סינכרון שעונים ביולוגיים

כל אורגניזם, בין אם בעל חיים, בקטריה או צמח, מכיל שעון ביולוגי (או אפילו מספר שעונים ביולוגיים) המכתיב ומווסת את פעולות הגוף שלו. כולנו מכירים את המחזור היומי של בני האדם (המחזור הסירקאדי) שאורכו קצת יותר מ \({24}\) שעות. אגב, אורך המחזור היומי משתנה מחיה לחיה והוא בדרך כלל בטווח שבין \({22}\) ו \({28}\) שעות. שעון אחר המוכר לפחות למחציתנו הוא שעון הביוץ הנשי שאורכו כ \({28}\) יום. יש שעונים ביולוגיים שמחזורם ארוך בהרבה. למשל, חרקים ממשפחת הציקדות (סוג של צרצרים) המכונה מאגיציקאדה חייים במצב גולם רדום מתחת פני הקרקע משך \({13}\) או \({17}\) שנים ואז מתעוררים ומתבגרים בבת אחת וממלאים חלל האויר בצרצור משולב רועש במיוחד. אגב, זמר העם האמריקאי בוב דילן היה עד להתעוררות כזו של ציקדות בשנת \({1970}\) בעת ששהה באוניברסיטת פרינסטון לרגל קבלת דוקטורט של כבוד שם. הוא כתב על כך את שירו המפורסם “יומו של הארבה”. מתברר שמר דילן מצטיין בשירתו אך לא בידיעותיו בזואולוגיה, שכן הארבה הוא חרק ממשפחה אחרת לגמרי מאשר הציקאדה.

שאלה: האם תוכלו לחשוב על סיבה מדוע לבעלי חיים שונים מחזורי עירות שונים? מדוע מחזורי החיים של ציקאדות שונות הוא דווקא \({17}\) או \({13}\) שנים? מה, למשל, היה קורה אם קיים טורף של הציקאדות שמחזור העירות שלו הוא \({4}\) שנים – אילו מחזורים אינם כדאיים לציקאדות?

שאלה חשובה המעניינת חוקרים של מערכות ביולוגיות ופיזיולוגיות היא כיצד שעונים ביולוגיים מסתנכרנים. נניח למשל שני שעונים ביולוגיים הבאים במגע זה עם זה ומראים “שעות” שונות. אם יש להם תפקיד דומה, רצוי מאוד שיורו את אותה השעה, או יהיו מתואמים באיזה אופן אחר. למשל, התאים הנמצאים באזור הלב המכונה קישורית סינו-אטריאלית אחראים לקצב אחיד של פעימות לב. הם עושים זאת ע”י פעולה מתואמת (מסונכרנת). מתברר ששאלת הסינכרון של שעונים מעוררת בעיות מתמטיות מעניינות. להמחיש זאת, נדון בשאלה הפשוטה ביותר: האם אפשרי בכלל לצמד שעונים להסתנכרן באופן אוטומטי, ללא יד מכוונת?

כדי להשיב על השאלה נתחיל בהגדרה יותר מדויקת שלה. נגדיר שעון כתנועה על פני מעגל \({C}\) ברדיוס \({\frac{1}{2\pi}}\). השעה שהשעון מראה היא המרחק לאורך הקשת מנקודה שרירותית שנסמן ב \({0}\). למשל, השעון הימני באיור 1 מתאר את השעה \({0.25}\), ואילו השעון השמאלי באיור מתאר את השעה \({0.5}\). נשים לב כי מאחר שהתנועה מחזורית, הרי שהשעה \({0.99}\) קרובה מאוד לשעה \({0.01}\). המרחק בין שתי נקודות זמן אלה הוא \({0.02}\). דרך חליפית לתאר שעון מעין זה הוא כתנועה על הקטע \({[0,1]}\), כאשר אנו מזהים את הנקודה \({1}\) עם הנקודה \({0}\). בהמשך נשתמש על פי הנוחות שלנו בשתי הדרכים החליפיות שתיארנו עבור שעון.

נניח שלפנינו שני שעונים שברצונם להסתכרן. נסמן את השעה שמראה השעון הראשון ב \({x}\) ואת השעה שמראה השעון השני נסמן ב \({y}\). נגדיר גם את ריבוע היחידה

\(\displaystyle D=\{x,y| 0 \leq x \leq 1,\; 0 \leq y \leq 1\},\)

תוך שמירה על מחזוריות כלומר, כל קודקוד מזוהה עם הקודקוד המתאים לו \({\mod 1}\). פעולת הסינכרון היא פונקציה \({f(x,y)}\) המתאימה לזמנים שמראים שני השעונים זמן חדש לכל ערך רגעי שלהם \({(x,y)}\) בעת פעולת הסינכרון. כמובן שגם ערכי הפונקציה \({f}\) מתארים שעה, כלומר נקודה על פני המעגל \({C}\). מתכונת המחזוריות של השעונים מתקיים

