מה זו “מתמטיקה”

1. קשיי הגדרה

“אוֹמְרִים, אַהֲבָה יֵשׁ בָּעוֹלָם.
מַה זֹּאת אַהֲבָה?”
(“הכניסיני תחת כנפך”,חיים נחמן ביאליק)
“אינני יודע להגדיר “פורנוגרפיה”, אבל אני יודע לזהות פורנוגרפיה כשאני רואה אותה.”
(פּוֹטֶר סטיוארט, חבר בית המשפט העליון האמריקאי)
“איננו יודעים למה אנחנו מתכוונים ב”שיר יפה”, אבל זה לא מונע מאיתנו להכיר ביופיו של שיר כשאנו קוראים אותו.”
(גודפרי הרולד הרדי, מתוך “התנצלותו של מתמטיקאי”)

אם תבקש מתמטיקאי להגדיר את מקצועו, קרוב לוודאי שיגמגם. פיזיקאי יידע לומר מה הוא חוקר, אבל מתמטיקאי, גם לאחר שנות מחקר ארוכות, יתקשה להגדיר את עיסוקו. אחת ההגדרות המקובלות למתמטיקה היא על פי נושאי החקירה שלה: “המדע של המספר והצורה”. במילים אחרות, המתמטיקה עוסקת בחקר המספרים (חשבון) ובגיאומטריה. בכך יש הרבה אמת. כמעט כל תחום מתמטי מודרני התפתח מאחד הנושאים האלה, וכמעט בכל תחום יש צד גיאומטרי או מספרי. יותר מכך, כמעט בכל תחום מופיעים שני הנושאים כאחד, וככל שהמתמטיקה מתקדמת כך קשה יותר להפריד בין השניים – הגיאומטריה תורמת למספרים ולהפך. אלא שהסיוג “כמעט” הוא בלתי נמנע: רק כמעט בכל תחום מופיעים מספרים או גיאומטריה. יש תחומים שבהם אין תפקיד משמעותי לאף אחד מן השניים. על אחד מהם, הלוגיקה המתמטית, יסופר בהמשך פרק זה. גם כאשר מופיעים מספרים, לא תמיד הם בלב העניין. כך, למשל, המושגים העיקריים בחידת הנמלים מן הפרק הראשון – “התנגשות”, “החלפת כיוון” – לא היו מספריים ורק בדוחק הם היו צורניים. הרעיון לפתרון, שהיה כזכור התעלמות מזהות הנמלים, לא נגע לצורה או למספר.

2. הפשטה

מה מייחד אפוא את המתמטיקה? ארשה לעצמי לצטט סיפור מספרי חשבון להורים (הוצאת שוקן, תשס”ד). בכיתה א’ אני מבקש מן הילדים שיבדקו כמה הם (נאמר) 3 עפרונות ועוד 2 עפרונות. הילדים למדו שחיבור פירושו צירוף. הם מצרפים 3 עפרונות ל-2 עפרונות, ומוצאים שמתקבלים 5 עפרונות. עתה אני שואל: כמה הם 3 מחקים (נאמר) ועוד 2 מחקים? 5 מחקים, הם משיבים מייד. מנין אתם יודעים? כי ראינו זאת עם עפרונות. אז מה? אני טוען. אולי עם מחקים זה אחרת?
הילדים צוחקים. אבל השאלה שלי אינה מצחיקה כלל. בה טמון כל סודה של המתמטיקה: הכלליוּת. המתמטיקה מפשיטה את הסיטואציה מן הפרטים הטפלים, ומותירה את העיקר. במקרה זה, העיקר הוא ששני עצמים ועוד שלושה הם חמישה, ללא קשר לטיבם או לסידורם בחלל. כל תחום חשיבה עושה הפשטות מסוג זה. המייחד את המתמטיקה הוא שהיא מביאה זאת לקיצוניות. היא מפעילה הפשטה על תהליכי החשיבה הבסיסיים ביותר.
הדוגמה הקלאסית לכך היא מושג המספר. המספרים נולדו מהפשטה של תהליך החשיבה הבסיסי ביותר: חלוקת העולם לעצמים. היסוד לחשיבה הוא חלוקת העולם ליחידות, וכינוין בשם: “תפוח”, “משפחה”, “מדינה”. מתוך התהליך הזה הומצאו המילים, וגם מושג המספר. הבחנה ביחידה אחת יוצרת את המושג “1”: “תפוח אחד”. כאשר אנו מבחינים בקיומן של יחידות נוספות מאותו סוג, אנחנו אומרים “2 תפוחים, 3 תפוחים, 4 תפוחים…”.
אולם קיצוניות ההפשטה אינה המאפיין היחיד של המתמטיקה, ואינה הדרך היחידה לתהות על טבעה. אפשר לראות את המתמטיקה גם מזווית אחרת, פורמלית יותר, ולכך אנו מגיעים עתה.

