על בעיות אחדות בגיאומטריה אלמנטרית

במאמר זה על גיאומטריה אלמנטרית נטפל במספר בעיות פתורות ונזכיר בעיות פתוחות אחדות. אני מקווה לשכנע את הקורא כי גם בגיאומטריה אלמנטרית, מקצוע בו עוסקים זה אלפי שנים, אפשר עדיין למצוא בעיות רבות חדשות הניתנות לפתרון באמצעים פשוטים למדי.

ב-1933 כשקראתי את ספרם של \({Hilbert ^1 , Cohn-Vossen}\) \({“Geometry ~and ~Imagination”}\)
התעוררה אצלי הבעיה הבאה: בהנתן \({n}\) נקודות במישור, לא כולן על ישר אחד, האם קיים תמיד ישר העובר דרך שתיים מהן בדיוק?

למרות שהדבר נראה פשוט ביותר לא הצלחתי להתירו. ספרתי על הבעיה למתמטיקאי ההונגרי T. Gallai שמצא פתרון נאה לבעיה.

בשנת 1936 בקונגרס המתמטי באוסלו הוזכרה בעיה זו ע”י המתמטיקאי היוגוסלבי Karamatar. הוא מצא משפט זה מנוסח ללא הוכחה בספר מכניקה ישן והתקשה להוכיחו בעצמו. ב-1943 פרסמתי שאלה זו במדור השאלות של American Math. Monthly ונתקבלו פתרונות שונים. היפה שביניהם הוא פתרונו של המתמטיקאי האמריקאי
A. Kelly הנתון להלן:

נניח כי קיים סידור מישורי של \({n}\) נקודות, לא כולן על ישר אחד, ובכל זאת אין אף ישר אחד העובר בדיוק דרך שתי נקודות, כלומר כל ישר העובר דרך שתי נקודות חייב להכיל גם נקודה שלישית. נתבונן באוסף הישרים המוגדרים ע״י כל \({n}\) הנקודות ובמרחקים של כל אחת מהנקודות אל אחד מהישרים. בקבוצת מרחקים זו קיים בהכרח מרחק מינימלי \({d}\) המתקבל למשל בין הנקודה \({A}\) והישר \({\ell}\) מסוימים (ראה ציור מס’ 1). ישר \({\ell}\) הוא אחד מהישרים המחברים נקודות, לכן נמצאות עליו לפי ההנחה לפחות שלש נקודות. לא ייתכן כי שתיים מהן תמצאנה מצדו האחד של עקב האנך \({AA’}\) על \({\ell}\), שכן אם \({B}\) ו-\({C}\) הן במצב כזה נעביר את הישר \({AB}\) והאנך \({CC’}\) קטן מ- \({AA’=d}\) בנגוד להנחתנו כי \({d}\) הוא הקטן במרחקים בין נקודה לישר בקבוצת הנקודות והישרים שלנו.

ציור מס׳ 1

ציור מס׳ 1

באותו אופן לא ייתכן כי תמצאנה שתי נקודות מצדו השני של העקב. האפשרות הנותרת היא כי נקודה אחת תתלכד עם הנקודה \({A’}\) ושתי הנקודות האחרות תמצאנה משתי צידיה. אך גם אז עדיין \({A’A”<d}\) בנגוד למינימליות של \({d}\).

קבלנו סתירה להנחתנו וזה אומר שהישר בעל המרחק המינימלי עובר דרך שתי נקודות משני צידי העקב, ורק דרכן.

Kelly הצביע גם על מקור השאלה. ב-1893 פרסם אותה המתמטיקאי היהודי Sylvester (המיסד של עתון מתמטי אמריקאי ראשון) ב-Educational Times (שאלה 11851 כרך 59 עמ׳ 98) אך לא נתקבל כל פתרון, וגם לא ידוע, אם סילבסטר ידע את הפתרון. משפט זה ידוע, איפוא, בשם משפט גאלאי.

נציין שהוכחת Kelly הופיעה גם בעבודתו של Coxeter ב-American Math. Monthly (כרך 55 עמ׳ 28-26).