\(\displaystyle f(0,0)=f(1,0)=f(0,1)=f(1,1). \ \ \ \ \ (1)\)

שיטת סינכרון טריוויאלית היא לבחור שעה מוסכמת על כל השעונים. כלומר \({f(x,y)=f_0}\) לכל \({(x,y)}\), כאשר \({f_0}\) הוא מספר ממשי כלשהו ב \({[0,1]}\). אבל זהו סינכרון שרירותי לא מעניין, וכפי שנראה מיד גם לא יעיל. בפרט, לא ברור מה מיוחד דווקא במספר \({f_0}\)? שיטה אחרת היא שאחד השעונים, נגיד הראשון, קובע את השעה לשניהם. כלומר \({f(x,y)=x}\). אבל זו שיטה לא דמוקרטית! מדוע שהשעון השני יסכים לציית לראשון?

אם כן, אנו רוצים למצוא פונקצית סינכרון מעניינת, וגם שוויונית. קל לראות שתכונת השוויוניות גוררת את תכונת הסימטריה

\(\displaystyle f(x,y)=f(y,x). \ \ \ \ \ (2)\)

תכונה רצויה נוספת היא יעילות: אם במקרה שני השעונים כבר מסונכרנים, אין צורך לעשות דבר. מתמטית תכונה זו מכתיבה

\(\displaystyle f(x,x)=x. \ \ \ \ \ (3)\)

תכונה טבעית נוספת שנדרוש מפונקצית הסינכרון היא רציפות של \({f}\). הגדרה מדויקת של מושג הרציפות אינה פשוטה למרות שהמלומדת אנה ליזהטוב הציגה בשני מאמריה המאלפים בגליון נט-גר של יוני \({2014}\) צעדים ראשונים לכך. מספיק למטרתנו לחשוב על רציפות של פונקציה באופן אינטואיטיבי: אם משנים את משתנה הפונקציה קצת, אז גם ערך הפונקציה משתנה קצת, כשהמילה ‘קצת’ קשורה למושג האפסילון שתואר כאמור למעלה ע”י ליזהטוב. בפרט, לפונקציה רציפה אין קפיצות.

clo1e

דוגמאות למצבי שעונים

מצוידים בהגדרות של בעיית הסינכרון ובשלוש דרישות מפונקציה זו (סימטריה, יעילות ורציפות), ניגש לשאלה כיצד בונים פונקציה כזו? ניחוש ראשון של אנשים רבים הוא לבחור את הממוצע של השעונים, כלומר

\(\displaystyle \bar{f}(x,y)=\frac{x+y}{2}.\)

ברור שדוגמא פשוטה זו מקיימת את תכונת היעילות והסימטריה. אבל האם היא רציפה? התשובה שלילית, כי קל לחשב

\(\displaystyle \bar{f}(0.5,0.999)=0.7495,\;\;\; \bar{f}(0.5,0.001)=0.2505.\)

כלומר, שינוי מזערי של \({0.002}\) בערך של \({y}\) הוביל לשינוי גדול של כמעט \({0.5}\) בערך של \({\bar{f}}\). מתברר שכשלון הדוגמא \({\bar{f}}\) אינו מקרי. למעשה הבניה המבוקשת אינה אפשרית!

משפט: לא קיימת פונקצית סינכרון \({f(x,y)}\) שהיא סימטרית, יעילה ורציפה.

הוכחות קיום הם לעיתים קרובות ישירות, כמו למשל אלגוריתם לבניית האובייקט הרצוי. אבל הוכחות אי קיום שונות מהותית כי עלינו להבטיח שלא רק אנו נכשלנו במציאת הפונקציה \({f}\), אלא שכל אחד ייכשל במשימה זו. נוכיח את המשפט בעזרת אובייקט מתמטי מעניין וחשוב המכונה דרגה. נעיר שההוכחה שנציג היא מעט היוריסטית, כלומר לא פורמלית, כי מושג הרציפות לא הוגדר כאן במדויק.

