עוד על השערות ועל בעיות הפרס של המילניום

בגליון 16 דננו קצת בהשערות ובמעמדן במתמטיקה, והבאנו שלש השערות: (השערת רימן, השערת Birch ו Swinnerton-Dyer וההשערה ש \(NP \neq P \)) שהכרעתן תזכה את הפותר/ת באחד משבעה פרסים, כל אחד בסך מיליון דולר, שעם פרוש האלף השלישי, בשנת 2000, הציע מכון קליי (Clay Mathematics Institute), מכון פרטי במדינת מסצ’וסטס, ארה”ב, שנוסד אז למען קידום המתמטיקה, למי שיפתרו שבע בעיות מתמטיות קשות מאוד (אחת כבר נפתרה ־ ראו להלן), שהמתמטיקאים שבהם נועץ המכון ורבים אחרים רואים בין הבעיות הבולטות ביותר שהשאירה אחריה המאה העשרים. בהמשך נזכיר את שאר הבעיות.

הפרס יינתן רק כשנתיים אחרי שהפתרון פורסם, כך שהוא יוכל להיבדק ע”י הקהיליה המתמטית, כלומר ע”י המומחים המעטים שמסוגלים לכך. שכן נסיון עשרות השנים האחרונות מלמד שפתרון בעיה כזו משתרע על מאות עמודים. כך היה עם ההשג שזכה לפרסום בציבור בסוף האלף השני: הוכחת “המשפט הגדול של פרמה”, (שכמובן לפני שהוכח היה ראוי לקרוא לו: ההשערה של פרמה) ־ בעיקרו של דבר זו הייתה הוכחת השערה שנקראת השערת טניימה־שימורה (Taniyama-Shimura), ע”י אנדרו ויילס (Andrew Wiles) בשנות ה־1990. לפעמים נעזרים בהוכחות כאלה עוד במחשב הבודק אלפי אפשרויות או עורך חישובי ענק, ואז למעשה רצוי לבדוק גם את התוכנה.

בניגוד למה שאפשר לחשוב, קשה להניח ששבעת מיליוני הדולרים יקדמו את פתרון הבעיות האלה, וכמו שאמר אחד המומחים ־ יותר קל לעשות מיליון דולר מאשר לפתור בעיה כזו. מי שפותר(ת) בעיה כזו צריכ(ה) להיות מראש עמוק בתוך הנושא המתמטי, ומראש בעל(ת) מוטיבציה (וכשרון) להתגבר על הקשיים והתסכולים ולחשוף את הסוד המתמטי. גם בלי פרסי המילניום הוא או היא הי(ת)ה זוכה בסיפוק ובכבוד עצומים, במשרות נחשקות ובפרסים.

לעומת זאת מה שפרסי המילניום כן השיגו, הוא לתת פרסום לשבע הבעיות, גם בין המתעניינים במתמטיקה והמתמטיקאים שאין זה שטח התמחותם ואפילו בציבור הרחב. בהקשר זה יש לשבח את בוחרי שבע הבעיות שהם בחרו בעיות מענפים שונים לגמרי במתמטיקה.

כאמור, מבין שבע הבעיות, אחת כבר נפתרה, וגם היא הייתה הוכחתה של השערה ־ הוכחת השערת פואנקרה (Poincaré) שאותה הוכיח גריגורי פרלמן מסנט־פטרבורג (רוסיה) בעקבות שיטות של ריצ’רד המילטון. אחרי שפרלמן פרסם את הוכחתו באינטרנט בשנת 2002־2003, נדרשו כשנתיים של בדיקה מאומצת ע”י מומחים כדי להשתכנע שכנראה אין בה שגיאה.