3. פְרֶגֶה

למהפכה התעשייתית באירופה של המאה ה-19 היו תוצאות מרחיקות לכת לא רק לגבי איכות חייו של האדם, אלא לא פחות מכך גם על דרך תפיסתו של האדם את עצמו. משהתברר שמכונה יכולה להחליף שרירים ומיומנויות, התקצר המרחק למחשבה שהאדם בעצם דומה למדי למכונה. לא פלא הוא שתורתו של דרווין, שמיקמה את האדם כחבר בממלכת בעלי החיים, נולדה באותה תקופה, ודווקא באנגליה. מכאן לא היה המרחק רב לרעיון שמכונה תוכל להחליף את האדם גם בחשיבה. לא במפתיע, גם הרעיון הזה פותח בתחילה באנגליה, ערש המהפכה התעשייתית. באמצע המאה ניסה צ’רלס בבג’ לבנות את מכונת חישוב המעשית הראשונה (רעיונות תיאורטיים באותו כיוון היו כבר לפסקל וללייבניץ, כמאתיים שנים קודם לכן). הוא לא השלים את המלאכה, אבל הרעיון היכה גלים.
כעשרים שנים מאוחר יותר, בשנות ה-70 של המאה, הגיע מתמטיקאי-פילוסוף בשם גוטלוב פְרֶגֶה (Gottlob Frege, 1848-1925) מן האוניברסיטה הלא כל כך מרכזית בעיר הגרמנית יֶנָה, לרעיון מרחיק לכת עוד יותר. לא זו בלבד, כך אמר, שמכונה יכולה לבצע פעולות מתמטיות, אלא שהחשיבה האנושית עצמה מתנהגת כמכונה. ואם אכן החשיבה מכאנית, הרי אפשר לחקור אותה בצורה מתמטית, כפי שחוקרים כל תופעה גשמית בעולם, כמו תנועת גרמי השמיים, או זרימה של נוזל בצינור. ומכיוון שמתוך כלל החשיבה האנושית החשיבה המתמטית היא זו המצייתת לחוקים הברורים והמוגדרים ביותר, המועמדת הראשונה לתיאור מתמטי היא בדיוק החשיבה המתמטית. זה היה רעיון מהפכני: לחקור בצורה מתמטית את החשיבה המתמטית. במילים אחרות, לעשות מתמטיקה של המתמטיקה. שם אחר לחקירה הזאת הוא “מטא-מתמטיקה”.
בעידן המחשב הרעיון הזה נראה טבעי למדי. כיום אנו יודעים שחשיבה יכולה להיות נחלתה של מכונה, ומכונות מצייתות לכללים מוגדרים היטב, שאפשר לחקור אותם בצורה מתמטית. אבל בשלהי המאה ה-19, כאשר אפילו תורת דרווין הייתה חדשה וטרייה ונתונה במחלוקת, זו הייתה תובנה אמיצה מאוד. היא מצריכה את האדם לוותר על ייחודיותו, באותו תחום שבו נראה שהוא אכן שונה מכל שאר תופעות העולם: החשיבה המופשטת. בדיעבד, כאשר בוחנים את ההיסטוריה של התפתחות המחשב, זו הייתה נקודת מפנה משמעותית לא פחות מן המכונה של בבג’.
החשיבה המתמטית מורכבת מחלקים רבים. יש בה בניית מושגים כך שיתאימו לתופעות בעולם, יצירתן של השערות, בניית תורות וקישורן זו לזו. אבל בתוך כל אלה יש פעילות אחת שנחשבת בעיני המתמטיקאים למשמעותית ביותר: ההוכחה. להשערה טובה יש ערך, אבל הצעד המכריע הוא ההוכחה שלה. פרגה הגביל את עצמו לצד זה של החשיבה המתמטית, בעיקר משום שהתאים לתבנית שלו. הוכחה, כך אמר פרגה, היא תהליך מכאני, משחק בסמלים על נייר, שמציית לחוקים ברורים ואפילו פשוטים למדי. זהו “משחק” במובן זה, שיש לו כללים נוקשים וקלים לניסוח, לא שונים עקרונית מכללי משחק השחמט, למשל. יש צעדים מותרים, ויש צעדים אסורים. פרגה הגדיר “הוכחה” כסידרת משפטים הכתובים (נאמר) על נייר, שכל אחד מהם נובע מקודמיו על פי אחד מתוך מספר מצומצם של “כללי היסק”. גם את הרעיון הזה קל לבני דורנו לקבל, משום שזוהי הדרך בה פועל המחשב. המחשב “חושב” על ידי כך שהוא לוקח סידרה של סמלים – אף כי לאו דווקא על נייר (במחשב הם מקודדים באותות חשמליים), ופועל עליהם לפי הכללים שֶמוֹרָה לו התוכנית המריצה אותו. הוא מקבל כקלט סידרת סמלים אחת, ומוציא כפלט סידרת סמלים שנייה. כיום כל זה מובן מאליו; בזמנו של פרגה, ההבנה שפעולה פורמלית על סמלים הכתובים על נייר יכולה להיות “חשיבה” הייתה תובנה חדשנית.