ב-1949 הכרתי את המתמטיקאי הישראלי מוצקין העובד כעת בארה”ב. התברר שהוא נתקל בשאלה זו ב-1933 והמתמטיקאי א. רובינזון (כעת פרופסור באוניברסיטה העברית) מצא פתרונה ב-1939.

בעקבות בעיה זו מתעוררות שאלות נוספות כגון: תהינה נתונות \({n>2}\) נקודות במישור, לא כלן על ישר אחד. ישר נקרא ישר רגיל כאשר הוא עובר דרך שתי נקודות בדיוק. לפי משפט גאלאי קיים לפחות ישר רגיל אחד. אפשר גם לתאר מצב כללי ביותר בו אף שלש נקודות אינן נמצאות על ישר אחד ואז יהיה מספר הישרים הרגילים \({\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}}\). אם תמצאנא \({n-1}\) נקודות על ישר אחד והאחרונה מחוצה לו קיימים בדיוק \({n-1}\) ישרים רגילים.

נסמן ב- \({f(n)}\) את המספר המינימלי של ישרים רגילים שאפשר לקבל בסידור כל שהוא של \({n}\) נקודות. המתמטיקאי ההולנדי de Bruijn ואני שערנו כי \(f(n) \to \infty\) כאשר \({n \to \infty}\). כלומר לכל \({A}\) גדול כרצוננו אפשר למצא מספר \({n_0}\) כך שלכל \({n}\) נקודות במישור שלא כלן נמצאות על ישר אחד ושמספרן גדול מ-\({n_0}\) (ז.א \({n>n_0}\)) מספר הישרים הרגילים מקיים \({f(n)>A}\).

המתמטיקאי האנגלי G. Dirac הראה כי \({f(n) \geq 3}\). עבור \({n=3}\) ו-\({n=7}\) מקבלים שויון: \({f(n)=3}\) (עבור \({n=7}\) השוה את הציור מס’ 2 בו הקוים הרגילים צוינו במקווקו).

מוצקין הוכיח כי \({f(n)>\sqrt{n}}\) ובזה אימת את השערתנו. לאחרונה הצליחו Kelly ו-Moser להוכיח כי \({f(n) \geq \frac{3}{7}n}\). גם כאן מתקיים שויון עבור \({n=7}\). יתכן שאפשר לשפר תוצאה זו ל-\({n}\) גדולים יותר. קיימת, למשל, ההשערה כי קיים \({n_0}\) כזה שעבור כל \({n>n_0}\) מתקיים \({f(n)=n-1}\). Dirac שיער שעבור \({n>7}\) קיים \({f(n) > \frac{n}{2}}\).

ציור מס׳ 2

ציור מס׳ 2

בשנת 1933 הבחנתי כי ממשפט גאלאי נובעת גם התוצאה הבאה: \({n}\) נקודות במישור, שלא כלן נמצאות על ישר אחד, מגדירות לפחות \({n}\) ישרים. (אין לשפר תוצאה זו כפי שאפשר לראות מן המקרה כאשר \({n-1}\) נקודות נמצאות על ישר אחד). שערתי גם שקיים \({n_0}\) (גדול למדי) שכל \({n}\) נקודות במישור עם \({n>n0}\) ומסודרות כך שאף \({n-1}\) מהן אינן על ישר אחד, מגדירות לפחות \({2n-4}\) ישרים.

עבור \({n=7}\) אין עדיין ההשערה נכונה כיון שבציור מס’ \({2}\) אפשר לספור רק \({9}\) ישרים בשעה ש- \({2n-4=10}\) במקרה זה.

