טופולוגיה

המתמטיקה היא מלכת המדעים,
והאריתמטיקה מלכת המתמטיקה.
(קרל פרידריך גאוס)

מהו התחום המתמטי היפה ביותר? אני משער שלו היו עורכים משאל בין המתמטיקאים הייתה האריתמטיקה, כלומר תורת המספרים, זוכה במקום הראשון. זהו התחום העתיק ביותר, משום שהוא עוסק במושג הבסיסי ביותר. יש בו פער גדול בין עומק לבין פַּשְׁטוּת שעל פני השטח. יש בו גם ריכוז גדול במיוחד של השערות שהן כה קלות לניסוח שאפילו ילד יבינן, ועם זאת הן עומדות בפני מאמצי פתרון של דורות. באשר למקום השני בתחרות היופי, אחד המתחרים הנכבדים ביותר עליו הוא נושא מודרני יותר: הטופולוגיה, תחום ששייך למתמטיקה הרציפה אבל אינו ניתן להפרדה גם מן האלגברה. ״טוֹפּוֹס״ ביוונית פירושו ״מקום״, ו״טופולוגיה״ היא אם כך ״מדע המקום״. תיאור מדויק יותר שלה הוא ״המדע של יריעות גומי״, שֶׁכֵּן היא חוקרת אותן תכונות של יריעות שנשמרות במתיחה ובעיוות. מבחינה טופולוגית, האדם זהה לבייגל עם כמה חורים (הנחיריים, מערכת העיכול); מבחינה טופולוגית, אפשר לפשוט את החולצה בלי לפשוט קודם לכן את הסוודר. ההבדל בין טופולוגיה לבין גיאומטריה הוא שבטופולוגיה אין חשיבות לכך אם קו הוא ישר או לא, ואין מודדים מרחקים בין נקודות – כאמור, לטופולוג לא אכפת אם מותחים את יריעת הגומי שלו, ומגדילים מרחקים: בעיניו שתי יריעות המתקבלות זו מזו על ידי מתיחה הן זהות.

משפט נקודת השבת

טופולוג הוא גיאומטר שקושר את ידיו מאחורי גבו. הוא אוסר על עצמו לדבר על מרחקים. בעיניו קווי ההיקף של משולש ושל מעגל הם היינו הך, משום שאפשר לקחת משולש ולעוות אותו עד שיהפוך למעגל, ולהפך. אבל אם אין מודדים מרחקים, מה נותר לומר על צורות? תכונה אחת שהטופולוגיה חוקרת היא אם יש בצורה חורים, או לא. ואם יש, כמה חורים. היא מנסה לפתח כלים להוכחה ששני גופים “שווים” מבחינה טופולוגית, כלומר אפשר להעביר את האחד לשני במתיחה, סיבוב או שיקוף.

כדוגמה למשפט טופולוגי אספר על אחד המשפטים החשובים והידועים ביותר, משפט נקודת השבת של ההולנדי בראואר (1881-1966 ,Brouwer) מ-1912. המשפט מדבר על כדור מממד כלשהו. ״כדור״ בממד כללי הוא קבוצת כל הנקודות הנמצאות במרחק לכל היותר R מנקודה מסוימת, שהיא מרכז הכדור. בממד 1 זהו קטע באורך 2R, ב־2 ממדים זהו עיגול (״עיגול״ הוא התחום המלא, כולל הפְּנִים שלו, בניגוד ל״מעגל״ שהוא רק ההיקף). ב-3 ממדים זהו כדור רגיל, כמו זה שאנחנו משחקים בו בחוף הים, וב-4 ממדים גוף שאיננו יכולים לראות בעין. כמובן, בעיני טופולוג אין זה חשוב אם הצורה היא כדור בדיוק – כל גוף שמתקבל מן הכדור על ידי עיוות כלשהו שקול מבחינתו לכדור. משפט בראור אומר שאם לוקחים גוף כזה, מעוותים אותו, מזיזים אותו ומותחים אותו – בלי לקרוע! – ואם מותירים את כולו בתוך אותו תחום שתפס במרחב קודם לכן (כלומר לאחר העיוות והמתיחה אף נקודה אינה חורגת מן המקום בחלל שתפס הגוף קודם לכן), כי אז קיימת נקודה שלא זזה. נקודה כזו נקראת ״נקודת שֶׁבֶת״, משום שהיא נותרה יושבת במקומה.

