מציאות או דמיון – על ההתאזרחות של המספרים המרוכבים

אחד הרעיונות המתטיים שמעוררים באופן קבוע סקרנות והשתאות אצל כל מי שמתוודע אליו בפעם הראושנה הוא הרעיון של המספרים המרוכבים, ובפרט המספר ה”דמיוני” \(i\), המסמל, כידוע, את הרעיון של \(\sqrt{-1}\). לאחר שאנו לומדים שכל מספר המוכפל בעצמו הוא מספר חיובי, ולאחר שאנו מפנימים את הכלל הלא-טבעי כלל וכלל, “מינוס כפול מינוס שווה פלוס”, אנו נדרשים להתמודד עם ייצור מזן חדש שעל ידי הכפלה בעצמו מניב מספר שלילי. כמו במקרים אחרים אפשר תמיד להתנחם במחשבה שגם לאורך ההיסטוריה מתמטיקאים מוכשרים ומתוחכמים ביותר התקשו להתמודד עם הרעיון הזה. דורות רבים של מתמטיקאים העדיפו להעמיד את השורשים של המספרים השליליים (ובעצם את המספרים השלילם בכלל) מחוץ לגבולות של הדיון המתמטי הלגיטימי. במחשבה ראשונית, התגובה הזאת טבעית ומתאימה. אם אנו מתבקשים לפתור את המשוואה  \(x^2 + 1 = 0\), נשמע הרבה יותר טבעי ושפוי לומר “זו משוואה שאין לה פתרון,”  מאשר לומר “התפרון למשוואה הוא \(\pm\sqrt{-1}\)“.  אבל  עדיין במחשבה ראשונית, מה נומר ביחס למשוואה\(x+3=0\)? האם לגיטימי לקבוע שהפתרון למשוואה הוא \(-3\)? אולי עדיף להגיד גם כאן שאין פתרון? האם פתרון כמו \(-3\) הוא יותר או פחות לגיטימי מאשר מ-\(\pm\sqrt{-1}\) כפתרון למשוואה פשוטה למראה? או שאולי שניהם לא לגיטימיים?

דיונים מהסוג הזה התנהלו בין טובי המתמטיקאים לאורך ההיסטוריה ואפשר לומר שהם לא יושבו עד השליש האחרון של המאה ה-\(19\)! אבל כאשר ניסו לסלק את  \(\sqrt{-1}\) מהדלת הראשית כייצור לא לגיטימי, הוא נכנס בחזרה ובכוח “דרך החלון”, מה שלא הותיר ברירה למתמטיקאים אלא להמשיך לתהות ולדון במהותו ובמקומו הראוי במערכת. אחת הדוגמאות היפות לכך ניתן למצוא בעבודות של שני מתמטיקאים בני המאה ה-\(16\), ג’ירולמו קרדנו (\(Girolamo~Cardano~1501-1576\)) ורפאל בומבלי (\(Rafael~Bombelli~1526-1572\)) אשר עסקו, בין היתר, בפיתוח שיטות לפתרון משוואות בדרגה שלישית ורביעית. בספר של בומבלי, אשר בו הוא הציג את שיטותיו של קרדנו, אנו מוצאים את השאלה הבאה: “הקוביה שווה לחמישה עשר שורשים וארבעה מספרים.” במונחים מודרניים מדובר בפתרון המשוואה \(x^3=15x+4\). קל לראות שאחד הפתרונות למשוואה הוא \(4\) (ובדרך כלל הם התספקו במציאת פתרון אחד). אבל, כאשר פותרים על פי שיטתו של קרדנו מקבלים את התוצאה הבאה:

\(x= \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} –  \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}\)