4. ראסל

עבודתו של פרגה, שפורסמה ב-1879, נתקלה בהתעלמות כמעט מוחלטת. המגיב היחיד עליה היה המתמטיקאי גיאורג קנטור, מייסד תורת הקבוצות, והוא קטל אותה (כפי שנראה בהמשך, קנטור עצמו זכה בתורו לטיפול דומה מצד מתמטיקאים אחרים). פרגה הפך למר נפש, ופרסם התקפות על המתמטיקאים של ימיו. ייתכן שהיה לוקח לאנושות זמן רב עוד יותר לעכל את תגליותיו, לולא פגש ברטראנד ראסל (Bertrand Russell, 1872-1970) בעבודתו. לראסל האנגלי הייתה בילדותו אומנת גרמניה, שבזכותה למד גרמנית, וכך הגיע בבחרותו לגרמניה לצורך לימודיו. הוא קרא את מאמריו של פרגה, הבין את גודל חשיבותם, וכשחזר לאנגליה גייס את אלפרד נורת’ וויטהד, מורהו בקיימבריג’, למשימת נפילים: לכתוב חלקים מן המתמטיקה של זמנם בשפתו של פרגה. לתוצר עבודתם, הספר “פרינציפיה מתמטיקה”, הייתה השפעה עצומה. זהו ספר כבד עד כדי אי ניתנות לקריאה. אבל רבים הבינו את המסר שבו, שחשיבה יכולה להיתפס כעניין מכאני, המציית לכללים מוגדרים היטב. מכאן ועד ליצירת המחשב הדרך לא הייתה ארוכה במיוחד – כארבעים שנים בלבד.
בעיני פְרֶגֶה המתמטיקה היא אם כך משחק בסמלים. המתמטיקאי בוחר לעצמו מערכת אקסיומות, כמו למשל האקסיומות של תורת המספרים (דוגמה לאקסיומה: “לכל  \(n \) מספר מתקיים \(n+0=n \)“). אחר כך הוא חוקר אילו משפטים אפשר להוכיח מן האקסיומות, על פי חוקי הוכחה נוקשים וידועים מראש. כמובן, זוהי זווית ראייה אחת, צרה למדי, על המתמטיקה, מכיוון אחד בלבד – ההוכחות. היא מתעלמת, למשל, מן השלב של בחירת האקסיומות: מדוע נבחרת מערכת זו, ולא אחרת? מערכות אקסיומות אינן מופיעות סתם כך. הן נועדות לתאר את המציאות. טיב מערכת האקסיומות יקבע אם יהיה לחקירה ערך, אם היא תוביל למסקנות עמוקות או תתגלה כריקה ומשמימה. בדרך כלל, אם האקסיומות באמת מגיעות מן המציאות, הן מתגלות כפוריות.
מעבר לכך, מעשה ההוכחה אינו באמת מכאני. עד היום אין יודעים דרך לתכנת מחשב כך שיגלה הוכחות בצורה יעילה. הדרך היחידה המוכרת לנו היא ניסוי וטעייה, ומכיוון שיש יותר מדי אפשרויות לבדוק, יותר מדי אפילו יחסית למהירותו של מחשב, זו אינה דרך מעשית. המתמטיקאי אינו עוסק בניסוי וטעייה. הוא מתבונן בבעיה ומנסה ליצור במוחו מבני חשיבה המתאימים לה. הוא חושב בצורה אינטואיטיבית. אני עצמי מאמין שיום אחד יבינו גם צד זה של החשיבה המתמטית, ויצליחו לתכנת גם אותו למחשבים. כאשר זה יקרה, המחשבים יידעו לשער השערות ולהוכיח משפטים מתמטיים מתוחכמים. וכשזה יקרה, זה יהיה בזכות תרומתו של פרגה.

