מספר קסום

עניין מוזר: מבין כל המספרים הממשיים בחרה אלת המתמטיקה בשניים, ונתנה להם תפקיד מיוחד. אחד מהם, \(\pi \), היה מוכר היטב עוד מימי קדם. זהו היחס בין היקף המעגל לקוטרו, שכבר הקדמונים ידעו שהוא שווה בכל המעגלים. הסימון “\(\pi \)” הופיע לראשונה בספר של וויליאם ג’ונס מ-1706, כאות הראשונה של “perimeter”, כלומר היקף. המספר \(\pi \) מופיע, כמובן, בנוסחאות גיאומטריות, אבל למרבה ההפתעה גם בהרבה הקשרים שאינם דווקא גיאומטריים, למשל בתורת המספרים – דוגמה אחת לכך נראה בהמשך הפרק. המספר השני, המסומן ב-\(e \), התגלה רק במאה ה-17, משום שהבנת משמעותו דרשה כלים מן החשבון הדיפרנציאלי. חשיבותו התבררה רק לאיטה. הראשון שקרא לו בשם (אף כי לא בשם \(e \), אלא \(b \)) היה המתמטיקאי והפילוסוף הגרמני לייבניץ (Gottfried Leibniz, 1646-1716). את השם \(e \) נתן לו ליאונרד אוילר השוויצארי (Leonhard Euler, 1707-1783) , המתמטיקאי הגדול של המאה ה-18. מקור השם אינו באות הראשונה של שמו של אוילר, אלא בכך שאוילר רצה להשתמש באות שהיא תנועה, ומכיוון שהאות \(a \) הייתה תפוסה אצלו לסימון דבר מה אחר בחר בתנועה השנייה על פי סדר האלף-בית.

תוך זמן קצר התברר שחשיבותו של \(e \) אינה נופלת מזו של \(\pi \). הוא מופיע באינספור הקשרים, ובהרבה תחומים. זהו “מספר עם עומק”, ומשום כך “מספר יפה”. כאן נציג אותו בשלושה הקשרים שבהם הוא מופיע.

ריבית דריבית

את המשמעות הראשונה של \(e \) גילה המתמטיקאי השוויצארי יעקוב ברנולי (Jacob Bernoulli, 1654-1705) , והיא נוגעת לריבית דריבית, שפירושה ריבית שמתווספת לסכום המקורי, ואז מחושבת הריבית על הסכום הכולל. נניח שהִשקַעת 1000 ₪ בתוכנית חיסכון. אם אתה מרוויח כל שנה 10% על כספך, כמה כסף יהיה לך כעבור 10  שנים? התשובה הנאיבית היא שיהיו בידך 2000 ₪, משום שהרווח שלך יהיה 10 פעמים 10%, שהוא 100%. אבל האמת היא שיהיו בידך יותר. רווח של 10% כל שנה פירושו שכל שנה נכפל כספך פי \(1\frac{1}{10}\), או בסימון עשרוני –פי 1.1. אחרי שנה יהיו לך 1.1 כפול 1000, כלומר 1100 ₪. בסוף השנה השניה יהיו לך 1.1 כפול 1100, שהם 1121 ₪. בסוף השנה השלישית יהיו לך 1.1 כפול 1121, וכו’. אחרי \(k\) שנים יהיו בידך \(100*1.1^k\)₪. במיוחד, אחרי 10 שנים יהיו בידך \(100*1.1^{10}\) שקלים, ומכיוון ש-\(1.1^{10}\) הוא בערך 2.59, יהיו בידך כ-2590 ₪.

מה קורה אם אתה מרוויח כל שנה \(\frac{1}{20}\) על כספך, ואתה מחכה 20 שנים? לפני שנשיב על כך, נעצור לרגע, ונשאל – האם התשובה תהיה יותר או פחות מן התשובה הקודמת, 2590? היא תהיה יותר. כדי לראות זאת, חלקו את 20 השנים ל-10 זוגות של שנים. לולא עניין ה”ריבית דריבית”, שנתיים של ריבית של \(\frac{1}{20}\) היו שקולות לשנה של ריבית של \(\frac{1}{10}\). בגלל הריבית דריבית, הריבית על שנתיים עוקבות היא יותר מאשר \(\frac{1}{10}\). לפיכך 10 זוגות השנים יניבו יותר מאשר 10 השנים בבעיה הקודמת. כלומר, ב-20 השנים תקבל יותר ריבית מאשר ב-10 שנים של ריבית של \(\frac{1}{10}\). על פי חשבון דומה לקודם, אחרי 20 שנה יהיו בידך \(1000*(1+\frac{1}{20})^{20}\) שקלים.\((1+\frac{1}{20})^{20}\)   הוא בערך 2.65, ולכן יהיו בידך כ-2650 שקלים (שהם, אכן יותר מ-2590). אם אתה מרוויח כל שנה \(\frac{1}{50}\) על כספך, ואתה מחכה 50 שנים, יוכפל כספך פי \((1+\frac{1}{50})^{50}\) , שהוא בערך 2.69. אם אתה מרוויח אחוז אחד לשנה, אחרי 100 שנים יוכפל כספך \((1+\frac{1}{100})^{100}\), שהוא בערך 2.704.

