סכום ריבועי הספרות, מספרים “שמחים” ו”עצובים”

נסמן ב-\({\mathbb{N}}\) את קבוצת המספרים הטבעיים \({1,2,3,\ldots}\).

עבור כל מספר כזה, אפשר לחשב את סכום ריבועי הספרות העשרוניות. למשל:

\(1\rightarrow 1\)

\(2\rightarrow 4\)

\(100\rightarrow 1^2+0^2+0^2=1\)

\(87\rightarrow 8^2+7^2=64+49=113\)

\(2506\rightarrow 2^2+5^2+0^2+6^2=4+25+0+36=65 \)

זוהי העתקה מהקבוצה האינסופית \({\mathbb{N}}\) לעצמה. אמנם די מלאכותית, אבל נושא “לגיטימי” לתרגיל…

אותנו מעניין מה קורה כשחוזרים על פעולה זו.

הערת אגב: אם לוקחים את סכום הספרות עצמן ולא את ריבועיהן, וחוזרים על הפעולה מגיעים בסוף למספר בן סיפרה אחת, שכמובן יועתק עכשיו לעצמו, והשווה לשארית של המספר המקורי בחלוקה ל 9, (ול- 9 אם המספר מתחלק ל 9). אם אינכם מכירים זאת, נסו להוכיח זאת בעצמכם.

נחזור לסכום ריבועי הספרות. כאן כמובן מספר חד-סיפרתי לא יועתק לעצמו. נבדוק מה קורה (כמובן רצוי לתכנת מחשב שיעשה את העבודה):

\(1 \rightarrow 1\)

\(2 \rightarrow 4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4\)

\(3 \rightarrow 9 \rightarrow 81 \rightarrow 65 \rightarrow 61 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4 \rightarrow 16 \rightarrow 37\)

\(4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4\)

\(5 \rightarrow 25 \rightarrow 29 \rightarrow 85 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89\)

\(6 \rightarrow 36 \rightarrow 45 \rightarrow 41 \rightarrow 17 \rightarrow 50 \rightarrow 25 \rightarrow 29 \rightarrow 85 \rightarrow\)
\( 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89\)

\(7 \rightarrow 49 \rightarrow 97 \rightarrow 130 \rightarrow 10 \rightarrow 1 \rightarrow 1\)

\(8 \rightarrow 64 \rightarrow 52 \rightarrow 29 \rightarrow 85 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89\)

\(9 \rightarrow 81 \rightarrow 65 \rightarrow 61 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4 \rightarrow 16 \rightarrow 37\)

\(10 \rightarrow 1 \rightarrow 1 \)

לפחות המספרים שאנו רואים כאן מתחלקים לשתי קבוצות: מספרים, שבעיקבות הספר \({R.~Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 3rd Edition, Springer-Verlag, 2004}\) (וראו גם בספר “מתמטיקסם” מאת יעל רוטנברג, הוצאת דני ספרים, \({2013}\)), נקרא להם “מספרים שמחים”, שמגיעים בסוף ל \({1}\) שמועתק לעצמו, ומספרים “עצובים” שנכנסים לבסוף למחזור

\(4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4 (*)\)

מהטבלה אנו רואים שהמספרים \({1,7,10}\) הם שמחים, וכן גם \({49,97,130}\) בעוד שהמספרים \({2,3,4,5,6,8,9}\) הם עצובים, וכן כמובן אברי המחזור \({(*)}\) וגם \({81,65,61,25,29,85,36,45,41,17,50,64,52}\).

משפט.

כל מספר טבעי הוא או “שמח”, כלומר חזרה על פעולת סכום ריבועי הסםרות תביא לבסוף ל \({1}\), או “עצוב”, כלומר חזרה על פעולת סכום ריבועי הספרות תכניס אותנו לבסוף למחזור המסויים \({(*)}\).

הוכחה.

ההוכחה תיעשה בעזרת שורת משפטי עזר.

משפט עזר 1.

אם \({n\le162}\) אז גם סכום ריבועי הספרות של \({n}\) קטן או שווה ל \({162}\).

הוכחה.

אם \({n<100}\), סכום ריבועי הספרות לכל היותר \({9^2+9^2=162}\). אם \({100\le n\le 162}\) אזי סיפרת המאות של \({n}\) היא \({1}\), וסיפרת העשרות לכל היותר \({6}\) ולכן סכום ריבועי הספרות לכל היותר \({1^2+6^2+9^2=118}\).

משפט עזר 2.

כל מספר \({n\le162}\) הוא או “שמח” או “עצוב”.

הוכחה.

יש להמשיך את הטבלה שלעיל עד \({162}\) (עדיף ע”י תיכנות מחשב לעשות את העבודה). מכיוון שאף פעם לא נחרוג מהקבוצה \({\{1,2,\ldots,162\}}\), הסידרה שתתקבל מכל מספר שנצא חייבת לחזור אי-פעם למספר שכבר היה בה, ואז היא תיכנס למחזור. בודקים שהמחזור הוא תמיד או \({1 \rightarrow 1}\) (ואז המספר “שמח” או \({(*)}\) ואז המספר “עצוב”.

משפט עזר 3.

אם \({n>1000}\) אזי סכום ריבועי הספרות של \({n}\) קטן או שווה מ \({\textstyle{\frac12} n}\).

הוכחה.

מספר הספרות של \({n}\) קטן או שווה מ- \({\log_{10}n+1}\). לכן סכום ריבועי הספרות קטן או שווה מ \({81(\log_{10}n+1)}\). אנו צריכים להוכיח ש

\(81(\log_{10}n+1)\le\frac12 n\)
\(162(\log_{10}n+1)\le n \)

את זה אםשר להוכיח באינדוקציה עבור \({n\ge1000}\). עבור \({n=1000}\) בודקים שזה נכון. אם זה נכון עבור \({n}\), המקיים \({n\ge1000}\),

\(162(\log_{10}(n+1)+1)=162(\log_{10}n+1)+162\log_{10}\left(\frac{n+1}n\right)\le n+162\log_{10}\left(1+\frac1n\right)\)

בשביל שזה יהיה קטן או שווה מ \({n+1}\) אנו צריכים ש

\(\log_{10}\left(1+\frac1n\right)\le\frac1{162}\)

וזה נכון כי עבור \({x>0}\) מתקיים \({\log_{10}(1+x)\le\ln(1+x)\le x}\) ואצלנו \({n\ge1000}\).

שימו לב שהיינו צריכים להשתמש באי-שוויון לא טריוויאלי של םונקציית ה \({\log}\).

משפט עזר 4.

מכל מספר טבעי \({n}\) נגיע, ע”י הפעלה חוזרת של םעולת סכום ריבועי הספרות, למספר קטן או שווה ל \({162}\).

הוכחה.

לפי משפט עזר 3. נקטיו את \({n}\) לפחות פי שניים בכל צעד עד שנגיע למספר קטו מ \({1000}\). עבור מספר זה סכום ריבועי הספרות יהיה לכל היותר \({3\times9^2=243}\). כעת יהיה סכום ריבועי הצלעות לכל היותר \({2^2+9^2+9^2=166}\), ואם מספר זה גדול מ \({162}\) אזי סכום ריבועי הצלעות שלו לא יעלה על \({1^2+6^2+9^2=118}\) וגמרנו.

וטענת המשפט נובעת כעת ממשפטי העזר 2 ו 4.