 תוצאה מהסוג הזה (ואחרות שהופיעו בספרו של קרדנו) יצרו מצב מביך. קרדנו לא קיבל, באופן כללי, את מספרים שליליים (או שורשים שלהם) כמקדמים או כפתרונות לגיטימיים למשוואות שבהן עסק. אילו נשאל, הוא היה אומר שלמשוואה \(x^2 + 1 = 0\) פשוט אין פתרון, וכך גם לגבי\(x + 3 = 0\). אצלו לא הייתה משוואה מהסוג \(x^2 – 4 = 0\), אלא רק \(x^2 = 4\) (בעצם המשוואות שלו מנוסחות תמיד באופן מילולי בלבד, וללא סימנים אלגבריים). מצד שני, הוא בוודאי ראה את השיטות שלו לפתרון משוואות כלגיטימיות ונכונות. אז מה לעשות מול פתרון לגיטימי למשוואה (כלומר \(4\)), אשר מתקבל תוך שימוש (בלתי נמנע) ביישות מתמטית לא לגיטימית (כלומר הבינום \(2+\sqrt{-21}\))? במקרים מהסוג הזה קרדנו הציע “שנעמיד בצד את העינויים השכליים הקשורים בכך”, ופשוט נכפיל לפי הכללים לחישוב עם בינום שהיו ידועים בתקופה. קרדנו לא הסתיר את מבוכתו. הוא הצהיר שמדובר בפתרון “סופיסטי”, שאותו כינה “חמקמק וגם חסר-תכלית”. כלומר: קרדנו הסיק שאין לו ברירה אלא לקבל את השורשים של מספרים שליליים כלגיטימיים (ולו בהקשר מוגבל), על אף שהוא לא הבין כלל את “מהותם” של ייצורים מהסוג הזה.

לאחר תקופתם של קרדנו ובומבלי, שיטות החישוב עם שורשים של מספרים שליליים הלכו והשתכללו ללא הרף, אך בו בזמן גדלה המבוכה הכרוכה בנסיון להסביר את משמעותם המתמטית. שניוּת זו נמצאה לעיתים אצל אותו מתמטיקאי עצמו, והיא באה לידי ביטוי בולט במיוחד אצל הדמות המרכזית והמשפיעה ביותר של המתמטיקה והפיזיקה במאה ה-\(18\), הלוא הוא ליאונהרד אוילר (\(Leonhard~Euler~1707-1783\)). בין יתר הישגיו, אוילר הצליח להגדיר מחדש מושגים מרכזיים של החדו”א, בדרך שתתאים גם לשימוש מעשי ועקבי עם המספרים המרוכבים. כך היה, למשל, בנוגע להגדרת פונקציה מעריכית ולוגריתמית עבור מספרים שליליים או מרוכבים. הדוגמה הקלאסית שהדגימה את כוחם של רעיונותיו מופיעה במה שמכונה מאז “נוסחת אוילר”:

\(e^{i\pi}+1=0\)

נוסחת אוילר מעוררת תמיד עניין רב ופליאה בגלל השילוב הנדיר בתוך תבנית אחת של חמישה מספרים “חשובים” \((e, i, \pi, 1, 0)\) ושני סימנים בסיסיים \((+,=) \). עצם הופעתו של אותו מספר “דמיוני”, \(\sqrt{-1}\),  בכפיפה אחת עם כל האחרים, בשילוב כה יפה מבחינה מתמטית היה בו מעין מתן חותמת של לגיטימציה סופית ושל מעמד מתמטי זהה לזה של המספרים האחרים שבנוסחה. חותמת נוספת ניתנה בעבודותיו של אוילר בתחום אחר, תורת המספרים. גם כאן אוילר פתר מספר בעיות ע”י שימוש בטכניקה מפתיעה ומקורית שבה מספרים שלמים מפורקים לגורמים המכילים מספרים מרוכבים, כמו למשל במקרה

\(5=(1+2i)(1-2i)\)

אבל אותו אוילר עצמו, האשף הגדול של השימוש במספרים המרוכבים בהקשרים חדשניים ובלתי צפויים, המשיך לנסח את ההגדרות הבסיסיות של מערכות המספרים בדרך לא מאוד שונה מזו של כל קודמיו, ולא בהצלחה רבה במיוחד. כך למשל באחד הספרים החשובים שלו מ-\(1770\) , \(Vollst\ddot{a}dige~Anleitung~zur~Algebra\), שבו אנו קוראים את הדברים הבאים:

מכיוון שכל מספר שניתן להעלות בדעתנו הוא גדול מ\(-0\) או קטן מ\(-0\), או שהוא בעצמו \(0\), הרי שברור כי לא ניתן לדבר על שורשים של מספרים שליליים כעל מספרים אפשריים. עלינו לומר, על כן, שאלה מספרים בלתי-אפשריים. זה מוביל אותנו לרעיון של מספרים שמעצם טבעם הם בלתי-אפשריים. אלה מכונים בדרך כלל מספרים דמיוניים או מדומיינים מכיוון שהם קיימים אך ורק בדמיון . … אף על פי שהמספרים האלה, למשל \(\sqrt{-4}\), הם מעצם טבעם לחלוטין בלתי אפשריים, יש לנו בכל זאת ידיעה מספקת אודותם, מכיוון שאנחנו יודעים שכאשר \(\sqrt{-4}\) מוכפל בעצמו מקבלים את התוצאה \(-4\).  והידיעה הזו מספיקה כדי שנוכל לחשב בצורה נאותה עמם.

הניסוח של אוילר מעלה יותר שאלות משהוא משיב עליהן: למשל, אם המספרים האלה מתקיימים רק בדמיוננו, איפה בעצם מתקיימים כל יתר המספרים? בעולם האמפירי? בדמיון של אחרים? הציטוט הזה מפי אוילר מדגיש את הפער שנוצר בין היכולת המזהירה לטפל במרוכבים ולמצות את הפוטנציאל שלהם ככלי מחקרי מהמדרגה הראשונה, לבין ההתקדמות שהושגה בהבנת טבעם ובמתן הגדרה מספקת. הציטוט גם מדגיש שעבור אוילר הגדרה מדויקת בנוגע למהות מספרים מסוגים הייתה הרבה פחות חשובה מאשר הידיעה על חוקי הפעולה שלהם, והיכולת לעשות בהם שימוש פורה.

ואף על פי כן, מאמצים להבנה מעמיקה יותר של המספרים המרוכבים נמשכו כל העת. כיוון חשוב אחד התפתח בעקבות תובנה הנוגעת להבנת המספרים השליליים, שגם היא הושגה בקשיים מרובים ורק במאה ה-\(17\). לפי התובנה הזאת, הסימנים \(+/-\)  מסמנים לא יותר מאשר “כיוונים גיאומטריים” מנוגדים. המספרים הטבעיים, אם כן, אינם “טעביים” יותר מהשליליים. בתחילת המאה ה-\(19\) תובנה דומה פותחה עבור המספרים המרוכבים בעבודות נפרדות של מספר מתמטיקאים. ניסוח יפה אחד של הרעיון הבסיסי באינטרפרטציה הזו מופיע בטקסט מ-\(1806\) מאת הכומר אדריאן בוּאֶא (\(Abbé~Adrien-Quentin~Buée~1748-1826\)), אשר קשר ישירות את משמעות \(\sqrt{-1}\) עם זו של הסימנים \(+/-\), במילים הבאות:

אני מדבר על הסימן \(\sqrt{-1}\)  ולא על הכמות או על היחידה הדמיונית \(\sqrt{-1}\). כי \(\sqrt{-1}\)  הוא סימן מסויים שאנו מצמידים ליחידה האמיתית 1, ולא כמות מסויימת בפני עצמה. מדובר בשם תואר חדש שמוצמד לשם עצם רגיל ומוכר, ולא בשם עצם חדש. הסימן הזה אינו מציין חיבור או חיסור. … כמות שמלוּוָה בסימן \(\sqrt{r-1}\)  איננה מתווספת, איננה נגרעת, ואינה שווה לאפס. התכונה המתוארת ע”י \(\sqrt{-1}\)  איננה מנוגדת לזו שמתוארת ע”י \(+\) ואף לא לזו שמתוארת ע”י \(-\).  … \(\sqrt{-1}\) פשוט מסמן כיוון ניצב [לכיוונים המסומנים ע”י \(+\) וע”י \(-\)].

