מה זה …0.999?

מה זה \({0.999\ldots}\)

1. שווה, או שואף?

רבים מכם נתקלו בוודאי במספר \({0.999\ldots}\). אבל מה זה? יש כאלה שסבורים שזה פשוט \({1}\). יש כאלה שמוכנים להסכים לזה, ובכל זאת קצת מפקפקים, או אפילו מתרגזים על הרעיון שאותו מספר נכתב בשתי צורות. ויש כאלו שטוענים שזה לא \({1}\), אלא שזה שואף ל-\({1}\).

לפני שאמשיך, אנא בררו לעצמכם – מה דעתכם? שווה ל-\({1}\), או שואף ל-\({1}\)?

כדי לא להשאיר אתכם במתח, אומר לכם כבר עתה – המספר הזה שווה ל-1. \({0.999\ldots=1}\). אבל צריך להסביר למ הכוונה. מי שמתרגז על זה שאותו מספר נכתב בשתי צורות – אנא התאזרו בסבלנות.

2. מהו פיתוח מספר עשרוני אינסופי?

מדי שנה, ב-\({14}\) במרץ, חוגג עולם המתמטיקה את יום ה-\({\pi}\). באמריקה כותבים את התאריך \({3.14}\) – ההתחלה המפורסמת של הפיתוח העשרוני של \({\pi}\). הנה ההמשך, \({100}\) הספרות הראשונות:

\(\displaystyle \pi = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286\ldots\)

שלוש הנקודות משמען שצריך להמשיך. אבל מה פירוש שצריך להמשיך? הפירוש הוא זה: המספרים

\(\displaystyle 3, 3.1,~ 3.14,~ 3.141,~ 3.1415,~ 3.14159,~ 3.141592, \ldots,\)

הולכים ומתקרבים לערך האמיתי של \({\pi}\), כלומר ליחס בין היקף מעגל לקוטר שלו. כל איבר בסדרה הוא קירוב יותר טוב לערך האמיתי. וכמובן – כל איבר בסדר קטן מן הערך האמיתי של \({\pi}\). הרי כדי להתקרב ל-\({\pi}\) מוסיפים עוד ועוד. אלו הם קירובים מלמטה.

בלשון מדויקת אומרים שסדרת המספרים האלה שואפת ל-\({\pi}\). במינוח אחר, הגבול שלה הוא \({\pi}\).

זהו המובן של פיתוח עשרוני אינסופי של מספר: סדרת המספרים המתקבלת מכך שעוצרים במקום סופי אחרי הנקודה שואפת למספר.

אם כן, העובדה ש-\({0.999\ldots=1}\) משמעה הוא שסדרת המספרים \({0,~0.9, ~0.99,~0.999, \ldots}\) שואפת ל-\({1}\). הגבול שלה הוא \({1}\). ואכן, הסתכלו על המרחק של המספרים האלה מ-\({1}\): המרחק של \({0}\) מ-\({1}\) הוא \({1}\); המרחק של \({0.9}\) מ-\({1}\) הוא \({0.1}\); המרחק של \({0.9}\) מ-\({1}\) הוא \({0.1}\); המרחק של \({0.99}\) מ-\({1}\) הוא \({0.01}\); המרחק של \({0.999}\) מ-\({1}\) הוא \({0.001}\). המרחקים הולכים וקטנים, והם שואפים ל-\({0}\). זהו משמעו שסדרת המספרים שואפת ל-\({1}\).

מי שמרגיש נוח עם ביטויים אלגבריים, יכול לכתוב זאת כך: מרחקו של האיבר ה-\({n}\) בסדרה מ-\({1}\) הוא \({\frac{1}{10^n}}\) (ההנחה היא שמתחילים לספור מ-\({0}\)! האיבר מספר \({0}\) בסדרה הוא \({0}\), האיבר מספר \({1}\) הוא \({0.9}\), האיבר מספר 2 הוא \({0.99}\) וכו’). והמספרים \({\frac{1}{10^n}}\) שואפים ל-\({0}\).

כאשר תלמדו ”לראשונה” על גבול של סדרות של מספרים תוכלו לומר לעצמכם – אנחנו כבר מכירים את המושג הזה, מפיתוח עשרוני אינסופי של מספרים עשרוניים!

