מספרים “לא כמו כולם”

בשלושת חלקי מאמר זה נפנה את הזרקור אל שלושה מספרים בעלי תכונה “מופלאה” המבדילה אותם מן השאר.

על תכונה מופלאה של המספר \({30}\)

בחלק הראשון נלך בעקבות פיסקה בספר: “מבוא למתימטיקה” מאת פרופ’ אברהם הלוי פרנקל, ( כרך ראשון: המספר והפונקציה, עמ’ 57-59), שיצא בשנת 1942. ( הוצאת מסדה, תל-אביב, הודפס שוב ב 1954).

פרופ’ אברהם הלוי פרנקל היה מראשי הפקולטה למתמטיקה באוניברסיטה העברית בשלושים שנותיה הראשונות ( ראו במאמר: “אדמונד לנדאו: סיפור עם הוכחה” בגליון מרץ \({2014}\) של נטגר). הספר “מבוא למתמטיקה” היה מפעל חלוצי שלו, אולי הספר הראשון בעברית שנועד להסביר קצת “בעיות ושיטות מן המתמטיקה החדישה” לקהל התלמידים והמבוגרים המתעניינים ( שיכולים ללמוד הרבה מספר זה גם היום, למרות שקשה קצת להשיגו ושמה שנחשב ל”מתמטיקה חדישה” השתנה קצת בעשרות השנים שעברו)\({^1}\)

נביא את דברי פרופ’ פרנקל בסיפרו, כמעט בלשונו הוא:

יסמן \({n}\) אחד משמונת המספרים: \({3}\), \({4}\), \({6}\), \({8}\), \({12}\), \({18}\), \({24}\), \({30}\). לכל \({n}\) כזה ישנה התכונה: כל המספרים הקטנים מ \({n}\) וזרים ל \({n}\) הם או \({1}\) או ראשוניים. נכנה לשם קיצור את התכונה הזאת של מספר \({n}\) בשם \({T}\). מובן שלא לכל מספר מגיעה התכונה \({T}\); למשל לא למספרים \({10}\), \({28}\), \({36}\). כי הלא \({9}\) זר ל \({10}\) ול \({28}\), \({25}\) זר ל \({36}\), ועם זאת \({9}\) ו \({25}\) אינם מספרים ראשוניים. תכונתו המופלאה של המספר \({30}\) שברצוננו לעסוק בה היא: אין במציאות שום מספר למעלה מ \({30}\) שיש לו התכונה \({T}\). לשון אחר:

\({30}\) הינו המספר הגדול ביותר בעל התכונה \({T}\).

כדי להתקרב אל הוכחת המשפט הזה, נצא מעובדות פשוטות אלו: כל מספר בעל התכונה \({T}\) הגדול מ \({4}\), צריך על כל פנים להיות זוגי, מכיון שאחרת המספר \({4}\) ( שאינו ראשוני) זר לו. מתוך נימוק דומה צריך כל מספר בעל התכונה \({T}\), הגדול מ \({9}\), להתחלק ב \({3}\); כי אחרת יהיה \({9}\) זר לו. אם נצרף את שני התנאים האלה, יוצא כי כל מספר בעל התכונה \({T}\) הגדול מ \({9}\), מתחלק ב \({2\cdot3=6}\). כמו כן צריכים אחרי \({25}\) המספרים בעלי התכונה \({T}\) להתחלק ב \({2\cdot3\cdot5=30}\), אחרי \({49}\) להתחלק ב \({2\cdot3\cdot5\cdot7=210}\), אחרי \({121}\) ב \({2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11=2310}\), וכן הלאה. לפי זה יבואו בחשבון בשביל התכונה \({T}\):

בין \({4}\) ל \({9}\) המספרים \({ 6,8}\);
בין \({9}\) ל \({25}\) המספרים \({12, 18, 24}\);
בין \({25}\) ל \({49}\) המספר \({30}\);

