חישוב 2√

כולנו מכירים את משפט פיתאגוראס, האומר שריבוע היתר במשולש ישר זווית שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות. המשפט הזה היה ידוע (כעובדה אמפירית לפחות) מאות שנים לפני פיתאגוראס, אך הוא היה הראשון שגילה את העובדה המפתיעה שבכל יחידות אורך שנקבע, אורך הצלע \(A\) של ריבוע כלשהו ואורך האלכסון שלו \(B\) אינם בני השוואה – כלומר, אין מספרים שלמים חיוביים \(m\) ו-\(n\) כך ש-\(n\cdot A=m\cdot B\).

אם נקבע את יחידת האורך שלנו להיות יחידה אחת, ממשפט פיתאגוראס נמצא שריבוע אורך האלכסון בריבוע זה שווה ל-\(2\), ומכאן נקבל את הניסוח המודרני לתגלית של פיתאגוראס:

משפט: אין \(p\) ו-\(q\) שלמים חיוביים כך ש-\(\sqrt{2}=p/q\) – כלומר, \(\sqrt{2}\) אינו מספר רציונאלי.

הוכחה: נניח בדרך השלילה שיש מספרים שלמים \(p,q\) כאלה, ולכן מתקיים:

\(\displaystyle (1) \quad ~2q^{2}~=~p^{2}\)

אם יש ל-\(p\) ו-\(q\) גורם משותף \(1 \lt d\), אפשר לצמצמו, ולכן מותר להניח ש-\(p\) ו-\(q\) זרים. אך מ-(1) אנו רואים ש-\(p^{2}\) זוגי, ולכן \(p\) זוגי (מדוע?). נאמר ש-\(p=2k\) עבור \(k\) טבעי: אז

\(,~2q^{2}~=~p^{2}~=~(2k)^{2}~=~4k^{2}\)

כלומר \(q^{2}=2k^{2}\), ולכן \(q\) עצמו זוגי – בסתירה לכך ש-\(p\) ו-\(q\) זרים. ∎

למרות שאי-אפשר לבטא את \(\sqrt{2}\) במדוייק באמצעות מספרים רציונאליים, אפשר לקרב אותו – או כל שורש ריבועי אחר – על-ידי מספרים רציונאליים בכל מידת דיוק שנרצה, בדרך שהייתה ידועה כבר לבבלים לפני כמעט 4000 שנה:

השיטה: יהי \(x\) מספר רציונאלי חיובי כלשהו, ונניח למען הפשטות ש-\(1 \lt x\). אנו נבנה שתי סדרות \((a_{n})_{n=0}^{\infty}\) ו-\((b_{n})_{n=0}^{\infty}\) של קירובים רציונאליים חיוביים ל-\(\sqrt{x}\), באופן שיתקיים:

(א) \(a_{n}^{2} \lt x \lt b_{n}^{2}\) (כלומר, \(a_{n} \lt \sqrt{x} \lt b_{n}\)) לכל \(n\) טבעי.

(ב) \(a_{n} \lt a_{n+1}\) ו-\(b_{n} \gt b_{n+1}\) לכל \(n\) טבעי (כלומר, כל סדרה מונוטונית).

(ג) \(b_{n}-\sqrt{x} \lt \epsilon\), אז \(\sqrt{x}-a_{n} \lt \epsilon\) ו-\(b_{n+1}-\sqrt{x} \lt \epsilon/2\).

שימו לב: שתי הדרישות הראשונות ביחד אומרות שהסדרה \(a_{1},a_{2},a_{3},\dotsc\) מקרבת את \(\sqrt{x}\) מלמטה, ואילו הסדרה \(b_{1},b_{2},b_{3},\dotsc\) מקרבת את \(\sqrt{x}\) מלמעלה. יתר על כן, שתי הסדרות האלה מונוטוניות – כלומר, בכל פעם הזוג \((a_{n+1},b_{n+1})\) הוא קירוב טוב יותר ל-\(\sqrt{x}\) מאשר הזוג \((a_{n},b_{n})\).