נניח אם כן שקיימת פונקציית סינכרון \({f(x,y)}\) שהיא יעילה, סימטרית ורציפה. נסמן ב \({M}\) מסלול סגור ב \({D}\), כמשורטט באיור 2, ותהא \({A}\) נקודה כלשהי על המסלול \({M}\). נתחיל לנוע על פני המסלול \({M}\) מהנקודה \({A}\) בכיוון השעון עד שנשוב לנקודה \({A}\) לאחר הקפה אחת של \({M}\). תנועה זו על פני נקודות שונות \({(x,y)}\) בתחום \({D}\) גוררת תנועה של \({f}\) על פני המעגל \({C}\) המתחילה ומסתיימת בנקודה \({f(A)}\). במהלך התנועה, \({f}\) עשויה להקיף את המעגל מספר פעמים. למשל היא עשויה להקיף אותו פעמיים בכיוון השעון, או אולי פעם אחת נגד כיוון השעון, או לא להקיפו כלל ולהישאר כל זמן התנועה על \({M}\) ליד הערך הראשוני שלה \({f(A)}\). אנו מכנים את מספר הפעמים ש \({f}\) הקיפה את המעגל \({C}\) בעת תנועה על המסלול הסגור \({M}\) הדרגה של \({f}\) ביחס ל \({M}\), ומסמנים זאת \({deg_M(f)}\). כאשר ההקפות של \({f}\) הן בכיוון השעון הן תיספרנה במספרים חיוביים, וכאשר ההקפות נגד כיוון השעון נמנה אותן כמספרים שליליים. לכן \({deg_M(f)}\) היא מספר שלם, חיובי, או שלילי, או אפס.

clo2be

מסלולים לחישוב דרגה

נחשב כעת את הדרגה של \({f}\) ביחס למסלול המיוחד \({L}\) המשורטט אף הוא באיור 2. המסלול \({L}\) מורכב משלושה קטעים. הקטע הראשון \({L_1}\) הוא האלכסון המחבר את הנקודות \({(0,0)}\) ו \({(1,1)}\). הקטע השני \({L_2}\) הוא הישר המחבר את הנקודות \({(1,1)}\) ו \({(0,1)}\), והקטע השלישי \({L_3}\) הוא הישר המחבר את הנקודות \({(0,1)}\) ו \({(0,0)}\). תכונת היעילות \({f(x,x)=x}\) מבטיחה שעל פני הקטע \({L_1}\) הפונקציה \({f}\) משלימה בדיוק סיבוב אחד על פני המעגל \({C}\) בכיוון השעון. אמנם אין לנו מידע על הערכים של \({f}\) בקטע \({L_2}\), אבל מאחר ש \({f(1,1)=f(0,1)}\), נובע ש \({f}\) מבצעת במהלך התנועה מספר שלם (אולי \({0}\)) של סיבובים במעגל \({C}\). נסמן מספר זה ב \({d}\). שיקול דומה, ותכונת הסימטריה \({f(x,y)=f(y,x)}\) מראה שגם בתנועה לאורך הקטע \({L_3}\) השעון \({f}\) משלים \({d}\) הקפות סביב המעגל \({C}\).

אם נסכם את סך ההקפות של \({f}\) סביב \({C}\) ביחס למסלול \({L}\) נקבל את הנוסחא

\(\displaystyle deg_L(f)=1+2d.\)

אמנם הערך של \({d}\) לא ידוע, אבל מסקנה מועילה מהחישוב שעשינו היא שהדרגה של \({f}\) ביחס ל \({L}\) היא מספר אי זוגי, ובפרט גילינו שהדרגה שונה מאפס.

clo3e

מסלולים המתכנסים בהדרגה לנקודה קבועה

נבנה כעת סדרה של מסלולים \({K_n}\) המתחילים ב \({L}\), כלומר \({K_1=L}\) ומתקרבים ‘לאט’ לנקודה \({(x_0,y_0)}\) כמשורטט באיור 3. כיוון שהמסלול \({K_2}\) קרוב מאוד למסלול \({K_1=L}\), ומכיוון שלפי ההנחה \({f(x,y)}\) פונקציה רציפה, אנו מצפים שהדרגה של \({f}\) ביחס ל \({K_2}\) תהיה קרובה מאוד לדרגה של \({f}\) ביחס ל \({K_1}\). אבל דרגה היא לפי הגדרה מספר שלם, לכן היא אינה יכולה להשתנות ‘מעט’, אלא אם כן השינוי הוא אפס. כלומר

\(\displaystyle deg_{K_2}(f)=deg_{K_1}(f) =1+2d \neq 0.\)

באופן דומה נקבל לכל \({j>1}\)

\(\displaystyle deg_{K_{j+1}}(f)=deg_{K_j}(f) =1+2d \neq 0.\)

אבל, עבור \({j}\) גדול מאוד, המסלול \({K_j}\) קרוב מאוד לנקודה \({(x_0,y_0)}\). לכן מתקבל שפונקצית הסינכרון \({f}\) משתנה במידה רבה, שהרי היא עושה לפחות הקפה אחת סביב המעגל \({C}\), בעוד שהמשתנים שלה \({(x,y)}\) כמעט קבועים, וזו סתירה לרציפות \({f}\). מ.ש.ל.