Kelly ו-Moser הוכיחו בעבודתם המוזכרת (ראה בסוף המאמר רשימה הספרות) את המשפט הכללי הבא:

נניח ש- \({n}\) נקודות במישור מסודרות כך, שאין יותר מ- \({n-k}\) מהן נמצאות על ישר אחד וש-

\(\displaystyle (1) \quad { n \geq \frac{1}{2} [ 3 (3k-2)^2 + 3k – 1 ] }\)

אזי מספר הישרים שהן מגדירות הוא לפחות

\(\displaystyle (2) \quad {kn-\frac{1}{2}(3k+2)(k-1)}\)

בטוי זה הוא ההערכה הטובה ביותר כפי שאפשר להיוכח בעזרת הדוגמה הכללית הבאה שנתנה ע”י המחברים:

תסודרנה \({k}\) נקודות במישור כך שאין שלש מהן על ישר אחד. נסמן ב- \({\ell}\) ישר רצוני שאינו עובר דרך אף אחת מהן. נעביר את כל הישרים המחברים את \({k}\) הנקודות ונגדיר \({\binom{k}{2}}\) נקודות נוספות כנקודות החיתוך של \({\binom{k}{2}}\) ישרים אלה עם הישר \({\ell}\). אליהן נצרף עוד \({n-k-\binom{k}{2}}\) נקודות רצוניות על \({\ell}\). בסך הכל יש לנו \({n}\) נקודות, מהן לכל היותר \({n-k}\) נמצאות על ישר אחד (במקרה שלנו על \({\ell}\)). \({n}\) הנקודות מגדירות

\({1+k(n-k)-\binom{k}{2} = kn -\frac{1}{2}(3k+2)(k-1)}\)

ישרים.

אם נציב \({k=2}\) נקבל כי עבור \({n \geq \frac{1}{2} [ 3 (6-2)^2 + 3 \cdot 2-1 ] = 26\frac{1}{2}}\) מספר הישרים הוא לפחות \({2n-\frac{1}{2}(3 \cdot 2+2)(2-1)=2n-4}\) ז.א השערתי מתקימת עבור \({n \geq 27}\).

יתר על כן Kelly ו-Moser הוכיחו כי השערתי נכונה גם עבור \({n=10}\) והם סבורים כי היא מתקיימת גם עבור \({11 \leq n \leq 26}\).

במקרים \({n=7,8,9}\) מקבלים לפחות \({2n-5}\) ישרים. זו גם התוצאה הטובה ביותר כפי שאפשר לראות עבור \({n=7}\) מציור מס’ \({2}\) עבור \({n=8}\) מציור מס’ \({3}\) ועבור \({n=9}\) מציור מס’ \({4}\).

התוצאות של Kelly ו-Moser עדיין אינן ממצות את מכלול הבעיות הקשורות לנושא זה.

ציור מס׳ 3

ציור מס׳ 3

מועלית למשל ההשערה הבאה: קיים מספר קבוע \({C}\) שאינו תלוי ב-\({n}\) וב-\({k}\), כך ש-\({n}\) נקודות במישור, שלכל היותר \({n-k}\) מהן נמצאות על ישר אחד, מגדירות לפחות \({Cnk}\) ישרים. (נראה שהשערה זו נכונה עבור \({C=\frac{1}{10}}\)).

או השערתו של Dirac: בהינתן \({n}\) נקודות במישור, לא כלן על ישר אחד, קיימת ביניהן נקודה אחת שממנה נמתחים אל שאר הנקודות לפחות \({\frac{n}{2}}\) עבור \({n}\) זוגי ו-\({\frac{n-1}{2}}\) עבור \({n}\) אי-זוגי, ישרים שונים.

נזכיר עוד את הבעיה הבאה שהוצגה ע”י סילבסטר: נתון סידור מישורי של \({n}\) נקודות. מהו המספר המקסימלי של ישרים העוברים בדיוק דרך \({3}\) נקודות. סילבסטר הוכיח למשל שעבור \({n=9}\) יתכנו לכל היותר \({10}\) ישרים.

ננסה עתה להכליל בעיות גיאומטריות – מישוריות אלה לבעיות קומבינטוריות.

ינתנו \({n}\) אלמנטים \({a_1, a_2, \ldots, a_n}\) ו-\({m}\) קבוצות חלקיות, \({A_1, A_2, \ldots, A_m}\) המורכבות מהם כך שכל אחת מכילה לפחות שני אלמנטים. נתנה שכל זוג אלמנטים \({a_i, a_j}\) מופיע ב-\({A_k}\) אחד ובאחד בלבד.

