מה זה “אפסילון”

 כשהמתמטיקאי ההונגרי הגדול פאול ארדש היה פוגש ילד, היה נוהג לשאול “בן כמה האפסילון הזה?” אם הייתה זו ילדה, הוא היה שואל “בת כמה הדלתא הזאת?” לאחר שקיבל תשובה היה מראה לילד או לילדה טריק קטן עם מטבעות, ואחר כך היה פונה לעיסוקים האמיתיים, המתמטיים.

למה “אפסילון” ו”דלתא”? משום שבמתמטיקה שתי האותיות היווניות האלה, \({\varepsilon}\) ו-\({\delta}\), מציינות גדלים “קטנים”. מה זה “קטנים”? ובכן, הכוונה אינה למיליונית או ל-\({10^{-80}}\). לצורך ענייננו כאן, הכל יחסי. גם \({1}\) וגם מיליון יכולים להיות מספרים “קטנים”. תלוי ביחס למה. וה”מה” הזה הוא “כמה אנחנו רוצים שהמספר יהיה קטן, כדי שהוא יקיים תנאי מסוים”

אז מה זה “קטן”? בשביל זה צריך לחזור לפרק מעניין בהיסטוריה של המתמטיקה, המצאת החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי – ה”חדו”א”. מי המציא את החדו”א? ובכן, הגינות מחייבת לייחס זאת ליוונים העתיקים. למעשה, הם המציאו את החשבון האינטגרלי לפני שהמציאו את החשבון הדיפרנציאלי. בחשבון האינטגרלי מחלקים את העולם לחלקים קטנים, ומסכמים גדלים שמתאימים להם. למשל, את שטחיהם.

כדי לחשב את שטח העיגול היוונים חילקו את העיגול לגזרות צרות רבות. מכיוון שהבסיס של כל גזרה קטן, הוא מתנהג כמו ישר, ולכן הגזרה היא בקירוב טוב משולש, ולכן שטחה הוא בקירוב טוב מאוד אורך הבסיס כפול הגובה, חלקי \({2}\). הגובה הוא, כמובן, הרדיוס \({R}\) של העיגול. סכום שטחי הגזרות הוא אם כן סכום אורכי הבסיסים כפול הרדיוס, חלקי \({2}\). ומכיוון שסכום אורכי הבסיסים הוא היקף המעגל, שהוא \({2\pi R}\) (זוהי הגדרת \({\pi}\) – כאן אין מה להוכיח!) הרי שטח העיגול הוא \({\frac{1}{2}2\pi R \times R}\), שהוא \({\pi R^2}\) – הנוסחה המוכרת לשטח העיגול. בצורה דומה ידעו היוונים לחשב את נפח הכדור (\({\frac{4}{3}\pi R^3}\)) ואת שטח הפנים שלו (\({4\pi R^2}\)).

CircleArea

בציור ממלאים בעזרת המשולשים תחום כמעט מלבני, ורואים מהו השטח מכך – בסיס המלבן הוא חצי מהיקף המעגל, וגובהו הור רדיוס המעגל. אם כן שטח העיגול הוא הרדיוס כפול חצי ההיקף.

זהו הרעיון של החדו”א – כשמסתכלים על מעגל, או על עקום חלק, מקרוב מאוד, הוא נראה כמו קו ישר. זוהי הסיבה שהקדמונים חשבו שהעולם שטוח. אנחנו מסתכלים על כדור הארץ מקרוב, ואנחנו רואים רק חלק קטן מאוד ממנו, ומנקודת ראות כזו הוא נראה שטוח. מישהו אמר פעם ש”החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי הומצאו על ידי מי שחשב שהעולם שטוח, וצדק”.

אחר כך התחדש החדו”א במאה ה-\({16}\), והגיע לבשלות, לפחות מבחינה חישובית, במאה ה-\({17}\), בתגליותיהם של פרמה (\({Fermat}\)), ניוטון ולייבניץ. אבל הבשלות הייתה רק חישובית. אף אחד לא ניסח במדויק מה פירוש “לראות את העיגול מקרוב” – כמה קרוב? המושג המרכזי של החדו”א – הגבול, כלומר התקרבות של מספרים למספר נתון, לא הוגדר מעולם. הוא התקבל כמובן מאליו, והובן רק אינטואיטיבית. למשל העובדה שסדרת המספרים \({\frac{1}{n}}\), כלומר הסדרה

\(\displaystyle \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\ldots\)

שואפת לגבול שהוא המספר \({0}\), עובדה שברורה לכל מי שמסתכל בסדרה, לא הוגדרה מעולם.

ואז, במאה התשע עשרה, נוכחו המתמטיקאים לדעת שלא יוכלו להתחמק מהגדרות מדויקות. מהי ההגדרה? האם הסיבה לשאיפת הסידרה ל-\({0}\) היא שמרחקם של כל המספרים האלה מ-\({0}\) יותר קטן מ-\({1}\)? בוודאי שלא. קירבה של \({1}\) עשויה לספק לצרכים מסוימים, ולא להיות מספיקה לצרכים אחרים. אם כן, מהי ההגדרה?

התשובה היא – איברי הסדרה קרובים כרצוננו. כלומר, לכל מידת קירבה, המספרים יהיו קרובים ל-\({0}\) יותר מן המידה הזאת, החל ממקום מסוים.

למידת הקירבה הזאת קוראים “אפסילון” – ה-\({e}\) היוונית. מדוע? אין לי מושג. אולי מפני שהאותיות היווניות שקודמות לה, \({\alpha, \beta, \gamma, \delta}\) (אלפא, בתא, גמא, דלתא – המקבילות של אלף, בית, גימל ודלת העבריות) היו כבר תפוסות. ובכן, ההגדרה היא שהסדרה \({\frac{1}{n}}\) שואפת ל-\({0}\) משום שלכל מספר \({\varepsilon}\) חיובי מרחקם של איברי הסדרה מ-\({0}\) קטן מ-\({\varepsilon}\) החל ממקום מסוים. למשל, אם תקחו \({\varepsilon=\frac{1}{1000}}\), יהיו איברי הסדרה קרובים לגבול, \({0}\), יותר מ-\({\varepsilon}\) החל מן המקום ה-\({1001}\).

עכשיו אולי תבינו את חשיבות תגליתו של ד”ר פז, שעליה יסופר במדורנו הפעם.