ז’אן ארגנד (\(Jean-Robert~Argand~1768-1822\)) הסביר ביתר פירוט איך לפרש את המספרים המרוכבים והפעולות בינהם בדרך גיאומטרית. מספר מרוכב \(a+ib\) מתפרש כזוג \((r,\alpha)\), של קטע ישר בעל אורך \(r \) וזווית  \(\alpha \) המייצגת כיוון על פני המישור. קל לראות בתרשים הבא, את הקשר בין שתי הדרכים לכתוב את המספר המרוכב: \(r(\cos\alpha + i\sin\alpha) = a+ib\), כאשר \(r^2=a^2+b^2\).

(תרשים 1):

תרשים1 ייצוג גיאומטרי של מספר מורכב

תרשים 1: ייצוג גיאומטרי של מספר מרוכב, על פי ארגנד: \(a + ib = r(\cos \alpha + i\sin \alpha)\)

ארגנד הגדיר גם את הפעולות הבסיסיות שניתן לבצע על המספרים המרוכבים: סכום של מרוכבים מתבצע דרך “חוק המקבילית”, מכפלה דרך המשך הסיבוב והארכת האורך \(r\)

(תרשים 2):

1ר2ר

תרשים 2: סכום ומכפלה שלמספרים מרוכבים

חילוק והוצאת שורש מוגדרים באופנים דומים לאלה. במונחים אלה, המספר \(\alpha \sqrt{-1}\) מתפרש, אם כן, כקטע ישר באורך \(\alpha\)  שמסובב \(90^\circ\) נגד כיוון השעון, בדיוק כפי ש בוּאֶא הגדיר בעבודתו.

מתן פירוש גיאומטרי למספרים המרוכבים היה דבר חשוב מכיוון שמאז תקופת יוון העתיקה הגיאומטריה נחשבה לענף המתמטי שהוודאות שלו לא הייתה מוטלת בספק. האירתמקטיה על ענפיה השונים, ומאוחר יותר גם האלגברה, נחשבו מאז תקופת אאוקליד לענפי ידע הנזקקים לתמיכה מן הגיאומטריה כדי לבסס את הלגיטימיות שלהם. דווקא בתחילת המאה ה- \(19\) המצב הזה התחיל להתהפך. תהליכים חשובים שהתרחשו בענפים מרכזיים של המתמטיקה (במיוחד עלייתן של הגיאומטריות הלא-אאוקלדיות, והעיסוק בשאלות הנוגעות למושגי היסוד של החדו”א) המשיכו לערער בהדרגה את מעמד הבכורה של הגיאומטריה כמקור עליון לוודאות המתמטית. באופן אירוני, אם כן, האינטרפרטציה הגיאומטרית של המרוכבים התגבשה בתקופה שבה היא יכלה להיתפש יותר כאילוסטרציה טובה לאופן התנהגותם המתמטית של המרוכבים, ופחות כביסוס איתן המסיר ספקות באשר ללגיטימיות שלהם. באותה תקופה התפתחה באיים הבריטיים מסורת מתמטית חדשה, מסורת “האלגברה הסימבולית”, אשר חיפשה את יסודות האלגברה בניסוח חוקי פעולה מופשטים, בלא תלות במגבלות הנובעות מטבעם של הגדלים המעורבים בפעולות הללו. על פי היגשה הזו, לא נחוצים הסברים אודות מהותם של המספרים כדי להבין את תכונותיהם ואת חוקי הפעולה בהם, אלא ההיפך המוחלט: היא מכתיבה מראש את כללי ההתנהגות הרצויים של המערכות בהן היא דנה ובונה אותן בהתאם. על רקע הגישה הזו צמחה הגדרה חדשה ופורצת דרך להבנת המספרים המרוכבים והיא הופיעה ב- \(1837\) בעבודתו של המתמטיקאי האירי המפורסם סר וויליאם רוואן המילטון (\(William~Rowan~Hamilton~1805-1865\)).