סדרת המספרים שאנו מסתכלים בה היא של \((1+\frac{1}{n})^n\), ולפי הדוגמאות האלה רואים שהם הולכים וגדלים כאשר \(n\) גדל. מצד שני, קצב הגדילה הולך ומואט. המספרים האלו אינם שואפים לאינסוף, אלא מתכנסים למספר שהוא גדול רק מעט מ-2.7. קירוב טוב יותר לגבול שלהם הוא 2.718. את הגבול שלהם מסמנים ב-\(e\). זוהי אחת מכמה הגדרות שקולות למספר \(e\),קרוב לוודאי שההגדרה המקובלת ביותר.

הממוצע הגיאומטרי של המספרים בין 1 ו-100

הדרך למצוא את סכום המספרים בין 1 ובין 100 היא על ידי חישוב הממוצע של המספרים האלה. הממוצע הוא האמצע בין 1 ו-100, כלומר \(\frac{1+100}{2} = 50\frac{1}{2}\), וסכומם של כל המספרים בין 1 ובין 100 הוא 100 פעמים הממוצע הזה, כלומר \(100*50\frac{1}{2} = 5050\). הממוצע של המספרים הוא המספר שאם נחליף בו כל אחד מן המספרים, לא ישתנה הסכום. אם נחליף כל אחד מ-100 המספרים בין 1 ובין 100 ב-\(50\frac{1}{2}\), נקבל מספרים שסכומם הוא כסכום המספרים המקוריים – זוהי בעצם ההגדרה של הממוצע. אם, למשל, נחליף את המספרים 6 ו-8 בממוצעם, שהוא 7, נקבל במקום 6 ו-8 פעמיים את המספר 7, ואכן \(6+8=7+7=14\).

כאן עלי לספר לכם סוד, והוא שמה שבפי העם נקרא “ממוצע” נקרא בפי המתמטיקאים “ממוצע חשבוני”. הצורך בשם מיוחד נובע מכך שיש עוד סוגי ממוצעים, שהמפורסם ביניהם הוא הממוצע הגיאומטרי. זהו המספר שאם נחליף בו את כל המספרים, לא תשתנה מכפלתם. למשל, הממוצע החשבוני בין 1 ו-100 הוא \(50\frac{1}{2}\), האמצע ביניהם. הממוצע הגיאומטרי, לעומת זאת, הוא 10, משום שאם תחליפו את 1 ואת 100 ב-10, תקבלו פעמיים את המספר 10, ואכן \(1*100 = 10*10\). הממוצע הגיאומטרי בין שני מספרים לא שליליים \(a\) ו-\(b\)  הוא השורש של מכפלתם, כלומר \(\sqrt{ab}\). הרי מכפלת \(\sqrt{ab}\) בעצמו היא \(\sqrt{ab}*\sqrt{ab}\), שעל פי הגדרת השורש שווה ל-\(ab\) , כלומר מכפלת שני המספרים המקוריים. הממוצע הגיאומטרי של 100 מספרים הוא המספר שמכפלתו בעצמו 100 פעמים, כלומר חזקתו ה-100, שווה למכפלת המספרים המקוריים. כלומר, הוא השורש ה-100 של מכפלת המספרים.

מהו הממוצע הגיאומטרי של המספרים בין 1 ובין 100? כאמור, זהו השורש ה-100 של מכפלתם, כלומר השורש ה-100  של\(1*2*3*\dots*98*99*100\). את המספר \(1*2*3*\dots*98*99*100\) מסמנים ב-\(100!\), ובעל פה אומרים “100 עֲצֶרֶת” (באנגלית – 100 factorial). זהו מספר ענקי. אם נכתוב אותו בצורה עשרונית יהיו בו בערך 150 ספרות. האם גם אותו אפשר לחשב כפי שחישבנו את הסכום, בלי לחשב את כל 99 פעולות הכפל הנדרשות? מתברר שלא, אבל אפשר להעריך אותו בדיוק לא רע.

