אינם ניתנים לייצוג מספרי.
      אם נמדוד את אורך ההיקף ואורך הקוטר של מעגל אקראי, נוכל להביע את היחס הנעלם של אורכים אלו, כנמצא בין שני יחסים מתמטיים .

      לכל מעגל יש יחס נעלם ייחודי הנמצא בין שני יחסים מתמטיים.

      אין כל דרך להוכיח כי היחסים הנעלמים של כל המעגלים הם שוים.

      לכן, אין כל טעם בחישוב המוצג במאמר זה.

      א.עצבר

  • מאת א.עצבר‏:

    צירוף אקראי של שני אורכים רציפים.
    אורך קיסם ואורך עיפרון מציגים צירוף אקראי של שני אורכים רציפים, ורק מדידה מסוגלת לגלות שני
    מספרים קרובים זה לזה, האומרים פי כמה גדול אורך העיפרון מאורך הקיסם.
    אורך היקף מעגל נבחר ואורך קוטרו מציגים צירוף אקראי של שני אורכים רציפים,ורק מדידה מסוגלת
    לגלות שני מספרים קרובים זה לזה, האומרים פי כמה גדול אורך ההיקף מאורך הקוטר.
    צירוף אקראי של שני אורכים רציפים, שייך לפיזיקאי המבצע מדידות, ואינו שייך למתמטיקאי.
    לכן, המעגל לא שייך למתמטיקה אלא הוא שייך לפיזיקה.

    מדידה מדויקת מאוד מסוגלת לגלות כי פאי משתנה בתחום זעיר על פי קוטר אמיתי של המעגל.
    תוצאה כזו מצביעה על טעות יסודית בהבנת המושג “הוכחה מתמטית” בהקשר לנושא מעגלים.

    א.עצבר

  • מאת יוסי‏:

    אם תוכיח שפאי קבוע בכל גדלי המעגלים תוכל לבסס עליו מה שתרצה ואכן אפשר להוכיח שפאי קבוע מבלי למדוד אורכים

  • מאת א.עצבר‏:

    אי אפשר להוכיח כי פאי קבוע בשני מעגלים נבחרים, שקוטרם הנבחר הוא 1 מ”מ ו 1000 מ”מ
    ומדוע אי אפשר להוכיח ? מכיוון שהחישוב המתמטי לא מסוגל להכיל מידת אורך אמיתית, כמו 1 מ”מ או 1000 מ”מ
    ההוכחה תתעלם ממידות האורך אמיתיות, והיא תחליט סתם כך לסמן כל אורך קוטר , של מעגל נבחר , במספר 1
    לאור החלטה זו ברור שנקבל אותו פאי לשני המעגלים, אף על פי שערכו המדויק והמושלם אינו ידוע.

    האם אתה מכיר חישוב מתמטי המתאים רק למעגל בקוטר 1 מ”מ ?
    האם אתה מכיר חישוב מתמטי המתאים למעגל בקוטר 1000 מ”מ ?
    האם אתה מכיר חישוב מתמטי המתאים למעגל בקוטר 0.01 מ”מ ?

    כולנו יודעים שאין חישובים כאלה, ועובדה זו חייבת להתפרש “כהחלטה לא מבוססת” האומרת שלמידת האורך האמיתית של קוטר המעגל אין כל השפעה על מספר היחס , בין היקף המעגל וקוטרו.

    החלטה זו נוחה מאוד למתמטיקאים, אבל היא מייצגת טעות עתיקה העוברת מדור לדור.

    פאי אכן משתנה תוך קיום הכלל … ככל שהמעגל קטן יותר, כך פאי ייחודי שלו גדול יותר.
    פאי מינימלי הוא בקירוב 3.1416 , והוא שייך למעגל המתקרב לקוטר אינסוף מ”מ
    פאי מקסימלי הוא בקירוב 3.164 , והוא שייך למעגל המתקרב לקוטר אפס מ”מ
    היחס בין פאי מקסימלי לפאי מינימלי הוא בקירוב 1.007

    א.עצבר

    • מאת דניאל לובזנס‏:

      א. עצבר כנראה אינו יודע כי הקשר בין מתמטיקה ופיסקה הוא חד כווני: הפיסיקה מתבססת על המתמטיקה, בעוד המתמטיקה קיימת, ותקפה, בלי כל קשר לעולם הפיסיקלי. בהנחות הגיאומטריה האוקלידית, פאי הוא קבוע, וגם משפט פיתגורס תקף ולכן היחס בין הקף ריבוע לאלכסונו הוא קבוע. זאת ללא כל קשר לאיזה שהן מדידות פיסיקליות.

      • מאת א.עצבר‏:

        אתה כותב….בהנחות הגיאומטריה האוקלידית, פאי הוא קבוע.
        ואיך אפשר לדעת אם הנחה זו נכונה ?

        נניח את קיומם של שני מעגלים מושלמים, הקטן קוטרו 1 מ”מ והגדול קוטרו 1 מטר.
        לקוטר 1 מ”מ צמוד היקף באורך בלתי ידוע , ומהצמדה זו נקבל מספר יחס לא ידוע.
        ולקוטר 1 מטר צמוד היקף באורך בלתי ידוע, ומהצמדה זו נקבל מספר יחס לא ידוע

        איך אפשר לדעת , כי שני מספרי היחס הבלתי ידועים , הם שווים ?