נקודת המוצא של המילטון לתהליך בניית המרוכבים הייתה במערכת המספרים הממשיים וכללי האריתמטיקה שלהם. המילטון הניח את אלה כידועים וכלא טעונים שום הסבר או צידוק נוספים. על בסיס האריתמטיקה הידועה של הממשיים, אפשר להתקדם ולהגדיר מערכת של זוגות סדורים של מספרים מששיים\((a,b)\). בהגדרה כזו אין נסיון להסביר או להנהיר מערכת פחות או יותר מוכרת, אלא לבנות אותה מן היסוד, באופן פורמלי ולפי כללים מוכתבים, ללא שום הסבר נוסף. כך, על הזוגות הללו ניתן להגדיר פעולות אריתמטיות שמקיימות תכונות דומות לאלה של הממשיים, אבל שמחקים גם את התכונות הרצויות למרוכבים. פעולות אלה, כזכור, נגזרות מהפעלת כללי פעולה אלגבריים פשוטים על ביטויים מהסוג \(a+ib\), עם תוספת אחד חשובה, דהיינו, התכונה הבסיסית של מה שמסומן באות \(i\), דהיינו: \(i^2 =-1\).

הסכום והמכפלה של מרוכבים, אם כן, מוגדרים כך:

(*)          \((a_1+ib_1)+(a_2+ib_2)=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)\)

(**)      \((a_1+ib_1)(a_2+ib_2)=(a_1+a_2-a_2+ib_2)+ia_1(b_2+a_2b_1)\)

פעולת החילוק מתבצעת מתוך עקרון דומה לזה הנהוג בחילוק של מספרים שלמים. כך, כדי לחלק מספר שלם \(p\) במספר שלם אחר,\(q\), מה שנדרש הוא להכפיל את \(p\) ב”הופכי” של \(q\). וההופכי של \(q\) (ביחס למכפלה של שלמים) הוא, כמובן\(\frac{1}{q}\) , כי \(p*\frac{1}{q}=1\). ולכן, אם מחלקים את \(p\) ב- \(q\)מקבלים \(\frac{p}{q}\). כך גם במקרה של המרוכבים: חילוק במספר \(a+ib\) שקול להכפלה במספר “ההופכי” שלו (ביחס למכפלת מרוכבים). אנחנו נדרשים למצוא מספר מרוכב אחר,  \(a’+ib’\), המקיים את התנאי הבא:  \((a’ +ib’)*(a+ib)=1\). עם מעט עבודה אלגברית קל לראות שהערך של \(a’+ib’\) חייב להיות

(***)            \(\left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)+\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)=a’+ib’\)

כל זה היה ידוע היטב בעת שהמליטון ניגש להציע את גישתו החדשה להגדרת המרוכבים, אבל דיונים רבים התקיימו  בשאלת “מהותו” של המספר \(i\), ושל כל המרוכבים בכלל, ומה הצידוק לשימוש בפעולות הללו. המילטון ביקש בכלל לעקוף את כל הדיון הזה ולא לשאול על ציקוד, אלא לקבוע ע”י הגדרה של פעולות על זוגות סדורים של ממשיים \((a,b)\), באופן פורמלי לחלוטין. וכך הוא הגדיר את הפעולות:

(§)                          \((a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)\)

(§§)                     \((a_1,b_1)*(a_2,b_2)=(a_1b_2-a_2b_2,a_1b_2+a_2b_1)\)

(§§§)             \((a_1,b_1):(a_2,b_2)=(a_1,b_1)\left(\frac{-a_2}{a_2^2+b_2^2},\frac{-b_2}{a_2^2+b_2^2}\right)\)