אם כן, מדוע אי אפשר לומר ש-\({0.999\ldots}\) שואף ל-\({1}\)? משום שהמספר \({0.999\ldots}\) כבר משמעו “גבול”. לומר ש- “\({0.999\ldots}\) שואף ל-\({1}\)” זה כמו להגיד “הגבול של הסדרה שואף ל-\({1}\)”, כאשר המינוח המדויק הוא “הגבול שווה ל-1”. לומר “הגבול שואף” הוא לומר פעמיים אותו דבר – הגבול הוא מספר ששואפים אליו.

3. שברים עשרוניים מחזוריים

מכך ש-\({0.999\ldots=1}\) קל לדעת מהו \({0.333\ldots}\). בכל מקום שבו יש \({9}\) מופיע עכשיו \({3}\). במספר \({0.999\ldots}\) יש \({9}\) עשיריות )במקום של העשירות, הכוונה(; במספר \({0.333\ldots}\) יש \({3}\) עשיריות. במספר \({0.999\ldots}\) יש \({9}\) מאיות; במספר \({0.333\ldots}\) יש \({3}\) מאיות, וכו’. כל פעם ש-\({0.999\ldots}\) “אוסף” משהו, \({0.333\ldots}\) אוסף פי 3 פחות. אם כן \({0.333\ldots}\) קטן פי \({3}\) מ-\({0.999\ldots}\), כלומר מ-\({1}\), ולכן הוא שווה ל-\({\frac{1}{3}}\).

אני משער שלא חידשתי לכם כלום: \({0.333\ldots}\) הוא שבר מפורסם!

באותה צורה אפשר לראות ש-\({0.111\ldots}\) קטן פי \({9}\) מ-\({0.999\ldots}\), ולכן
\({0.111\ldots=\frac{1}{9}}\), ו-\({0.222\ldots=\frac{2}{9}}\).

למעשה, כל מספר עשרוני מחזורי אפשר להפוך כך לשבר. נתבונן למשל במספר \({0.121212…}\) הוא נקרא מחזורי משום שממקום מסוים ואילך הוא חוזר על עצמו. השוו אותו עם המספר \({0.999\ldots}\).

שתי הספרות הראשונות ב-\({0.121212…}\) מציינות \({12}\) מאיות. שתי הספרות הראשונות ב- \({0.999\ldots}\), לעומת זאת, הן \({99}\) מאיות, פי ב-\({0.121212…}\) מציינות \({12}\) מאיות, פי \({\frac{99}{12}}\) יותר.

שתי הספרות הבאות ב-\({0.121212…}\) מציינות \({12}\) חלקי עשרת אלפים. שתי הספרות הראשונות ב- \({0.999\ldots}\), לעומת זאת, הן \({99}\) חלקי עשרת אלפים, פי ב-\({0.121212…}\) מציינות \({12}\) מאיות, פי \({\frac{99}{12}}\) יותר.

כך זה ממשיך. כל פעם שהמספר \({0.121212…}\) “מקבל” משהו, המספר \({0.999\ldots}\) מקבל פי \({\frac{99}{12}}\) יותר. אם שני אנשים צוברים רכוש, וכל פעם שהראשון מקבל סכום השני מקבל סכום גדול פי \({\frac{99}{12}}\), השני יצבור בסופו של דבר פי \({\frac{99}{12}}\) יותר מן הראשון. כלומר \({0.999\ldots}\) גדול פי \({\frac{99}{12}}\) מ-\({0.121212…}\). במילים אחרות, \({0.121212…}\) קטן פי \({\frac{99}{12}}\) מ-\({0.999\ldots}\), כלומר מ-\({1}\). אם כן, \({0.121212…= \frac{12}{99}}\).

בדומה, \({0.127127127…= \frac{127}{999}}\). האם תוכלו להסביר מדוע?

4. גם ההפך נכון – הייצוג העשרוני של כל שבר הוא מחזורי

ראינו שכל שבר עשרוני מחזורי ניתן לביטוי כשבר. האם גם ההפך נכון? האם הייצוג העשרוני של כל שבר הוא מחזורי? התשובה היא “כן”. הדבר נובע מן הצורה שבה הופכים שבר לשבר עשרוני. יודעים איך עושים זאת? פשוט מחלקים חילוק ארוך. וכשבחילוק הארוך חוזרים לאותה שארית, הפיתוח מתחיל לחזור על עצמו.