בין \({49}\) ל \({121}\) לא יבוא בחשבון שום מספר, מפני שכבר המספר הטבעי הראשון המתחלק ב \({210}\) – הוא \({210}\) עצמו – גדול מ \({121}\). מפני אותו הנמוק אי-אפשר למספר בעל התכונה \({T}\) להימצא בין \({11^2=121}\) ל \({13^2=169}\), היות והמספר \({2310}\) הנהו גדול מ \({169}\). הסברה משדלת אותנו להאמין, שאם נלך כך הלאה, לא נפגוש לעולם עוד מספר שיהיה בעל התכונה \({T}\). מאידך גיסא אנו רואים מיד כי המספרים הרשומים לעיל (\({6}\), \({8}\), \({12}\), \({18}\), \({24}\), \({30}\)) הנם באמת בעלי התכונה \({T}\). הוספנו עליהם את המספרים בעלי התכונה \({T}\) שאינם עולים על \({4}\), והם \({3}\), \({4}\).

לכן התכונה הזו של המספר \({30}\) תנבע מהטענה הבאה:

טענה 1 עבור כל ראשוני \({p\ge11}\), \({p^2}\) קטן ממכפלת הראשוניים הקטנים מ \({p}\).

נשווה זאת להוכחה הידועה של אוקלידס לכך שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים, או, במלים אחרות: עבור קבוצה סופית \({\mathcal{P}}\) של ראשוניים, אפשר למצוא ראשוני שאינו ב \({\mathcal{P}}\). אוקלידס בונה את מכפלת כל אברי \({\mathcal{P}}\), שכמובן מתחלקת בכולם, ומכאן שמכפלה זו פחות \({1}\) לא מתחלקת באף אחד מהראשוניים ב \({\mathcal{P}}\), ואם ניקח גורם ראשוני שלה, הוא יהיה ראשוני שאינו ב \({\mathcal{P}}\), ושבנוסף לכך קטן ממכפלת אברי \({\mathcal{P}}\). כלומר: כל ראשוני \({p}\) קטן ממכפלת הראשוניים הקטנים ממנו. טענה 1, לה אנו זקוקים בשביל להוכיח את התכונה של המספר \({30}\), אומרת שהחל מ \({p=11}\) אפילו \({p^2}\) קטן ממכפלה זו. לשון אחרת, \({p}\) קטן גם מהשורש הריבועי של מכפלה זו.

כאשר בודקים את הערכים המספריים, רואים ש \({p}\) קטן בהרבה משורש זה. אלא שאפילו אם בדיקת מספר סופי ענק של דוגמאות מראה זאת, אין זה קל להוכיח שאם נעבור על כל אינסוף הראשוניים לא יהיו רווחים גדולים מדיי ביניהם. עם זאת, הוכיחו משפטים הרבה יותר חזקים מטענה 1, אבל הוכחות אלו משתמשות באמצעים מתמטיים “גבוהים” שרחוקים מרחק רב ממושגי החשבון הבסיסיים שבהם, בסופו של דבר, עוסקת הטענה עצמה. לעומת זאת לטענה 1, שהיא הרבה יותר חלשה מהם אבל יותר חזקה ממסקנתו של אוקלידס, יש הוכחה שאינה רחוקה בהרבה משיקולו של אוקלידס, אבל עם תחבולה יפה שמספקת לנו את \({p^2}\) במקום \({p}\). נביא הוכחה זו בנספח בסוף.