ציור מס׳ 4

ציור מס׳ 4

כדוגמה למערכת כזו ישמשו הנקודות במישור והישרים המחברים אותן בהם דנו בבעיות הקודמות.

אך קיימות מערכות מסוג זה שאינן נתנות לממוש ע”י נקודות וישרים במישור, למשל, עבור \({n=m=7}\), מקבלים את המערכת

\(\displaystyle \begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_1 & a_5 & a_6 \\ a_1 & a_4 & a_7 \\ a_2 & a_4 & a_6 \\ a_2 & a_5 & a_7 \\ a_3 & a_4 & a_5 \\ a_3 & a_6 & a_7 \end{matrix} \)

מערכת זו המקיימת את הדרישות הנ”ל אינה ניתנת למימוש במישור כי אין פה אף ישר רגיל בנגוד למשפט גאלאי.

כאן קיים המשפט הבא:

אם \({m>1}\), הרי \({m \geq n}\).

אם נמשיך לכנות אלמנטים מוכללים אלה בשם נקודות וקבוצות חלקיות שלהם בשם קוים, נוכל לנסח את המשפט בצורה הבאה:

בסידור בו אין כל הנקודות על קו אחד מספר הקוים אינו קטן ממספר הנקודות.

זוהי הרחבה מהותית של המשפט המישורי הטוען כי \({n}\) נקודות שאינן על ישר אחד מגדירות לפחות \({n}\) ישרים.

משפט זה הוכח לראשונה ב-1938 ע”י המתמטיקאי ח. חנני (כעת פרופסור בטכניון) ובאופן בלתי תלוי ב-1941 ע”י המתמטיקאי היהודי מהונגריה Szekeres.

ההוכחה הפשוטה ביותר של עובדה זו שייכת ל- de Bruijn והיא תובא להלן:

כל שתי נקודות \({{a_i}_1}\) ו-\({{a_i}_2}\) מגדירות קו יחיד \({A_i}\) שהוא הקבוצה המכילה אותן (קיימת רק אחת כזו).

ב-\({k_i}\) נסמן את מספר הקוים העוברים דרך \({a_i}\) וב-\({s_j}\) את מספר הנקודות הנמצאות על \({A_j}\). ברור כי \({1 < k_i < n}\) וכן \({1 < s_j < n}\) (לא כל הנקודות הן על קו אחד ועל כל קו יש לפחות שתי נקודות).

לא קשה להוכיח כי

\((3) \quad \displaystyle \sum_{j=1}^n s_j = \sum_{i=1}^n k_i\)

(זה אפשר לראות בעזרת אינדוקציה לפי מספר הנקודות או ע”י חשוב ישיר).

אם אין הקו \({A_j}\) עובר דרך הנקודה \({a_i}\) חייב להתקיים

\((4) \quad \displaystyle {s_j \leq k_i}\)

כיוון שאת הנקודה \({a_i}\) אפשר לקשר לפחות ב-\({s_j}\) קוים שונים אל הנקודות שעל הישר \({s_j}\).

ללא אבדן כלליות אפשר להניח ש-

\((5) \quad \displaystyle {\min_{1 \leq i \leq n} k_i = k_n = p}\)

ושהקוים \({A_1, A_2, \ldots, A_p}\) עוברים כלם דרך \({a_n}\).

ברור כי \({k_n > 1}\) (לא כל הנקודות הן על קו אחד).