התחום האפור מימין התקבל על ידי עיוות והזזה של העיגול השמאלי, עיוות שאינו גולש אל מחוץ לעיגול. הנקודה x לא זזה – העיוות השאיר אותה במקומה. משפט בראואר אומר שבכל עיוות של העיגול שמשאיר אותו בתוך עצמו יש נקודה שנשארת במקום.

כדאי לשים לב לכך שלגבי גופים אחרים המשפט אינו נכון. קחו, למשל, עיגול והוציאו ממנו נקודה אחת – את המרכז. עתה, אם תסובבו את העיגול בזווית כלשהי שהיא גדולה מ-0 וקטנה מ-360 מעלות, לא תהיה אף נקודה שתישאר במקום. אומנם, כשהעיגול מלא, הסיבוב משאיר את המרכז במקום, אבל הן נקודת המרכז הורחקה!

את המקרה הדו ממדי של משפט בראואר אפשר להדגים בעזרת דפי נייר (אף כי נייר אפשר רק לעוות ולהזיז, לא למתוח, ולכן לא תהיה בכך הדגמה למלוא עוצמתו של המשפט). יש לזכור שבעיני טופולוג דף מלבני זהה לעיגול, משום שאפשר לקחת עיגול ולעוות אותו, מבלי לקרעו, עד שיהפוך למלבן (חישבו על יריעת פלסטלינה, ותשתכנעו שאכן כך הדבר). ובכן, קחו שני דפים מלבניים, שווי גודל ונטולי חורים, והניחו אותם זה מעל זה, כך שיחפפו בדיוק. עתה קחו את העליון מביניהם, קפלו אותו, מעכו אותו וסובבו אותו כרצונכם – אבל בלי לקרוע אותו, ובלי שנקודה כלשהי בו תחרוג מתחום הדף התחתון (התנאי האחרון פירושו שהדף העליון יישאר כולו מעל הדף התחתון). משפטו של בראוּאֶר אומר עתה שיש נקודה בדף העליון שנשארה בדיוק מעל הנקודה שמעליה הייתה קודם. כלומר, היא נשארה במקומה, מבחינת ההיטל שלה על הדף התחתון.

משפט בראוּאֶר עומד בכל הקריטריונים ליופי: ניסוחו פשוט ואלמנטרי; הוכחתו עמוקה; הוא פורה מאוד, בכך שפרץ דרך לתחום שלם בטופולוגיה; וכן, הוא שימושי מאוד, גם בתחומים מרוחקים מן הטופולוגיה. למשל, הוא מועיל להוכחת קיום פתרונות למשוואות מסובכות. בנוסף לכך, הוא מהווה דוגמה מאלפת לשילוב של תחומי מתמטיקה שונים. אף שבניסוח המשפט אין זכר לפעולות חשבוניות, כלומר לאלגברה, ההוכחה המקובלת והפשוטה ביותר שלו היא אלגברית. היא משתמשת בכלים מתחום שפותח בסוף המאה ה-19 ובתחילת המאה ה־20, שנקרא ״טופולוגיה אלגברית״. אביו של התחום הזה היה הצרפתי אנרי פואנקרה (1854-1912 ,Henri Poincaré). בפרק הבא נראה שימוש מפתיע למשפט בראוּאֶר במתמטיקה הבדידה.