על תכונה מופלאה של המספר \({24}\)

נעשה תרגיל קטן: נבדוק מהי השארית בחלוקה ל \({24}\) של ריבועי מספרים זרים ל \({24}\) ( כלומר שאינם מתחלקים ב \({2}\) וב \({3}\), לשון אחרת – נותנים שארית \({1}\) או \({5}\) בחלוקה ל \({6}\))

\(\displaystyle \begin{array}{cccc} 1^2=1=0\cdot24+1,& 5^2=25=1\cdot24+1,\\& 7^2=49=2\cdot24+1,& 11^2=121=5\cdot24+1,\\ 13^2=169=7\cdot24+1,& 17^2=289=12\cdot24+1,\\& 19^2=361=15\cdot24+1,& 23^2=529=22\cdot24+1 \end{array} \)

ריבועי כל המספרים שבדקנו נותנים שארית \({1}\)!

ומכאן שכל ריבוע של מספר זר ל \({24}\) נותן שארית \({1}\) – די בכך שבדקנו את המספרים בשורה הראשונה \({1}\), \({5}\), \({7}\), \({11}\), כי כל מספר זר ל \({24}\) קונגרואנטי מודולו \({24}\) לאחד מ \({\pm1}\), \({\pm5}\), \({\pm7}\), \({\pm11}\) ומספרים קוגרואנטיים מודולו \({N}\) גם ריבועיהם קונגרואנטיים מודולו \({N}\)! ( וריבועו של מספר שאינו זר ל \({24}\) לא יכול לתת שארית \({1}\) בחלוקה ל \({24}\)) – הסבירו.

כלומר ל \({N=24}\) ישנה התכונה הבאה, שנסמנה ב \({\Pi}\): כל מספר זר ל \({N}\) ריבועו נותן שארית \({1}\) בחלוקה ל \({N}\).

בדיקה דומה לבדיקה לעיל מראה שכל המחלקים של \({24}\) הם בעלי התכונה \({\Pi}\).

מצד שני \({10}\), וכן \({30}\), אינם בעלי התכונה \({\Pi}\): \({7^2=49}\) נותן שארית \({9}\) בחלוקה ל \({10}\) ושארית \({19}\) בחלוקה ל \({30}\)!

מתברר ש:

טענה 2: \({24}\) הוא המספר הגדול ביותר בעל התכונה \({\Pi}\). יתר על כן: המספרים בעלי התכונה \({\Pi}\) הם בדיוק המחלקים של \({24}\).

הוכחה:

  • –   אנו מתבוננים במספר טבעי \({N}\) ורוצים לברר האם הוא בעל התכונה \({\Pi}\). כשלב ראשון נפרק אותו לגורמים ראשוניים, כלומר נכתוב אותו כמכפלת חזקות של ראשוניים שונים:
    \(\displaystyle N={p_1}^{m_1}{p_2}^{m_2}\cdots{p_k}^{m_k},\quad m_1,m_2,\ldots,m_k\ge1\)
    מספר יהיה זר ל \({N}\) אם ורק אם הוא אינו מתחלק באף אחד מהראשוניים \({p_1,\ldots,p_k}\). שני שלמים הם קונגרואנטים מודולו \({N}\) אם ורק אם הם קונגרואנטים מודולו כל אחד מ \({{p_1}^{m_1},{p_2}^{m_2},\ldots,{p_k}^{m_k}}\), כי ההפרש ביניהם יתחלק ב \({N}\) אם ורק אם הוא מתחלק בכל אחד מ \({{p_1}^{m_1},{p_2}^{m_2},\ldots,{p_k}^{m_k}}\).
  • –   לכן \({N}\) יהיה בעל התכונה \({P}\) אם ורק אם כל אחד מ \({p=p_i, m=m_i}\), \({i=1,\ldots,k}\) מקיים:
    \({(*)}\) הריבוע של כל מספר \({a}\) שאינו מתחלק ב \({p}\) נותן שארית \({1}\) בחלוקה ל \({p^m}\).\({^2}\)
  • –   נתבונן ב \({(*)}\). כדי ש \({a^2}\) ייתן שארית \({1}\) מודולו \({p^m}\) הוא בוודאי צריך לתת שארית \({1}\) בחלוקה ל \({p}\), כלומר \({p|a^2-1=(a-1)(a+1)}\). לשם כך צריך או \({a-1}\) או \({a+1}\) להתחלק ב \({p}\), כלומר \({a}\) קונגרואנטי מודולו \({p}\) ל \({1}\) או ל \({-1}\). אנו מניחים גם ש \({p}\) לא מחלק את \({a}\) כלומר \({a}\) לא קונגרואנטי ל \({0}\). אבל אם \({p>3}\) יש מספר שאינו קונגרואנטי לאף אחד מ \({1,-1,0}\). הוא זר ל \({p}\) וריבועו לא ייתן שארית \({1}\)!
  • –   קיבלנו, איפוא, ש \({(*)}\) לא יתקיים אם \({p>3}\). קל לבדוק ש \({(*)}\) מתקיים עבור \({p^m=3^1=3}\), \({p^m=2^3=8}\) ( ולכן גם עבור \({2^1}\) ו \({2^2}\)) ולא מתקיים עבור \({p^m=3^2=9}\) ( \({4^2}\) נותן שארית \({7}\)!) ועבור \({p^m=2^4=16}\) (\({3^2}\) נותן שארית \({9}\)!) ולכן \({(*)}\) בוודאי לא מתקיים עבור \({2^m, m>3}\) ועבור \({3^m, m>1}\).
  • –   ובסיכום קיבלנו ש \({N}\) יהיה בעל התכונה \({\Pi}\) אם ורק אם בפירוק שלו לגורמים ראשוניים מופיעים רק הראשוניים \({2}\) ו \({3}\), \({2}\) בחזקה \({0}\) עד \({3}\) ו \({3}\) בחזקה \({0}\) או \({1}\). במלים אחרות, אם ורק אם \({N|24}\). מ.ש.ל.