חישוב \(100!\) שקול לחישוב הממוצע הגיאומטרי של המספרים בין 1 ובין 100. הרי אם \(x\) הוא הממוצע הגיאומטרי הזה, אז \(100! = x^{100}\), כלומר אם נדע את \(x\) נדע את \(100!\). מצד שני, אם נדע את \(100!\) נדע את \(x\), כי \(x=\sqrt[100]{100!}\). האם ייתכן שהממוצע הגיאומטרי, \(x\) , שווה לממוצע החשבוני, שהוא כזכור \(50\frac{1}{2}\)? ההשערה הזאת רחוקה מאוד מן המציאות. לו כך היה, הייתה מכפלת המספרים בין 1 ו-100 שווה ל \(50\frac{1}{2}*50\frac{1}{2}*\dots\), מכפלת \(50\frac{1}{2}\) בעצמו 100 פעמים, כלומר \((50\frac{1}{2})^{100}\). אבל \((50\frac{1}{2})^{100}\) היא הערכה הרבה יותר מדי גבוהה ל-\(100!\). כדי לראות זאת שימו לב לכך ש:  \(100*1<50\frac{1}{2}*50\frac{1}{2}\), וגם: \(90*2<50\frac{1}{2}*50\frac{1}{2}\), וכן גם: \(98*3<50\frac{1}{2}*50\frac{1}{2}\), וכו’ – נקבל כך 50 אי-שוויונים. מדוע? משום שבאגף שמאל מופיעה בכל אחד מאי השוויונות מכפלה של מספרים שסכומם 101, ובאגף ימין מכפלה של מספרים שווים שסכומם 101. אגף שמאל הוא שטח של מלבן שסכום אורכו ורוחבו הוא 101, בעוד אגף ימין הוא שטח של ריבוע שסכום אורכו ורוחבו (שבריבוע הם שווים, כמובן) הוא 101. עובדה ידועה היא ששטח של ריבוע גדול משטח של מלבן בעל אותו היקף (נחזור לכך באחד הפרקים הבאים, שנושאו הוא סימטריה). מכפלת כל אגפי שמאל של 50 אי השוויונים האלו נותנת \(100!\), ואילו מכפלת אגפי ימין היא מכפלת \(50\frac{1}{2}\) בעצמו 100 פעמים, כלומר \((50\frac{1}{2})^{100}\) . מכיוון שבכל אי שוויון אגף ימין גדול יותר, גם מכפלת אגפי ימין גדולה יותר. מה שהראינו הוא למעשה ש: \(x<50\frac{1}{2}\), כלומר הממוצע הגיאומטרי קטן מן הממוצע החשבוני. זוהי עובדה שנכונה תמיד, עם פחות או יותר אותה הוכחה, והיא נקראת “אי שוויון הממוצעים”:

הממוצע הגיאומטרי של כל קבוצת מספרים קטן מן הממוצע החשבוני או שווה לו.

מצד שני, \(100!\)  בוודאי גדול מ-,\(2^{100}\) משום ש-\(100!\) הוא מכפלת 100 מספרים שרובם גדולים בהרבה מ-2. המכפלה הזאת גדולה גם מ-\(10^{100}\), משום שרוב המספרים במכפלה גדולים בהרבה מ-10. מהו המספר הנכון, בין 1 ל-100, שמכפלתו בעצמו 100 פעמים תיתן \(100!\)? במילים אחרות, מהו המספר \(x\) ש- \(x^{100} = 100!\)? השתכנענו ש-\(10<x<50\frac{1}{2}\). אבל מהו? התשובה היא שזהו בערך \(\frac{100}{e}\), שהוא בערך 36.79. כמובן, המספר 100 הוא רק דוגמה. חבויה כאן עובדה כללית, שאותה הראה ג’ימס סטרלינג (James Stirling, 1692-1770):  הממוצע הגיאומטרי של המספרים בין 1 ל-\(n\) הוא בערך \(\frac{n}{e}\).