משפט בּוֹרסוּק-אוּלָם

ערב מלחמת העולם השנייה הייתה בפולין פריחה מתמטית קצרה אך מרהיבה. בבתי הקפה של לבוב ושל וורשה, שני מרכזי המחקר הגדולים, פעלו חוקרים ששמותיהם ידועים כיום לכל מתמטיקאי – בַּנַך (Banach), מַזוּרקֶביץ’ (Mazurkewic), קוּרטוֹבסקי (Kuratowski), טַרְסקי (Tarski), בורסוק (Borsuk), אוּלָם ורבים אחרים. במיוחד נשכרה מכך הטופולוגיה. סטניסלב אוּלָם (Stanyslaw Ulam), אחד הצעירים בחבורה, לא היה טופולוג במקצועו, אבל הוא ניסח השערה בסיסית, שהוכחה במהרה על ידי בּוֹרסוּק, והיא נקראת מאז ״משפט בורסוק-אולם״. אנסח אותו תחילה על דרך הדוגמה:

בכל רגע נתון קיימות על קו המשווה שתי נקודות
אנטיפודיות(כלומר שנמצאות בדיוק זו מול זו) שבהן נמדדת
בדיוק אותה טמפרטורה.

״קו המשווה״ הוא רק משל – אפשר לקחת במקומו כל מעגל. במקום הטמפרטורה אפשר לקחת גודל כלשהו, בתנאי שזהו גודל רציף, כלומר אין בו קפיצות. הטמפרטורה היא דוגמה לגודל רציף, משום שאינה ״קופצת״, שפירושו שאם בנקודה מסוימת נמדדת טמפרטורה של (נאמר) 10 מעלות, אז בנקודות קרובות לה הטמפרטורה תהיה קרובה ל-10 מעלות. זו הייתה דוגמה למקרה החד ממדי של משפט בּוֹרסוּק-אוּלָם. הנה דוגמה למקרה הדו ממדי:

בכל רגע נתון יש על פני כדור הארץ שתי נקודות אנטיפודיות
(כלומר שנמצאות בדיוק זו מול זו), שבהן בדיוק אותה
טמפרטורה וגם אותו אחוז לחות.

באופן כללי, מנוסח המקרה הדו ממדי של משפט בורסוק-אולם כך: אם על פניו של כדור 3 מימדי (הפָּנִים עצמם הם מממד 2) נמדדים 2 פרמטרים רציפים, אז יש שתי נקודות אנטיפודיות שבהן שני הפרמטרים שווים. המקרה ה־3 ממדי של משפט בורסוק-אולם יאמר שאם ניקח כדור 4 ממדי, שפניו הם 3 ממדיים (אל תנסו לדמות לעצמכם כדור כזה – זהו יצור מופשט!) ונמדוד על פניו 3 פרמטרים, יהיו שתי נקודות אנטיפודיות שכל אחד מן הפרמטרים יהיה שווה בשתיהן. משפט בורסוק־אולם הכללי אומר דבר דומה, בנוגע לפני כדור מממד כלשהו.

המקרים ה־2 ממדיים ואילך של המשפט הם קשים ועמוקים. המקרה ה-1 ממדי, לעומת זאת, פשוט למדי, ואוכל לתאר את ההוכחה שלו. זיכרו – המקרה ה-1 ממדי אומר שעל פני קו המשווה (שהוא פשוט דוגמה למעגל) יש שתי נקודות אנטיפודיות שבהן הטמפרטורה (שהיא פשוט דוגמה לפרמטר רציף, או בלשון המתמטיקה ״פונקציה רציפה״) שווה. לצורך ההוכחה נצייר מחוג עם ראש וזנב כמו באיור הבא:

משפט בּוֹרסוּק-אוּלָם אומר שאם נסובב את המחוג על פני קו המשווה, נגיע למצב שבו בראש המחוג ובזנבו נמדדת אותה טמפרטורה. ההוכחה נעשית על ידי הסתכלות בהפרש בין הטמפרטורה בראש והטמפרטורה בזנב. אם ההפרש חיובי, אז אחרי סיבוב ב-180 מעלות הוא יתהפך, ולכן יהיה שלילי. גודל שעובר ברציפות מחיובי לשלילי חייב לעבור דרך 0, ולכן באיזושהי נקודת ביניים הוא יהיה שווה ל-0. והפרש 0 פירושו טמפרטורות שוות בשני קצות המחוג.