על תכונה מופלאה של המספר \({e}\)

בחלק השלישי “ציבור” המספרים לא יהיה קבוצת הטבעיים, אלא קבוצת הממשיים, ליתר דיוק קבוצת הממשיים \({a}\) הגדולים מ \({1}\). אם \({a}\) מספר כזה, ייתכן שקיים מספר אחר \({b>1, b\ne a}\) כך ש \({a^b=b^a}\). הדוגמה המפורסמת היא \({2^4=4^2}\). אבל כאן מתקיימת

טענה 3 עבור כל \({a>1}\) ממשי,פרט ל \({e}\), קיים מספר יחיד \({b>1, b\ne a}\) כך ש \({a^b=b^a}\). עבור \({e}\) לא קיים \({b}\) כזה.

הוכחה. כל מה שעלינו לעשות הוא להפריד את המשתנים במשוואה \({x^y=y^x}\), \({x,y>1}\), וזאת נעשה ע”י העלאת שני האגפים בחזקת \({1/(xy)}\). נקבל את המשוואה \({x^{1/x}=y^{1/y}}\), כלומר \({x}\) ו \({y}\) צריכים להיות שני מקומות בהם הפונקציה \({x^{1/x}}\) ב \({(1,\infty)}\) מקבלת אותו ערך. עלינו, אם כך, לחקור את הפונקציה הזאת. הנגזרת שלה היא

\(\displaystyle \left(x^{1/x}\right)’=\left(e^{\ln x/x}\right)’=\left(\ln x/x\right)’x^{1/x}= \left((1-\ln x)/x^2\right)x^{1/x}\)

מכאן שהפונקציה עולה עבור \({\ln x<1}\) כלומר \({x<e}\) ויורדת עבור \({\ln x>1}\) כלומר \({x>e}\). ב \({e}\) יש לה מקסימום. ברור שבכל האינטרוול \({(1,\infty)}\) הפונקציה גדולה מ \({1}\).

eliaho1

אם נראה כעת שכאשר \({x}\) שואף ל \({1}\) או \({\infty}\) הפונקציה שואפת ל \({1}\), אזי מצורת גרף הפונקציה ( וכמובן, ממשפט ערך הביניים של פונקציה רציפה) תנבע הטענה.