תגובה אחת על מה זו “מתמטיקה”

  • מאת א.עצבר‏:

    מתמטיקה בעברית זה כמתנות
    כמתנות היא שפה של כמויות ערטילאיות, והמלים שלה הם מספרים.
    מספר הוא שרבוט קו בעל צורה ייחודית ושם ייחודי, והוא מביע כמות ערטילאית ייחודית.
    את המספר הראשון יש צורך להמציא :
    לשרבוט הקו הזה 1 יש צורה ייחודית , שמו המוסכם יהיה אחד, והוא יביע כמות ערטילאית מוחלטת.
    כמות ערטילאית מוחלטת נתפסת מתוך עצמה, וכל מה שאפשר להגיד לגבי 1 מופיע במשפט הבא
    הכמות הערטילאית של 1 שווה לכמות הערטילאית של 1 . משפט זה נרשם בקיצור כך 1 = 1
    1 הוא המספר הראשון, והוא יהיה מספר היצירה של המספרים הגדולים מ 1 ששמם מספרחדים ,
    1 גם יהיה מספר היצירה של המספרים הקטנים מ 1 ששמם יהיה אנטי מספרחדים.

    יצירת המספרחדים
    מספרחדים הם מספרים הנוצרים על ידי צבירת 1 ,והם 2 שתיים , 3 שלוש , 4 ארבע , 5 , 6 ,,,,,
    משוואת היצירה של 5 היא 1 בהגדל 5 = 5 המשמעות של משוואת היצירה היא כדלקמן:
    1 ימני ו 5 שמאלי הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 אמצעי מתאר כמה פעמים נצבר 1 על
    עצמו, כדי שתתקבל הכמות הערטילאית של 5
    משוואת היצירה של 1578 היא 1 בהגדל 1578 = 1578

    יצירת אנטי מספרחדים
    אנטי 2 יסומן 2′ , אנטי 3 יסומן 3′ ,,,,,,,ואנטי 1578 יסומן 1578′
    במשוואת היצירה של אנטי מספרחדים מופיעה המלה בהקטן במקום המלה בהגדל
    משוואת היצירה של 5′ היא 1 בהקטן 5 = 5′ המשמעות של משוואת יצירה זו היא כדלקמן.
    1 ו 5′ הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 5 חלקים שווים, ( חלק יחיד מחלוקה זו הוא 5′ – ששמו אנטי חמש).
    משוואת היצירה של אנטי 1578 היא – 1 בהקטן 1578 = 1578′
    1 ו 1578′ הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 1578 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 1578 חלקים שווים ( חלק יחיד מחלוקה זו הוא 1578′ )
    ממשואות היצירה נובע כי אנטי א בהגדל א = 1 ( א’ בהגדל א = 1 )
    משוואות היצירה יוצרות שתי שורות אינסופיות של מספרים.
    שורת המספרחדים שכמותם הערטילאית גדולה מזו של 1 …………2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,,,,,,,,,,,,,,
    שורת אנטי מספרחדים שכמותם הערטילאית קטנה מזו של 1 …. 2′ , 3′ , 4′ , 5′ , 6′ ,,,,,,,,,,,,,,,

    הופעת המספרים המשולבים ( מספרחד ואנטי מספרחד)
    בין כל שני מספרים עוקבים (בכל שורה) , יש כמויות ערטילאיות שאפשר לייצגן במספרים משולבים.
    את המספרים המשולבים נכנה בשם…… מספרפמים.
    מספרפם לדוגמה הוא 128 פעמים אנטי 56 , שירשם בקיצור 128פם56′ והוא = 2+ 16פם56′
    המספרפם 128פם56′ נמצא בין המספרחדים 2 ו 3
    המספרפם 56פם128′ נמצא בין אנטי מספרחדים 2′ 3′