מעניין שפרלמן סרב לקבל את הפרס (שהוענק לבסוף, כתחליף, למכון פואנקרה בצרפת), וגם סרב לקבל את מדליית פילד’ס ־ הפרס היוקרתי ביותר במתמטיקה, למרות נסיונות שכנוע נמרצים. מניעיו אינם ברורים ־ הוא טוען ששופטי הפרסים אינם ראויים לשפוט את עבודתו, אבל יהי אשר יהי, הוא מציב כאן דוגמת נגד לטענה שאין בעולם דבר חשוב יותר ממיליון דולר…

השערת פואנקרה דנה בטופולוגיה של יריעות. (ראו במאמר: גיאומטריה של משטחים ומשפט Gauss-Bonnet בגליון 16.) אם בידינו בלון גמיש, נוכל לעקם אותו כך שיהיה כדורי, או מארך, או בצורת אגס. אם בידינו גלגל־ים גמיש מאוד, נוכל לעקם אותו עד שיקבל צורת ספל עם ידית! הטופולוגיה מתעלמת ממה שקורה כאשר מעקמים, ומתמקדת בהבדל בין בלון רגיל לבין גלגל־ים, וביניהם לבין בלון בצורת ביגלה עם מספר “חורים” וכו’. שטח פני בלון כזה הוא דו ממדי, והמתמטיקאים קוראים לזה “יריעה דו־ממדית”. יתר על כן, היא נקראת “סגורה” כי אין לה שפה (מה שיש, למשל, לעיגול מלא, שמבחינה טופולוגית זהה לריבוע מלא).

כבר במאה התשע־עשרה, כאשר החלו לחשוב בצורה “טופולוגית” כזו, הבינו, וגם הוכיחו באופן מתמטי מדויק, שמבחינה טופולוגית יריעה דו־ממדית שהיא פני בלון כזה היא תמיד פני־כדור או פני־כדור שהוסיפו לו ידיות (גלגל ים הוא פני־כדור עם ידית אחת) ומה שקובע הוא רק מספר הידיות. במיוחד, על פני־כדור עם ידיות אפשר לשרטט עקום סגור ששום עיוות של העקום על המשטח לא יוכל לכווץ את העקום לנקודה. על בלון כדורי (או עיוות שלו) כל עקום סגור אפשר לכווץ לנקודה. ליריעה עליה כל עקום סגור ניתן לכיווץ לנקודה קוראים “פשוטת קשר”.

אבל מתמטיקאים אינם נוהגים להגביל את עצמם למרחב תלת־ממדי (וגם בשימושים, כאשר יש יותר משלושה משתנים התאור הגרפי הוא מממד גדול משלוש), ובמרחב מממד ארבע, חמש, שש וכו’ יהיו יריעות ממדים גבוהים יותר, ביניהן האנלוג של “פני־כדור” (למרות שקשה מאוד, או אי אפשר, “לראות” אותן באופן הסתכלותי). פואנקרה, בתחילת המאה העשרים, שיער שכל יריעה סגורה תלת־ממדית פשוטת קשר היא מבחינה טופולוגית פני־כדור תלת־ממדיים (שהם פני ה”כדור” של מרחב ארבע־ממדי!). במשך המאה העשרים הוכיחו השערות דומות ליריעות מכל ממד פרט לשלוש\(^1\), ובכלל מצאו שקל יותר לעבוד עם יריעות מממדים גבוהים מאשר עם התלת־ והארבע־ ממדיות. ממד שלוש חיכה לעבודתו של פרלמן.