באשר לשאיפה ל \({1}\), הפונקציה מוגדרת ורציפה גם באינטרוול הסגור \({[1,\infty)}\) וערכה ב \({1}\) הוא \({1}\), ומכאן שהיא שואפת ל \({1}\) כאשר \({x\rightarrow1^+}\).

באשר למה שקורה כאשר \({x\rightarrow\infty}\), הפונקציה יורדת וברור שערכה גדול מ \({1}\). כדי להוכיח שהיא שואפת ל \({1}\) די להוכיח שערכיה על הסדרה \({x=4^n}\) שואפים ל \({1}\) כאשר \({n\rightarrow\infty}\). אבל

\(\displaystyle \left(4^n\right)^{1/4^n}=4^{n/4^n}\)

ו \({n/4^n\rightarrow0}\) כאשר \({n\rightarrow\infty}\), כי קודם כל \({n\le2^n}\), מאחר שבין \({2^n}\) המספרים \({1,2,3,\ldots,2^n}\) ישנן \({n}\) החזקות של שתיים \({2^1,2^2,\ldots,2^n}\), ומכאן יוצא \({n/4^n\le1/2^n}\). מ.ש.ל.

נספח: הוכחת טענה 1

את ההוכחה לטענה 1, המשתמשת רק בחשבון בסיסי, מצא סטודנט באוניברסיטת מינסטר בגרמניה, \({H. Bonse}\) בשנת \({1907}\) והיא מופיעה בספר של ראדמכר וטפליץ ובמאמר של צרמלו שהוזכרו בהערת השוליים לחלק הראשון לעיל.

נבנה את סדרת הראשוניים שלב שלב: נתחיל מחמשת הראשוניים הראשונים \({2,3,5,7,11}\) ובכל שלב נוסיף את הראשוני הבא. כך נקבל \({2,3,5,7,11,13}\), אחר כך \({2,3,5,7,11,13,17}\), וכו’.

אלא שבסידרת הראשוניים בכל שלב נסמן ראשוני מסויים. זה יהיה הראשוני הראשון בסדרה שהוא גדול ( ממש) ממספר אברי הסדרה שאינם לפניו ( כלומר הוא עצמו ואלה שאחריו).

נראה כיצד זה עובד: נתחיל בסדרה הראשונה \({2,3,5,7,11}\). \({2}\) לא טוב כי יש \({5}\) אברים לא לפניו. \({3}\) גם הוא לא טוב – יש לא לפניו \({4}\) אברים. \({5}\) טוב, כי יש לא לפניו \({3}\) אברים, ולכן נסמן אותו.

נעבור לסדרה הבאה \({2,3,5,7,11,13}\), בה צרפנו את \({13}\). ברור שהאיברים שלא היו טובים קודם לא יהיו טובים גם עכשיו. מה בדבר \({5}\)? הוא עדיין טוב כי עכשיו יש \({4}\) איברים לא לפניו. לכן עדיין \({5}\) הוא המסומן.

אבל אחרי שהוספנו את \({17}\) יהיו \({5}\) אברים לא לפני \({5}\) – לא טוב. לכן עלינו לעבור ל \({7}\), יש \({4}\) אברים לא לפניו, ולכן הוא יהיה המסומן.

וכן הלאה.

שימו לב שכל מספר מסומן שומר על הסימון לפחות שני שלבים: בשלב האחרון ש \({p}\) סומן, היו \({p-1}\) אברים לא לפניו ( לכן הוא יאבד את הסימון בשלב הבא). בשלב הבא נסמן את הראשוני הבא \({p’}\), לא לפניו יהיו אז \({p-1}\) אברים, ומאחר ש \({p’\ge p+2}\) הוא יהיה טוב גם בשלב שאחרי זה.