על כל קו כזה \({A_j}\) \({1 \leq j \leq p}\) יש נקודה נוספת פרט ל-\({a_n}\) ונסמנה ב-\({a_j}\). כיון שהקוים שונים לא תמצא \(a_j\) על \(A_k\) \(j \neq k\) ולכן לפי \({(4)}\):

\((6) \quad \displaystyle {s_2 \leq k_1, s_3 \leq k_2, \ldots, s_p \leq k_{p-1}, s_1 \leq k_p}\)

ולכל \(j > p\) אין \(A_j\) עובר דרך \(a_n\) ובודאי

\((7) \quad s_j \leq k_n\)

נניח, כי המשפט אינו נכון, כלומר \(m \lt n\). נצרף יחד את \((6)\) ו-\((7)\) ונקבל:

\((8) \quad \displaystyle \sum_{j=1}^m s_j \leq k_1 + \ldots + k_p + (m-p)k_n < k_1 + \ldots + k_p + (n-1)k_n\)

וכיון ש-\(k_n\) היה המינימלי בין ה-\(k\)-ים הרי

\((9) \quad \displaystyle \sum_{j=1}^m s_j < \sum_{i=1}^n k_i\)

בנגוד לשויון \((3)\). סתירה זו מוכיחה את משפט חנני.

עבור \(n\) נקודות במישור שלא כלן על מעגל אחד, הוכיח מוצקין בעזרת שמוש במשפט גאלאי ושמוש באינורסיה \(^2\), שקיים מעגל העובר בדיוק דרך \(3\) נקודות מהן.

להלן הוכחתו:

תהיינה \(p_1, p_2, \ldots, p_n\) הנקודות. נקבע את \(p_1\) כמרכז אינורסיה המעבירה את הנקודות \(p_2, \ldots, p_n\) לנקודות \(q_2, \ldots, q_n\). באינורסיה מכל מעגל העובר דרך המרכז (ז.א דרך \(p_1\) במקרה שלנו) מתקבל ישר. כיון שבתחילה לא היו כל \(p_1, \ldots, p_n\) נקודות מונחות על מעגל אחד לא תהיינה \(q_2, \ldots, q_n\) על ישר אחד. לפי משפט גאלאי קובעות נקודות אלה לפחות ישר אחד העובר בדיוק דרך \(2\) נקודות, נגיד דרך \(q_i, q_j\). מזה נובע ש-\(p_i, p_j\) נמצאות על מעגל, שהוא מקור הישר העובר את \(q_i, q_j\), ועובר דרך מרכז האינורסיה ז.א דרך \(p_1\). בזה הוכח שישנו מעגל העובר דרך שלש נקודות בדיוק (\(p_1, p_i, p_j\)).

השאלה הבאה שהוצגה כבר לפני זמן רב ועדיין לא מצאה את פתרונה נראית לא קלה:

תנתנה \(n\) נקודות במישור, לא כלן על מעגל אחד. נתבונן באוסף כל המעגלים העוברים דרך \(3\) נקודות לפחות. האם נכונה ההשערה כי נקודות אלה מגדירות לפחות \({1+\binom{n-1}{2}}\) מעגלים שונים.

כאשר \(n-1\) נקודות נמצאות על מעגל אחד נותנת השערה זו את המספר המדויק.

הכללה קומבינטורית של בעיה זו נתנת לנסוח הבא:

יהיו \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) אלמנטים (שיכונו נקודות) ו-\(A_1, \ldots, A_n\) קבוצות חלקיות שלהם (שתכוננה מעגלים), המכילות כל אחת לפחות \(3\) אלמנטים, וכל שלישית נקודות נמצאת בדיוק על מעגל אחד.

השאלה היא מהו הערך המינימלי של \(m\) (מספר המעגלים המוגדרים ע”י \(n\) הנקודות).

במקרה של זוגות היו הפתרון הגיאומטרי והקומבינטורי זהים ונתנו \(m_{min}=n\). במקרה זה נראה אבל שהערך המתקבל בפתרון הגיאומטרי קטן מזה של הפתרון הקומבינטורי.

חנני הוכיח כפתרון לבעיה הקומבינטורית כי לכל \(\epsilon > 0\) קיים \(n_0\) כך שלכל \(n\), \(n > n_0\) מקיים ה-\(m\) המינימלי את אי השויון

\((9) \quad \displaystyle m_{min} > (1-\epsilon)n^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{-3}{4}}\)

הוכחתו עדיין לא פורסמה ולהלן נביא אותה:

ללא אבדן כלליות אפשר להניח כי \(A_1\) מכיל \(k\) אלמנטים מתוך ה-\(n\) ואף \(A_i\) אינו מכיל יותר אלמנטים.