ברור מראש ששלוש הפעולות (§)-(§§§), מניבות תוצאות זהות לאלה של (*)-(***). אלא שכאן הייצור המסתורי \(i\) פשוט נעלם כלא היה. במערכת הזוגות הסדורים של המילטון, המספרים הממשיים מיוצגים ע”י זוגות מהסוג \((a,0)\), בעוד שהמספרים ה”דימיוניים” מיוצגים ע”י זוגות \((0,b)\). אפשר בכלל להשתמש בשמות אחרים, פחות טעונים מאלה כדגון “שליליים, דימיוניים” וכו’, אבל אלה נאשרו בשימוש רק מכח ההרגל. בפרט, אם מבצעים לפי הכללים של המילטון את המכפלה \((0,1)*(0,1)\) הרי שמקבלים את התוצאה \((-1,0)\). במילים אחרות, הזוג \((0,1)\) מייצג בפועל את \(\sqrt{-1}\)  (או את i), כי אם מכפילים \((0,1)\) בעצמו מקבלים \(-1\) , כפי שכל קורא יכול לבדוק בעצמו, דרך הכללים (§)-(§§§). קיומו של \(i\) מתגלה בשיטה של המילטון מתוקף הפעלה פורמלית של פעולות, והבנת “תכונותיו”, כביכול, לא נדרשת כתנאי לבניית המערכת כולה. “תכונותיו” הן, בעצם, מה שמערכת הפעולות המוגדרות באופן פורמלי מגות לנו. 

אבל למרות הדגש הפורמלי שמאחורי התיאור הזה, אחד ההיבטים מעניינים ביותר בהגדרה של המילטון הוא שהיא השתלבה בצורה טבעית במיוחד עם עיסוקיו העיקריים האחרים בתחום האסטרונומיה והפיזיקה המתמטית (בעיקר אופטיקה ומכניקה)! המילטון היה כמובן בקיא בשימוש הפורה של אוליר במרוכבים במסגרת בחדו”א, אבל ההגדרות שהוא הכיר בתחילת דרכו המדעית למערכות המספרים השונות לגמרי לא הניחו את דעתו. סביב \(1828\) הוא התוודע לאינטרפרטציה הגיאומטרית של ארגנד. מיד עלה בדעתו הרעיון, כמה מועיל לצרכי מחקריו בפיזיקה מתמטית יכול היה להיות, אילו הצליח להרחיב את השיטה של ארגנד למצב של שלושה מימדים, כך שיתאפשר להגדיר את כל הפעולות האלגבריות על קטעי ישר בעלי אורך וכיוון במרחב (לעומת המישור, כמו במקרה של ארגנד). מתוך מוטיבציה זו, לניסוח משוכלל של חוקי יסוד בפיזיקה ותיאור תנועות של גופים צפידים במרחב, המילטון חיפש לפתח מקבילה לרעיון המרוכבים, אבל בשלושה מימדים. כלומר, כשם שבמסגרת המרוכבים הוגדרו פעולות של סכום, כפל, וחילוק, על מספרים \((a,b)=a+ib\), כך חיפש המילטון את הגדרתן עבור השלשות \((a,b,c)\). דרך אחת לעשות זאת, שעולה מיד על הדעת, היא להוסיף אלמנט דמיוני חדש, \(j\), המשחק תפקיד דומה לזה של \(i\), והמאפשר לסמן את המקום השלישי בשלשה באופן הבא: \(a+ib+jc\). קל להגדיר את סכום של שתי שלשות כאלה, בדומה להגדרה שנהוגה במרוכבים לצורך זה:

\((a_1+ib_1+ic_1)+(a_2+ib_2+ic_2)=(a_1+a_2)+i(b_1+b_2)+j(c_1+c_2)\)