כעת אני טוען:

טענת עזר: בכל שלב, נסמן ב \({P}\) את מכפלת כל הראשוניים בסדרה, ב \({P_0}\) את מכפלת הראשוניים שלפני הראשוני שסומן \({p}\), וב \({P_1=p\cdot P_0}\) את מכפלת הראשוניים שלא אחרי \({p}\). אז תמיד \({{P_1}^2<P}\).

ההוכחה באינדוקציה: בסדרה הראשונה \({P=(2\cdot3\cdot5)\cdot(7\cdot11)}\) \({{P_1}^2=(2\cdot3\cdot5)^2}\) והטענה מתקבלת מכך ש \({2\cdot3\cdot5=30<77=7\cdot11}\).

ברור שבשלב בו לא משתנה הראשוני המסומן לא תתקלקל נכונות הטענה, כי \({P_1}\) לא משתנה ו \({P}\) גדל.

נתבונן כעת בשלב בו הסימון הוא ב \({p’}\) אבל בשלב הקודם הוא היה בראשוני הקודם לו \({p}\). כמו שראינו, יש בשלב זה \({p-1}\) אברים בסדרה לא לפני \({p’}\). נשווה את המצב כעת למצב שני שלבים קודם. מאחר שכמו שהראינו, \({p}\) שמר על הסימון לפחות שני שלבים, הוא היה זה שסומן שני שלבים קודם. לכן ההבדל בין שלב זה והשלב הקודם הוא ש \({P_1}\) גדל פי \({p’}\) ואז \({{P_1}^2}\) גדל פי \({p’^2}\). לעומת זאת \({P}\) גדל פי מכפלת שני הראשוניים שנוספו בסוף הסדרה, ( שימו לב שהם \({p-3}\) ו \({p-2}\) מקומות אחרי \({p’}\), בוודאי גדולים מ \({p’}\)) וזה יותר מ \({p’^2}\). מכאן שאם טענת העזר הייתה נכונה בשלב הקודם היא תישאר נכונה גם עכשיו.

בכך הוכחה טענת העזר.

לכן טענה 1 תוכח אם נראה שבכל שלב, הראשוני הראשון שאחרי כל אברי הסדרה קטן מ \({P_1}\).

לשם כך נתבונן בביטויים \({P_0-1, 2\cdot P_0-1,\ldots,p\cdot P_0-1}\) כאשר \({p}\) הוא הראשוני המסומן. ברור שכולם לא מתחלקים באף אחד מאברי הסדרה שלפני \({p}\) ( שנכללים במכפלה \({P_0}\)). אני טוען שעבור כל ראשוני \({q}\) בסדרה לא לפני \({p}\) ( כלומר \({p}\) או אחריו), לכל היותר אחד מביטויים אלה מתחלק ב \({q}\). כי אילו היו שניים המתחלקים ב \({q}\), היה גם ההפרש ביניהם מתחלק ב \({q}\), אבל הפרש זה הוא מכפלת \({P_0}\) במספר קטן מ \({q}\), ולכן כל הגורמים הראשוניים של ההפרש קטנים מ \({q}\).

אבל יש לנו \({p}\) ביטויים, והעובדה ש \({p}\) סומן אומרת שמספר זה גדול ממספר ה \({q}\)-ים שלא לפני \({p}\), וכאמור בכל \({q}\) מתחלק לכל היותר ביטוי אחד. לכן מקבלים שאחד הביטויים לפחות \({j\cdot P_0-1}\) לא מתחלק באף \({q}\) בסדרה שלא לפני \({p}\), וראינו שגם לא באלה שלפני \({p}\). כעת מסיימים את הטיעון כמו אצל אוקלידס: ביטוי זה קטן מ \({P_1}\), ולכן גם גורם ראשוני שלו, שכמו שמצאנו לא שייך לסדרה, קטן מ \({P_1}\), ומכאן שהראשוני הראשון שאחרי הסדרה קטן מ \({P_1}\), מ.ש.ל.