מה משמעותו של ה”בערך” הזה? הרי “בערך” אינו ניסוח מתמטי! ובכן, הדבר אומר שהיחס בין הממוצע הגיאומטרי האמור ובין  \(\frac{n}{e}\) הולך ומתקרב ל-1, כאשר \(n\) הולך וגדל. כלומר שבגבול, היחס הזה הוא 1. הממוצע הגיאומטרי של המספרים בין 1 ו-\(n\) הוא, בנוסחה:\(\sqrt[n]{n!}\) . כלומר השורש ה- \(n\) של \(n!\), המספר שאם נעלה אותו בחזקת \(n\) נקבל \(n!\). ראינו זאת בדוגמה, כשהסברנו מדוע הממוצע הגיאומטרי של המספרים בין 1 ו-100 הוא \(\sqrt[100]{100!}\). ובכן, סטרלינג הוכיח  ש-\(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n/e}\) מתקרב והולך ל-1, ובסימון מתמטי:

\(\lim\frac{\sqrt[n]{n!}}{n/e}=1\)

למעשה, סטרלינג הוכיח הערכה מדויקת למדי ל-\(n!\). הוא הראה שלערכי \(n\) גדולים,

\(n!\approx(\frac{n}{e})^n\sqrt{2\pi n}\)

כאשר הסימון “\(\approx\)” משמעו, שוב, שאגף שמאל מחולק באגף ימין מתקרב והולך ל-1. למרבה הפלא, מופיע כאן גם המספר \(\pi \), באורח לגמרי בלתי צפוי!

משוואה דיפרנציאלית

חיפושית עומדת במישור, בנקודה \((0,1) \), כלומר על ציר ה-\(y\), בגובה 1 (ראה איור). היא מתחילה ללכת לכיוון ימין, לאורך קו ששיפועו הוא 1, כלומר בזווית של 45 מעלות (כמו באיור), שפירושו הוא שעל כל יחידה שהיא זזה בכיוון ימין היא עולה יחידה אחת. ככל שהחיפושית מתקדמת, היא משנה את הזווית של הליכתה – היא הולכת תמיד בשיפוע השווה בדיוק לגובהה. למשל, כשהיא מגיעה לגובה 2 מעל ציר ה-\(x\), שיפוע הליכתה הוא 2, שפירושו שהיא עולה פי 2 מהר משהיא זזה ימינה.

חיפושית2

החיפושית הולכת ימינה ולמעלה. היחס בין התקדמותה כלפי מעלה ותזוזתה ימינה הולך וגדל:הוא שווה לגובה של החיפושית על ציר ה-\(x\).אפשר אז להוכיח שכאשר החיפושית מתקדמת \(x\) יחידות ימינה, היא נמצאת בגובה \(e^2\).

כמובן, החיפושית תנסוק מהר מאוד. הרי ככל שהיא מגביהה, גם קצב עלייתה גדל. השאלה היא: מהי הנוסחה של העקום שהיא הולכת לאורכו? כלומר, לאחר שהלכה \(x\) יחידות ימינה, באיזה גובה תהיה? התשובה היא שנוסחת העקום היא \(y=e^x\). כלומר, לאחר שהחיפושית תנוע \(x\) יחידות ימינה, היא תהיה בגובה \(e^x\). למשל, אחרי יחידת זמן אחת, היא תהיה בגובה \(e\). אחרי שתי יחידות זמן, היא תהיה בגובה \(e^2\). במונחים הלקוחים מן החשבון הדיפרנציאלי, לפונקציה \(e^x\) יש תכונה ייחודית, שהיא שווה לנגזרת שלה (הנגזרת של פונקציה היא קצב השינוי שלה). זהו ייחודו של המספר \(e\), ולמעשה זהו הייחוד שממנו נובעות כל שאר תכונותיו. הפונקציה \(e^x\), אגב, אכן נוסקת מהר מאוד: למשל, אחרי 10  יחידות תזוּזה ימינה, החיפושית תהיה כבר בערך בגובה 6000 יחידות.

מה שתיארנו כאן נקרא “משוואה דיפרנציאלית”. משוואה דיפרנציאלית מתארת את התנהגותו של עקום. היא מספרת מהו שיפועו של העקום, כלומר קצב עלייתו של ערך \(y\) כשהולכים לאורך העקום, בכל נקודה על העקום. במשוואות דיפרנציאליות מסובכות יותר יכול להינתן קשר בין הנקודה שבה נמצאים על העקום, לבין שיפועו של העקום, ובין קצב השינוי מסדר שני, כלומר באיזה קצב משתנה קצב העלייה או הירידה של העקום. משוואות דיפרנציאליות מתארות אפוא את הגיאומטריה של עקומים, במונחים של קצב השינוי שלהם. לצערי, בתור סטודנט לא הבנתי את משמעותן הגיאומטרית של משוואות דיפרנציאליות, ולא תפסתי את יופין. למעשה, תחום המשוואות הדיפרנציאליות הוא גם יפה וגם שימושי. המספר \(e\) מופיע בו תדירות.