אבל הבעיה עליה שקד המילטון לאורך זמן רב הייתה איך ניתן להגדיר מכפלה וחילוק באופן מלא עבור השלשות הללו. נדרשת כאן פעולת כפל שבה לכל שלשה \(a+ib+jc\) קיימת שלשה אחרת, \(a’+ib’+jc’\), וכך שאם מכפילים את השתיים מקבלים את התוצאה, \(1+i0+j0\) , כלומר\(1\) . (בדיוק כפי שתוצאת המכפלה של מספר ממשי \(a\) במספר \(a/1\) היא \(1\), ותוצאת המכפלה של המספר המרוכב \(a+ib\)  במספר \( \left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)+i\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)\)  היא  \(1+i0\)). לאחר ההצלחה בהגדרת הפעולות עם המרוכבים, לא נראה על פניו שצריכה הייתה להיות בעיה מהותית במציאת ההגדרה הנכונה לפעולות אם השלשות, אך על אף מאמציו הרבים, המילטון לא הצליח במשימה, ובדיעבד התברר שלא בכדי, כפי שאסביר בהמשך. אולם, חיפושיו של המילטון הובילו אותו לפריצת דרך מפתיע נוספת, הלוא היא מערכת הקווטרניונים (Quaternions). זו מערכת מהסוג שאותו חיפש המילטון, ובה הרחבה של רעיון המרוכבים, אלא שהיא לא הרחבה לשלשות, כי אם לרביעיות של מספרים ממשיים. גם המחיר שנאלץ לשלם לצורך בניית המערכת הזו היה מפתיע וחדשני.

המילטון כתב רביעייות של מספרים ממשיים, \((a,b,c,d) \) , בעזרת שלושה סימנים מיוחדים, \(i,j,k\), כהרחבה לרעיון של\(i\)  המוכר מן המרוכבים. הרביעייה נכתבת באופן הבא: \(a+ib+jc+kd \). הוא הגדיר באופן פורמלי פעולה בין הסימנים, על פי הכלל היחיד הבא: \(i^2=j^2=k^2=ijk=-1 \). על בסיס הכלל הזה ניתן להכפיל שתי רביעיות באופן הבא:

\((a_1+ib_1+jc_1+kd_1)(a_2+ib_2+jc_2+kd_2) = A+iB+jC+kD \)

כאשר:

\(A=a_1a_2 – b_1b_2 – c_1c_2 – d_1d_2;  B= a_1b_2 + b_1a_2 + c_1d_2 – c_2d_1; \)

\(C=a_1c_2 + c_1a_2 + d_1b_2 – d_2b_1;  D= a_1d_2 + d_1a_2 + b_1c_2 – b_2c_1; \)

ההגדרה נראית אולי מסורבלת במבט ראשון, אבל יש במבנה ארבעת הביטויים \(A,B,C,D \) , סימטריה די ברורה ואפילו פשוטה. מה שחשוב באמת הוא שתחת ההגדרה הזו של מכפלה ניתן בהחלט למצוא פעולה הפוכה של חילוק, כפי שהמילטון חיפש. אבל מה שהתברר מיד להמילטון, וזה דבר מאוד מפתיע, הוא שהמכפלה הזו איננה קומוטטיבית! את זאת ניתן לראות בדוגמה פשוטה הבא:

\((1-i+j+k)(1+i+j+k) = 4j\) ואילו \((1+i+j+k)(1-i+j+k) = 4k\)

ובמבט בסיסי עוד יותר, בהכפלת זוגות מתוך \(i,j,k\), שינוי הסדר מניב שינוי בסימן התוצאה:

\(ij=k=-ji~~~~~ jk=i=-kj~~~~~ ki=j=-ik \)