תרגילים

1. האם תוכלו להוכיח באותה צורה שבנספח שהחל מ \({p}\) ראשוני מסויים גם \({p^3}\) קטן ממכפלת הראשוניים הקטנים מ \({p}\)?

רמז: הראו שממקום מסויים \({{P_1}^3<P}\) באינדוקציה על השלבים, ע”י השוואת שלב לשלב \({6}\) צעדים לפניו. בששה צעדים אלה יזוז הסימון לכל היותר שני מקומות ( מדוע?), ולכן \({{P_1}^3}\) יוכפל בפחות ממה שיוכפל \({P}\).

מה בדבר \({p^4,p^5,\ldots}\)?

2. נסדר את הראשוניים בסדרה עולה:

\(\displaystyle p_1=2,\,p_2=3,\,p_3=5,\,p_4,\,p_5,\,p_6,\ldots\)

הוכיחו שעבור כל \({n=1,2,\ldots}\) מתקיים:

\(\displaystyle p_1\cdot p_2\cdot p_3\cdot\cdots\cdot p_n\ge p_{n+p_n-1}.\)

הוכיחו שעבור כל \({n=3,4,\ldots}\) ולא להתחיל מ\({1}\) . עבור \({1}\) ו \({2}\) האי-שוויון לא נכון וגם ההוכחה נשברת. מ\({3}\) הוא נכון.

נסו להשתמש בנוסחה זו לתת צורה קצת אחרת להוכחה שבנספח.

3. תהיינה \({x_1,x_2,\ldots}\) ו \({y_1,y_2,\ldots}\) סדרות אינסופיות של מספרים ממשיים גדולים מ \({1}\), כך ש:

\(\displaystyle x_n\ne y_n,\quad {x_n}^{y_n}={y_n}^{x_n}.\)

וכך שההפרש בין \({x_n}\) ו \({y_n}\) שואף ל \({0}\) כאשר \({n\rightarrow\infty}\). ( היווכחו שקיימות סדרות כאלה!)

הוכיחו שלסדרה \({x_n}\) יש גבול \({L}\) כאשר \({n\rightarrow\infty}\) ( שיהיה כמובן גם הגבול של \({y_n}\)). מהו? מיצאו את הגבול של

\(\displaystyle \dfrac{y_n-L}{x_n-L}.\)


\({^1}\)בנושא התכונה של המספר \({30}\) פרופ’ פרנקל הלך כנראה בעקבות הספר: \({Von Zahlen und Figuren}\) ( על מספרים וצורות) של הנס ראדמכר ואוטו טפליץ, ומאמר ידוע של צרמלו.

\({^2}\) במבט ראשון נראה שמשהו לא בסדר ב \({(*)}\): בשביל שקיום התכונה \({\Pi}\) יהיה שקול לקיום התכונות \({(*)}\) עבור כל \({p=p_i,m=m_i}\), \({i=1,\ldots,k}\), צריך בניסוח של \({(*)}\) לכתוב: “הריבוע של כל \({a}\) שאינו מתחלק באף אחד מ \({p_1,\ldots,p_k}\)”. אבל מ-משפט השאריות הסיני נובע ששני ניסוחים אלה שקולים. משפט השאריות הסיני אומר שעבור כל \({k}\) שאריות \({a_1\mod{p_1}^{m_1},\ldots,a_k\mod{p_k}^{m_k}}\) קיימת שארית \({a\mod N}\) כך ש \({a\equiv a_i\mod{p_i}^{m_i}}\) עבור כל \({i=1,\ldots,k}\). לכן ב \({(*)}\) נוכל להחליף את \({a}\) במספר שנותן אותה שארית כמו \({a}\) מודולו \({p^m}\) ושארית זרה ל \({p_j}\) מודולו ה \({{p_j}^{m_j}}\) האחרים.