יריעות תלת־ממדיות הן מעין מקרה ביניים: ממד שלוש נותן מצד אחד עושר שאין בממד שנים, ומצד שני אין בו חופש פראי שיש בממדים גבוהים, כך שבממד שלוש אפשר לקבל תוצאות מעניינות. למעשה, פרלמן הוכיח את השערת פואנקרה כמקרה פרטי של הוכחת השערת הגאומטריזציה של ת’רסטון (Thurston), שמכניסה סדר מופלא ביריעות התלת־ממדיות, וכשמה כן היא ־ היא מקשרת את הטופולוגיה לסוגים של גאומטריה (היפרבולית לא־אוקלידית) שבה, בניגוד לטופולוגיה, חשובים מרחקים, זויות וכו’. (ראו במאמר: גיאומטריה של משטחים ומשפט Gauss-Bonnet בגליון 16.) גם הוכחתו של פרלמן בעקבות רעיונותיו של המילטון עוברת דרך גאומטריה, משוואות דיפרנציאליות חלקיות, דברים המזכירים פיסיקה של היקום ־ הם לוקחים את היריעה = בלון (הרב־ממדית) הנתונה להם ונותנים לגאומטריה להשתנות מתוך עצמה לפי מרשם מסוים מתוך תקוה שכל ה”בליטות” ייעלמו ויתקבלו פני־כדור מושלם ־ כל זאת בלי שהטופולוגיה תשתנה. השגו של פרלמן היה בהתגברות על הקשיים הטכניים העצומים שבדרך.

כדאי לציין שגם השערת טניימה־שימורה שהביאה להוכחת המשפט הגדול של פרמה, גם השערת הגאומטריזציה של ת’רסטון, וגם בעית מילניום אחרת ־ להוכיח את השערת הודג’ (Hodge), השערה שאותה יקשה עלינו לתאר כאן, הן השערות שמקבלות חשיבות מיוחדת בכך ש(אם הן נכונות), הן מכניסות סדר בתחום משמעותי מסויים, ע”י כך שהן קובעות ששני כיווני מחקר, לפעמים שונים לגמרי, נותנים תוצאות מתלכדות. נוסיף עוד שהשערת הודג’ קשורה לעבודותיהם של פייר דליניה (Deligne) ופיליפ גריפית’ס (Griffiths) שיחד עם דייויד ממפורד (Mumford) זכו ב־2008 בפרס וולף המוענק בישראל.

במאמר בגליון 16 ובמאמר זה הזכרנו עד עתה חמש בעיות מילניום ־ כולן מבקשות להוכיח השערות (שאחת כבר נפתרה ע”י פרלמן). שתי בעיות המילניום הנותרות קשורות באופן הדוק לעולם הממשי ־ לפיסיקה.

נתבונן בנוזל, שנניח שהוא לא דחיס. אנו יכולים לכתוב את חוקי המכניקה היסודייים ־ חוקי ניוטון ואת תנאי האי־דחיסות. כותבים אותם בשפה של החשבון הדיפרנציאלי ומקבלים את משוואות Navier-Stokes, שהן משוואות דיפרנציאליות חלקיות. כמו בדרך כלל עם משוואות דיפרנציאליות חלקיות, באופן עקרוני די בהן, ובידיעת מצב הנוזל ברגע ההתחלה, כדי למצוא את התנהגות הנוזל בהמשך. למשל אפשר לפתור אותן במחשב בעזרת תוכנות לפתירת משוואות כאלה, ולקבל תאור גרפי ואנימציה של הנוזל. כמובן שפתרון כזה במחשב מתבסס על קירובים ־ פתרון נומרי, וכמובן שאי אפשר לבדוק במחשב את כל תנאי ההתחלה האפשריים.

למרות שמבחינה פיסיקלית ברור שהנוזל ימשיך לזרום, אין להוציא מכלל אפשרות שיש תנאי התחלה עבורם הפתרון המתמטי המדויק לא יהיה קיים לכל ערך של קואורדינטת הזמן בעתיד, מה שיראה לנו שאולי יתרחשו בנוזל תופעות הדומות, למשל, להלם על־קולי בזרימת אויר (אויר הוא דחיס, לכן המשוואות המתארות אותו קצת שונות ממשוואות נאוויר־סטוקס ואי אפשר להסיק ממנו לגביהן), או אולי תופעות קיצוניות שדורשות התחשבות בפיסיקה יותר מתקדמת, וכו’.