מכפלת הקווטרניונים, אם כן, מספקת הפתעה מרעננת וחשובה: על אף שהיא מוגדרת היטב, על אף שהיא מקיימת תכונות אלגבריות בסיסיות, כמו הכלל האסוציאטיבי \([X*(Y*Z)=(X*Y)*Z] \); ועל אף שניתן להגדיר עליה פעולה הפוכה (כלומר חילוק), היא איננה מקיימת את כלל הקומוטטיביוּת \([X*Y=X*Y]\). וזה חידוש מרחיק לכת בהחלט! כלומר, המילטון הבין שניתן אמנם לבנות את המערכת המבוקשת של רביעיות עם פעולות של סכום, כפל וחילוק, אבל בתנאי שמוותרים על דרישת החילופיות, דרישה שהייתה מובנת מאליה כחלק מכל מערכת מספרית שניתן להעלות על הדעת. האלגברה החדשה שבנה המילטון, אלגברת הקווטרניונים, הייתה יצירה מהפכנית שהרחיבה את מושג המספר בכיוון בלתי צפוי, ובעצם פתחה את הדלת לחשיבה הרבה יותר רחבה על מערכות מופשטות, מוכללות והולכות. אי-אפשר, אגב, שלא להזכיר כאן את אחד הסיפורים הידועים בתולדות המתמטיקה, שהובא מפי המילטון עצמו, על רגע הגילוי של הקווטרניונים, שפרץ בתודעתו “כרעם ביום בהיר”, כאשר צעד עם ליידי המילטון לאורך התעלה המלכותית בדבלין. מרוב התלהבות על סגירת מעגל של חמש-עשרה שנות מאמץ, לא התאפק המילטון, ובמעשה “מאוד לא פילוסופי” חרט את הנוסחה היסודית על אחת מאבני הגשר: \(i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \).

המצאת הקווטרניונים כמושג מורחב ומוכלל של מערכת מספרים לא היה אירוע בודד בתקופתו. המתמטיקאי הגרמני הרמן גינטר גראסמן \((Hermann~G\ddot{u}nther~Grassmann~1809-1877)\), למשל, עסק במערכות מספרים מורחבות ומופשטות תוך פיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים למדי. אולם, בשל כתיבתו המסורבלת הם לא זכו להתעניינות כלל בתקופתו, ורק מאוחר יותר הם שימשו להשראה ולנקודת מוצא לעבודות רבות וחשובות בתחום האלגברה. גם מספר מתמטיקאים בריטים מובילים פיתחו וחקרו באותה תקופה סוגים אחרים של מערכות מספרים מוכללים בעלי תכונות מסוגים ושמות שונים ומשונים, שבראייה לאחור ניתן לזהות את כולם תחת השם הכוללני-משהו, המקובל גם היום, “מספרים היפר-מרוכבים” \((Hypercomplex) \). אלה הופיעו בעבודות של ארתור קיילי \((Arthur~Cayley~1821-1895) \), ג’יימס ג’וזף סילבסטר \((James~Joseph~Sylvester~1814-1897)\), וויליאם קליפורד \((William~Kingdon~Clifford~1845-1879)\), ורבים אחרים. אבל, בטווח הקצר, היו אלה הקווטרניונים של המילטון שזכו להתעניינות הרבה ביותר וזאת מסיבה לגמרי בלתי צפויה, אם כי מבורכת מאוד מבחינת המילטון: הקווטרניונים התבררו ככלי יעיל במיוחד לניסוח חסכוני ומדוייק של תורות פיזיקליות רבות שהתפתחו בעת ההיא. המילטון פרסם ב-\(1853\) ספר מקיף, \(Lecture on Quaternions\), שבו הציג בפירוט את הגדרת המרוכבים כזוגות של ממשיים, יחד עם תורתו החדשה. אולם, היה זה דווקא דרך ספריו של ידידו הסקוטי, פטר גותרי טייט\((Peter~Gurthrie~Tait~1831-1901) \), שהקוורטניונים זכו לתפוצתם הרבה ולהכרה ככלי יסוד לפיזיקה המתמטית המשגשגת של התקופה. זמן לא רב לאחר מכן, הקוורטניונים אבדו מחשיבותם ככלי לניסוח תורות פיזקליות כאשר, בתחילת המאה העשרים, שיטות אחרות, ובראשם החשבון הווקטוֹרים (vectors) החדש, הוכיחו את עצמם כיעילים וכעדיפים לאותם משימות שהקווטרניונים שימשו נאמנה בתקופה שמעל לשלושה עשורים.