נציב את המחוג במצב כלשהו, ונחשב את ההפרש בין הטמפרטורה בראשו והטמפרטורה בזנבו. אם במצב שבחרנו ההפרש הזה הוא 0, פירוש הדבר הוא שהטמפרטורה בנקודות הראש והזנב שוות, ואלה הן אז שתי נקודות אנטיפודיות שבהן הטמפרטורה שווה, שהוא מה שרצינו להוכיח. נוכל להניח אפוא שההפרש הזה אינו 0. נניח, לשם דוגמה, שהטמפרטורה בראש היא 10 ובזנב 3, ואם כן ההפרש הוא \(10-3=7\) מעלות. נסובב עתה בדמיוננו את המחוג באופן רציף ב־180 מעלות, כלומר עד שנקודות הראש והזנב יתחלפו, וכל אותה עת נמדוד את הפרש הטמפרטורות בין הראש והזנב. כאשר נגיע למצב הסופי, כלומר נשלים סיבוב של 180 מעלות, יהיה ערך הטמפרטורה בראש החץ (היכן שקודם היה הזנב) 3 מעלות, ואילו הערך בזנב (במקום בו היה קודם הראש) הוא 10 מעלות. ההפרש בין הראש והזנב יהיה על כן \(3-10=-7\) מעלות. ההפרש עבר אפוא מֵעֶרך חיובי לערך שלילי. מכיוון שאנו מניחים שהטמפרטורה היא פרמטר רציף, כלומר אין בה קפיצות, הרי לפי משפט ערך הביניים שלמדנו בפרק הקודם ההפרש חייב באיזושהי נקודה להיות שווה 0. אבל כאמור הפרש טמפרטורות 0 בין ראש וזנב פירושו בדיוק שתי נקודות אנטיפודיות שבהן ערך הטמפרטורה שווה!

שימוש למתמטיקה בדידה

מי שפוגש לראשונה את משפט בּוֹרסוּק-אוּלָם עשוי לשאול את עצמו ״אז מה״. אין לי ברירה אלא לתת את דברתי שהמשפט הזה חשוב, מבחינה זו שיש לו שימושים רבים. אבל אוכל להביא ראיה אחת – שימוש של המשפט למתמטיקה בדידה. זהו אכן עניין מפתיע ביותר, משום שבבעיה שנפגוש מייד לא מוזכרת טופולוגיה בשום צורה שהיא!

הבעיה נקראת ״בעיית חלוקת המחרוזת״. שני גנבים גנבו מחרוזת (פתוחה, כלומר לא מעגלית), ששזורים בה חרוזים מסוגים שונים, כאשר מכל סוג יש מספר זוגי של חרוזים. הגנבים רוצים להתחלק בשללם באופן הוגן, שבו כל גנב יקבל אותו מספר חרוזים מכל סוג כמו חברו. לשם כך, כמובן, יצטרכו לחתוך את המחרוזת. אבל חיתוך מפחית מערכה של המחרוזת, ולכן הם מעוניינים להשתמש במספר חיתוכים קטן ככל האפשר. לכמה חיתוכים יזדקקו? המתמטיקאי הישראלי נוגה אלון השתמש במשפט בורסוק-אולם כדי להוכיח את המשפט הבא:

אפשר להסתפק במספר חיתוכים שהוא כמספר סוגי
החרוזים.

לא אֶלאה מלחזור על כך שתמיד כדאי לבדוק את הדוגמה הפשוטה ביותר. במקרה זה, המקרה הפשוט ביותר הוא שבו יש סוג אחד של חרוזים, ואכן אז אפשר להסתפק בחיתוך אחד – פשוט חותכים את המחרוזת באמצע. גם במקרה של שני סוגי חרוזים ההוכחה אינה מסובכת במיוחד. אבל מ-3 סוגי חרוזים ואילך ההוכחה היחידה המוכרת משתמשת במשפט בּוֹרסוּק-אוּלָם!

כשחותכים את המחרוזת בשתי הנקודות כמסומן, ונותנים לגנב א’ את חתיכות A ו-C ולגנב ב’ את חתיכה B, מתקבלת חלוקה ״הוגנת״ – כל גנב מקבל 4 חרוזים לבנים ו-3 שחורים. כאשר יש שני סוגי חרוזים, כמו בדוגמה זו, מספיקים תמיד שני חיתוכים. ל-k סוגים מספיקים k חיתוכים.

תגובה אחת על טופולוגיה