על סוגים רבים של משוואות דיפרנציאליות אפשר להוכיח, שאם מתקיימות הנחות טבעיות, יש להן פתרון כנדרש, הקיים עבור כל ערכי הזמן העתידיים \(t \geq 0\) . משוואות Navier-Stokes, למרות שהתקבלו מחוקי פיסיקה יסודיים, הן כה מסובכות (לא־לינאריות) שיודעים להוכיח זאת רק לגבי נוזל במרחב דו־ממדי, ולגבי מרחב תלת־ממדי יש רק תוצאות חלקיות. בעיית המילניום מבקשת להוכיח זאת גם לגבי עולמנו התלת־ממדי, או להוכיח שההפך נכון ־ שלגבי תנאי התחלה מסוימים הפתרון “נשבר” אחרי זמן מסויים.

בעיית מילניום אחרת קשורה לפיסיקה, אבל הפעם בהקשר הבסיסי ביותר. לגבי בעיה בפיסיקה של בית־הספר עם, למשל, חוקי ניוטון, ברור שהמערכת שבבעיה, כמערכת מתמטית, קיימת. לעומת זאת הפיסיקה המודרנית מתארת כמעט הכל ע”י מה שנקרא המודל הסטנדרטי של החלקיקים האלמנטריים (קווארקים, אלקטרונים, פוטונים וכו’ וכוחות הפועלים ביניהם: האלקטרומגנטי, הגרעיני החזק והגרעיני החלש), שבנוי כסוג של תורה פיסיקלית שנקרא תורת שדות קוונטית, במיוחד תורת שדות כיול. אלא שלעיתים קרובות הפיסיקאים נוהגים במתמטיקה באופנים שבמובן מתמטי שיטתי אינם תקפים. יש להם אמנם חוש בריא באילו דרכי חישוב והסק ללכת, אבל אפילו במאמצים מרובים אי אפשר להצדיק את כל מה שהם עושים ע”י הגדרות ומשפטים שכל מי שילך לפיהם יקבל תוצאות נכונות ולא סותרות זו את זו. לכן אי אפשר לטעון שהפיסיקה הבסיסית שלנו, במיוחד תורת שדות כיול קוונטית, קיימת כמערכת מתמטית.

אבל אפשר לרצות עוד פחות: לא לצאת דווקא מהדרכים המקובלות בפיסיקה, אלא לנסות להוכיח שקיים בכלל מבנה מתמטי המקיים את הדרישות הבסיסיות שהפיסיקה דורשת מתורת שדות כיול קוונטית. אפילו לכך יש הוכחות רק כאשר מפשטים את הפיסיקה או לוקחים פחות מארבעה ממדים (שלושה של חלל ואחד של זמן). הבעיה להוכיח זאת לגבי הפיסיקה כמות שהיא היא אחת מבעיות המילניום.

בעשרות השנים האחרונות התברר, להפתעת רבים, שתורות מעומקה של הפיסיקה, ביניהן תורות שדות כיול, מעניינות מבחינה מתמטית אפילו אילו לא היו חלק מהפיסיקה, למשל ככלי לפתרון בעיות מתמטיות מענפים לא צפויים. מאחר שהתורות הפיסיקליות לפעמים “לא קיימות באופן מתמטי”, שימוש זה בהכרח מוגבל, ולפעמים מהווה רק “הדרכה”. תפקיד זה יוגבר בהרבה אם תיפתר בעיית מילניום זו, מה שעשוי להבהיר את מקומן של תורות אלה כחלק מהמתמטיקה עצמה.

ביבליוגרפיה

J. Carlson, A. Jaffe and A. Wiles, ed. The Millennium Prize Problems. Clay Mathematics Institute and American Mathematical Society, 2006.

מרכוס דו סוטוי, המוזיקה של המספרים הראשוניים, מאנגלית: אוריאל גבעון, ידיעות ספרים, 6002.


\(^1\)אני מודה לפרופ’ מיכאל אנטוב, מהפקולטה למתמטיקה בטכניון, על הבהרת ענין זה.