ברור שלכל היותר קיימות \(\binom{n}{3}\) קבוצות חלקיות שונות.

אם ניחס לכל מעגל \(k\)נקודות ונספור את מספר הקבוצות החלקיות בנות שלשה אלמנטים על כל אחד מן המעגלים לחוד, הרי ספרנו כל שלישיה אפשרית שכן כל שלישיה נמצאת על מעגל מסוים.

יתכן והפרזנו בכך שספרנו \(k\) נקודות על כל מעגל, על כל פנים:

\((10) \quad \displaystyle m \binom{k}{3} \geq \binom{n}{3} \)

או

\(\displaystyle m \geq \frac{\binom{n}{3}}{\binom{k}{3}} \gt \frac{n^3}{k^3} \)

(כי עבור \(n \gt k\) קיים \(\frac{n}{k} \lt \frac{n-1}{k-1} \lt \frac{n-2}{k-2}\))

יהיו \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) האלמנטים של \(A_1\) ו-\(e_1, e_2, \ldots, e_{\binom{k}{2}}\) \(\binom{k}{2}\) הזוגות שאפשר ליצור מ-\(k\) אלמנטים אלה. נתבונן בשלישיות \((e_i, a_j)\) כאשר \(k+1 \leq j \leq n\), כלומר \(a_j\) אינו ב-\(A_1\).

כל שלישיה כזו מופיעה ב-\(A_h\) (\(h>1\)) אחד, אך \(A_h\) כזה אינו מכיל יותר מ-\(k-2\) שלישיות כאלה כי אין בו יותר מ-\(k\) אלמנטים, מהם נמצאים כבר שניים ב-\(A_1\).

קיימות, איפוא, לפחות \(\{\frac{n-k}{k-2}\}\) (המספר השלם הראשון שאינו קטן מ-\(\frac{n-k}{k-2}\)) קבוצות \(A_j\) המכילות \(e_i\) נתון.

שני \(e_i\) שונים אינם יכולים להופיע ב-\(A_h\) אחד (פרט ל-\(A_1\)), כי אחרת היו לאותו \(A_h\) ול-\(A_1\) שלשה אלמנטים משותפים. לכן מספר ה-\(A_h\) (\(h \neq 1\)) השונים הוא לפחות \(\binom{k}{2} \{\frac{n-k}{k-2}\}\) ומכאן נובע

\((11) \quad \displaystyle m \geq 1+\binom{k}{2} \{\frac{n-k}{k-2}\} \geq 1+\binom{k}{2} \frac{n-k}{k-2} \gt \frac{k(n-k)}{2}\)

או לפי הערכה אחרת:

\((12) \quad \displaystyle m \geq 1+\binom{k}{2} \{\frac{n-k}{k-2}\} \geq 1+\binom{k}{2}\)

מ-\((10)\), \((11)\) ו-\((12)\) נובעת התוצאה \((9)\) למקרים שונים של \(k\).

כאשר \(k \leq 2^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{2}}\) מתקבל מ-\((10)\):

\(\displaystyle m \gt \frac{n^3}{k^3} \geq \frac{n^3}{2^{\frac{3}{4}}n^{\frac{3}{2}}} = n^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{-\frac{3}{4}}\)

אם \(2^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{2}} \lt k \lt \frac{n}{2}\) מתקבל מ-\((11)\):

\(\displaystyle m \gt \frac{k(n-k)}{2} \gt \frac{2^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{2}}(n-2^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{n^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{4}}} – \frac{n}{2^{\frac{1}{2}}} \gt (1-\epsilon)\frac{n^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{4}}}\)

ניצלנו כאן את העובדה כי בתחום זה \(k(n-k)\) עולה מונוטונית.

אי השויון האחרון נכון החל מ-\(n=n_0\) מסוים.