        התשובה פשוטה מאוד…. בואו ונסכים כי הם שווים….

        להסכמה זו יש ניסוח עדין האומר: בהנחות הגיאומטריה האוקלידית פאי הוא קבוע.

        ההסכמה של פאי קבוע קיימת אלפי שנים, ואין ספק שהיא התקבלה מטעמי נוחיות.

        תאר לך מה יקרה אם יתברר כי לכל מעגל יש פאי ייחודי .

        א.עצבר

  • מאת א.עצבר‏:

    מאמר בנושא פאי המשתנה

    http://img2.timg.co.il/forums/1_172540878.pdf

    • מאת דניאל לובזנס‏:

      נפלה כנראה שגיאת דפוס, באגף שמאל צריך להופיע “טתא” ולא “פאי” כפי שמופיע

  • מאת עמי סגל‏:

    האם נוסחה (10) רשומה נכון ? בברכה, עמי סגל

  • מאת admin‏:

    השגיאה תוקנה

  • מאת יוסי‏:

    א.עצבר פאי הינו קבוע וכבר הוכיחו את זה בעזרת האקסיומות של הגאומטריה האוקלידית, כאשר אתה מניח את האקסיומות האלה אין לך מה להתווכח פאי הוא קבוע.

  • מאת א.עצבר‏:

    היה ראוי שתציג הוכחה , שפאי של מעגל בקוטר 1 מ”מ, = לפאי של מעגל בקוטר 1 מטר.

    אני ממש בטוח שאין הוכחה כזו, והרעיון של פאי קבוע בשני המעגלים האלה, הוא פשוט מוסכמה הקיימת אלפי שנים, והיא נמסרת מדור לדור.

    אין לי ספק שמוצג כאן רעיון חדשני ( הנתפס כהזוי) אבל קשה מאוד להתמודד אתו.

    אבל גם קשה מאוד ( ובלתי אפשרי לדעתי) לספק הוכחה כי פאי של מעגל בקוטר 1 מ”מ = לפאי של מעגל בקוטר 1 מטר.

    ואולי אני טועה ויש הוכחה כזו ?

    אם יש…אנא כתוב אותה.

    א.עצבר

  • מאת יוסי‏:

    שלום א.עצבר ההוכחה שפאי קבוע נמצאת בידי ואם תביא לי את המייל שלך אשלח לך.

  • מאת א.עצבר‏:

    יפה, פרסם אותה כאן , באופן גלוי לכולם.

    ההוכחה חייבת להיות ברורה מאוד.

    יש להוכיח כי פאי של מעגל בקוטר של 1 מ”מ = פאי של מעגל בקוטר של 100 מ”מ

    אפשר גם לבחור קטרים אחרים, ובלבד שתציין אותם במילימטרים, או מטרים, או אינצ’ים, וכן הלאה.

    אם הציון הזה לא יופיע, כל הוכחה שתציג, מציגה “הסכמה” שפאי קבוע בכל המעגלים.

    א.עצבר

  • מאת יוסי‏:

    אסביר לך א.עצבר אני יכול להוכיח לך בקובץ, בלי קובץ זה קצת מסובך ואני לא יודע איך לשלוח קובץ

  • מאת א.עצבר‏:

    אם יש הוכחה, היא חייבת להיות פשוטה מאוד

    אם היא מסובכת וארוכה, בטוח שאינה נכונה.

    הסבר:

    בוא ונסכים כי השם קאי יביע את מספר היחס בין היקף ריבוע לאורך אלכסונו.

    האם קאי = בכל הריבועים ?
    האם קאי של ריבוע שאורך אלכסונו 1 מ”מ = לקאי של ריבוע שאורך אלבסונו 1000 מ”מ ?
    התשובה היא כן ….קאי קבוע בכל הריבועים , כיוון שכל הריבועים דומים דמיון מושלם זה לזה.
    אומנם המספר המדוייק של קאי לא ידוע, אך הוא נמצא בתחום צר בין 2.82843 ל 2.82844

    מי שטוען כי פאי = בכל המעגלים, מספיק שיוכיח כי כל המעגלים דומים דמיון מושלם זה לזה, וצורתם זהה לחלוטין.
    זוהי ההוכחה הנדרשת, וכל הוכחה אחרת פשוט מיותרת.
    האם אפשר להוכיח כי מעגל בקוטר 1 מ”מ דומה דמיון מושלם למעגל בקוטר 1000 מ”מ ?
    סימן הדמיון היחידי במעגלים הוא “צורתו האחידה ” של קו ההיקף, אבל מבט פשוט בקוו ההיקף של מעגל בקוטר 1 מ”מ
    מגלה “צורה אחידה ייחודית” וגם לקו ההיקף של מעגל בקוטר 1000 מ”מ יש “צורה אחידה ייחודית”
    לכן, המעגלים אינם דומים זה לזה, ובהכרח לכל מעגל יהיה פאי אחר.

    א.עצבר

  • מאת יוסי‏:

    תקשיב א.עצבר זו הוכחה מאוד פשוטה אך צריך שרטוט כדאי להבין אותה

  • מאת א.עצבר‏:

    תבקש מהעורך אפשרות לפרסם קובץ, ואז כולם יראו את ההוכחה.