למשל, כדי לחשב מהו \({\frac{1}{7}}\) מחלקים \({1}\) ב-\({7}\). כמובן, יוצא \({0}\), עם שארית \({1}\), כלומר \({10}\) עשיריות. \({10}\) עשיריות לחלק ל-\({7}\) הן \({1}\), עם שארית \({3}\), שהן \({30}\) מאיות. \({30}\) מאיות לחלק ל-\({7}\) הן \({4}\) עם שארית \({2}\), שהן \({20}\) אלפיות. \({20}\) אלפיות לחלק ל-\({7}\) הן \({2}\) עם שארית של \({6}\), שהן \({60}\) חלקי עשרת אלפים. \({60}\) חלקי עשרת אלפים לחלק ל-\({7}\) הן \({8}\) עם שארית של \({4}\), שהן \({40}\) חלקי מאה אלף; \({40:7=5(5)}\) כלומר שארית של \({50}\) חלקי מיליון, \({50:7=7(1)}\) ומן הרגע שחזרנו לשארית \({1}\) אנחנו מתחילים לחזור על עצמנו. אם כן \({\frac{1}{7}=0.142857142857142857\ldots}\).

שימו לב – אחרי \({6}\) ספרות התחלנו לחזור על עצמנו. אחד פחות מ-\({7}\). האם זה מקרה? לא ממש. המחזור לא יכול להיות ארוך מ-\({6}\), כי יש רק \({6}\) שאריות אפשריות מ-\({7}\) – \({1,~2,~3,~4,~5,~6}\) (כל המספרים הקטנים מ-\({7}\). מדוע לא תיתכן שארית \({0}\)? בסוף המאמר יש שאלה שמדריכה לכך.) מדוע בדיוק \({6}\)? זוהי כבר שאלה יותר קשה, שאולי נחזור אליה באחד המאמרים הבאים. נסו: מהו אורך המחזור בפיתוח של \({\frac{1}{11}}\)? בפיתוח של \({\frac{1}{13}}\)?

5. האם כל שבר אפשר לכתוב עם מכנה שכולו תשיעיות?

בואו נחזור ל-\({\frac{1}{7}}\). ראינו שהוא שווה ל-\({0.142857142857142857\ldots}\) לפי הסעיף הקודם, יוצא ש-\({\frac{1}{7}=\frac{142857}{999999}}\).

האם זה נכון לכל שבר? לאו דווקא. הסתכלו המחזורי \({0.7121212\ldots}\). גם הוא נחשב למחזורי. הוא שווה ל-\({\frac{7}{10}+\frac{12}{990}}\) (מדוע?), שהוא \({\frac{7\times 99+12}{90}}\).

בעיה מספר 1- הוכיחו שכל שבר אפשר לכתוב עם מכנה מן הצורה \({999\ldots900\ldots0}\) – מספר שיש בו רק תשיעיות ולאחריהן אפסים.
מוזר, לא?

בעיה מספר 2- האם תוכלו להוכיח את העובדה שמופיעה בבעיה הקודמת גם ישירות?
שימו לב: משמעות הדבר היא שלכל מספר יש כפולה מן הצורה \({999\dots900\ldots0}\) – מספר שיש בו רק תשיעיות ואחריהן אפסים. מוזר, לא? בבעיה אתם מתבקשים לתת לעובדה הזאת הוכחה ישירה.

6. עוד שתי שאלות

בעיה מספר 3- מה מאפיין שברים שיש להם ייצוג עשרוני סופי? איזה סוג של מכנה צריך להיות לשבר כזה?
בעיה מספר 4- שאלה למחשבה: מה לדעתכם יש יותר – מספרים שבהם יש מחזוריות, או מספרים שאין בהם מחזוריות? כלומר מה יש יותר – מספרים שהם שברים אומספרים שאינם שברים?
אני חושב שאתם יכולים לנחש את השתובה. באחד הגיליונות הבאים נסביר מדוע הניחוש הזה (אני מקווה שניחשתם נכון) הוא מוצדק.

7. ומה הלאה?

בגיליון הבא נקשר את כל מה שלמדנו למושג שנקרא “סדרות גיאומטריות”. ליתר דיוק, סדרות גיאומטריות אינסופיות.

2 תגובות על מה זה …0.999?