בתחום \(k \geq \frac{n}{2}\) נשתמש ב-\((12)\):

\(\displaystyle m \gt \frac{\frac{n}{2} (\frac{n}{2}-1) }{2} = \frac{n^2}{8} – \frac{n}{4} \gt (1-\epsilon) \frac{n^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{4}}}\)

אין השויון האחרון מתקיים החל מ-\(n=n_0\) מסוים.

בסך הכל \((9)\) הוכח בכל המקרים.

חנני הוכיח עוד כי עבור \(n=u^2+1\), כאשר \(u\) היא חזקה של מספר ראשוני מתקיים

\(\displaystyle (13) \quad m \leq u(u^2+1)\)

והוא משער שבמקרה זה מתקיים שויון ממש \(m = u(u^2+1)\). מ-\((9)\) ו-\((13)\) אפשר להוכיח בעזרת תורת המספרים האנליטית כי סדר הגודל של \(m\) במקרה של הבעיה הקומבינטורית שוה ל-\(n^{\frac{3}{2}}\). כלומר, לכל \(\epsilon > 0\) קיים \(n_0\) כזה שעבור \(n\)-ים גדולים ממנו (\(n \gt n_0\)) מתקיים:

\(\displaystyle (14) \quad (1-\epsilon) 2^{-\frac{3}{4}}n^{\frac{3}{2}} \lt m \lt (1+\epsilon)2^{-\frac{3}{4}}n^{\frac{3}{2}}\)

חלקו השמאלי של \((14)\) הוכח לעיל, בחלקו הימני איננו יכולים לעסוק כאן. נעיר רק שהוא נובע מהמשפט הידוע שמנת שני מספרים ראשוניים עוקבים שואפת ל-1.

שאלה זו נתנת להכללה גם לקבוצות חלקיות בנות \(l\) אברים לפחות (\(l \gt 3\)), אבל לא נעסוק בזה במאמר זה.

ספרות:

1. Th. Motzkin, The lines and planes connceting the points of finite set.
Trans. of the Amer. Math. Soc. Vol. 70 (1951) pp. 451-464

מוצקין עשה גם הכללות של משפט גאלאי עבור מרחבים רב מימדיים.

2. L.M. Kelly and W.V.J, Moser, On the number of ordinary lines determined by n points,
Canadian Jour. of Math. Vol 10 (1958) pp. 210-219


\(^1\) \(D. ~Hilbert\) (1862-1943) אחד המתמטיקאים הגדולים של התקופה האחרונה. עבד בעיקרו בגטינגן שבגרמניה.

\(^2\) על אינורסיה ראה “גליונות מתמטיקה” מס’ \(1\) עמ’ \(13\).

2 תגובות על על בעיות אחדות בגיאומטריה אלמנטרית

  • מאת א.עצבר‏:

    גיאומטריה אלמנטרית
    קו ( ולא נקודה ) הוא המושג היסודי של הגיאומטריה
    לקו יש מידת אורך וצורה , לנקודה אין מידה ואין צורה.

    יש קו פשוט בעל ” צורה אחידה – ייחודית” המופיעה בכל קטעיו ,
    וככל שהקו יתארך, הוא לעולם לא ייסגר.
    ויש קו מתוחכם בעל ” צורה אחידה – ייחודית” המופיעה בכל קטעיו,
    והוא אמור להיסגר כאשר הוא מתארך.

    לקו המתוחכם יש אינסוף הופעות, וכל הופעה מציגה קשר קבוע מראש בין אורכו הסגור,
    לבין “צורתו האחידה ייחודית” המופיעה בכל קטעיו.
    את הקשר הזה , המתמטיקה לא מסוגלת לגלות.
    את הקשר הזה , הפיזיקה מסוגלת לגלות.

    המתמטיקה יודעת לטפל רק בקו הפשוט, כיוון שזה מופיע במשפט פיתגורס.
    המתמטיקה אינה יודעת לטפל בקו המתוחכם.
    בקו המתוחכם יודעת לטפל הפיזיקה.

    א.עצבר

  • מאת Rocky‏:

    More posts of this quaytil. Not the usual c***, please