    עם הופעת המספרפמים הושלמה שפת הכמויות הערטילאיות , או שפת הכמתנות.
    שפת הכמתנות היא שפה פשוטה מאוד, ובהחלט ניתן להשיב על השאלה
    מה יש בשפת הכמתנות ?
    תשובה
    יש אחד – ( שכמותו הערטילאית מוחלטת ומובנת מתוך עצמה)
    יש משוואת יצירה לשורה אינסופית של מספרחדים…………. 1 בהגדל א = א
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל מספרחד, מובנת אך ורק על פי התייחסות
    לכמות הערטילאית של 1 . לעומת זאת, הכמות הערטילאית של 1 , מובנת מעצמה 1 = 1

    ויש משוואת יצירה לשורה אינסופית של אנטי מספרחדים …. 1 בהקטן א = א’
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל אנטי מספרחד, מובנת אך ורק על פי
    התייחסות לכמות הערטילאית של 1 .לעומת זאת, הכמות הערטילאית של 1 , מובנת מעצמה 1 = 1
    אם נתרגם יחסי לרציונלי , ומוחלט לאי רציונלי ( כלומר לא יחסי) נקבל את המשפט הבא:
    1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים.
    מה עושים עם שפת הכמתנות ? סופרים כמויות בדידות ( כמו שקלים , מכוניות, עצים, צלחות,,,,)
    וסופרים כמויות רציפות כמו גובה 176 ס”מ , או זמן כמו 44 דקות.
    לעומת השימוש המעשי של שפת הכמתנות, הכמתנים המקצועיים פשוט חוקרים את שפת הכמתנות
    מתוך עניין לשמו. חקירה זו מגלה מהר את המספרים המקיימים את כלל “אי היכולת”

    המספרחדים 3 5 7 11 13 17 19 וכו’ הם תוצר של משוואת יצירה בלבד, והם מקיימים
    את כלל אי היכולת : מספרחד נבחר בצבירה עצמית, לא יכול ליצור מספרחד גדול ממנו.
    גם אנטי מספרחדים 3′ , 5′ , 7′ , 11′ , 13′ , 17′ , 19′ וכו מקיימים את כלל אי היכולת :
    אנטי מספרחד נבחר בצבירה עצמית, לא יכול ליצור אנטי מספרחד גדול ממנו.

    החקירה מתוך עניין לשמו מגלה את כללי ההגדל העצמי
    מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרחד ( 7 בהגדל 7 = 49 )
    אנטי מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד אנטי מספרחד ( 7′ בהגדל 7′ = 49′ )
    מספרפם בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרפם ( 12פם18′ בהגדל עצמי = 144פם324′)

    הוכחה כמתנית
    התוצאות של חקירה מתוך עניין לשמו, חייבות בהוכחה כמתנית.
    יש להוכיח כי שורת המספרחדים הזו 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , ,,,,היא אינסופית
    יש להוכיח את כללי ההגדל העצמי.
    יש להכין מענה לשאלה…מהי הוכחה כמתנית

    בעיית הרצף הנובעת מכללי ההגדל העצמי
    היות שבין הכמות הערטילאית של 2 ( היוצרת בהגדל עצמי את 4 )
    לכמות הערטילאית של 3 ( היוצרת בהגדל עצמי את 9 )
    יש רק כמויות ערטילאיות של מספרפמים, היוצרות בהגדל עצמי רק מספרפמים,
    נובע מכאן , כי לכמויות הערטילאיות שאמורות ליצור בהגדל עצמי את 5 , 6 , 7 , אין ייצוג מספרי.
    בעיית הרצף קובעת כי שפת הכמתנות היא מושלמת כאשר מדובר בכמויות בדידות, והיא אינה
    מושלמת כאשר מדובר בכמויות רציפות.( יש כמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי)

    כמויות רציפות מופיעות בתחום הגיאומטרי אורך , שטח, נפח , ובתחום הפיזיקלי זמן, אנרגיה,
    הדוגמה המפורסמת לכמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי, מופיעה בתחום הגיאומטרי.
    אי אפשר לייצג בכמויות ערטילאיות של מספרים, את האורכים הרציפים של צלע הריבוע ואלכסונו.
    אם נבחר כמות ערטילאית לייצוג אורך הצלע, לא תהיה לנו כמות ערטילאית לייצוג אורך האלכסון.
    אם נבחר מספר לייצוג אורך הצלע, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך האלכסון.
    ואם נבחר מספר לייצוג אורך האלכסון, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך הצלע.

    החקירה של שפת הכמתנות מתוך עניין לשמו ידועה ומפורסמת, וכל המחפש אותה ימצאנה.
    לפעמים, יש לחקירה כזו שימוש מעשי .

    א.עצבר