אולם אפשר למצוא שתי סדרות כאלה בלי להתאמץ הרבה: למשל, יכולנו לבחור בתור הקירובים ל-\(\sqrt{2}\) מלמטה את \(1, \ 1.1,\ 1.11,\ 1.111\), וכן הלאה, ובתור הקירובים ל-\(\sqrt{2}\) מלמעלה את \(2, \ 1.9,\ 1.89,\ 1.889\), וכן הלאה,

מה שחסר בבחירות אלה הוא מה שנותנת דרישה (ג): שהסדרות אכן מתקרבות כרצוננו ל-\(\sqrt{x}\). זאת נקודה קצת עדינה, משום שאין לנו דרך לחשב את \(\sqrt{x}\) עצמו ולהשוות אליו את הקירובים שלנו. אנו משתמשים איפוא במה שהיוונים כינו שיטת המיצוי: אנו מייצרים שתי סדרות של קירובים, ודואגים לכך שסדרה אחת תמיד קטנה מ-\(\sqrt{x}\), והשניה תמיד גדולה מ-\(\sqrt{x}\). זה מה שאומרת דרישה (א): שימו לב שהיא מנוסחת באמצעות \(x\) (שהוא מספר רציונאלי, לפי ההנחה), ואינה מזכירה את \(\sqrt{x}\). בעצם אנו מנצלים כאן רק את העובדה שפונקציית ההעלאה הריבוע היא מונוטונית עבור מספרים אי-שליליים.

אם בנוסף לכך נבטיח שהקירובים מלמטה ומלמעלה מתקרבים זה לזה כרצוננו – כפי שקורה בדרישה (ג) – הרי שמרחק כל אחד מהם מהמספר המבוקש \(\sqrt{x}\) אינו יכול להיות גדול מההפרש בינהם.

אפשר לנסח זאת כך: אם אתה הולך ברחובות מוסקבה, מסתכל מלפניך ורואה קצין של הק.ג.ב, מסתכל מאחוריך ורואה קצין של הק.ג.ב. – אז לאן שהם הולכים, לך גם אתה.

יישום השיטה: הבנייה נעשית באינדוקציה, החל מ-\(a_{0}=1\) ו-\(b_{0}=x\). בשלב ה-\(n\) נגדיר

\(\displaystyle (2) \quad ~b_{n+1}:=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}\ \ \ \text{-ו} \ \ a_{n+1}:=\frac{x}{b_{n+1}}\)

שימו לב ש-\(b_{n+1}\) הוא הממוצע החשבוני של שני הקירובים הקודמים \(a_{n}\) ו-\(b_{n}\), ואילו הממוצע ההנדסי שלהם הוא \(\sqrt{a_{n}\cdot b_{n}}=\sqrt{x}\) לכל \(n\).

מכיוון שלכל שני מספרים ממשיים חיוביים \(a\) ו-\(b\) מתקיים

\(\displaystyle ,~a^{2}-2ab+b^{2}~=~(a-b)^{2}~\geq~0\)

הרי ש-

\(\displaystyle ,~(a+b)^{2}~=~a^{2}+2ab+b^{2}~\geq~4ab\)

לכן אם נחלק ב-\(4\) ונוציא שורש ריבועי נמצא ש-

\(\displaystyle (3) \quad ,~\frac{a+b}{2}~\geq~\sqrt{ab}\)

כלומר, הוכחנו את העובדה הבאה המעניינת כשלעצמה:

משפט: הממוצע החשבוני תמיד גדול או שווה לממוצע ההנדסי (ויש שוויון רק כאשר \(a=b\)).

מכאן נובע (א), כי \(b_{n+1}:=\frac{a_{n}+b_{n}}{2} \gt \sqrt{a_{n}b_{n}}=\sqrt{x}\), ולכן \(a_{n+1}:=\frac{x}{b_{n+1}} \lt \sqrt{x}\) לכל \(n\). אבל אז בוודאי \(b_{n+1} \lt b_{n}\), כי הממוצע של שני מספרים קטן מהגדול מבינהם; ולכן \(a_{n+1} \gt a_{n}\) (על-ידי חלוקת \(x\) באי-השוויון הקודם).

לבסוף, אם \(b_{n}-\sqrt{x} \lt \varepsilon\), אז

\(\displaystyle ,~\sqrt{x}-a_{n}=\frac{\sqrt{x}}{b_{n}}(b_{n}-\sqrt{x}) \lt \frac{\sqrt{x}}{b_{n}}\cdot\varepsilon \lt \varepsilon\)

ולכן

\(\displaystyle .~b_{n+1}-\sqrt{x}:=\frac{a_{n}+b_{n}-2\sqrt{x}}{2} \lt \frac{b_{n}-\sqrt{x}}{2} \lt \frac{\varepsilon}{2}\)

דוגמא: עבור \(x=2\) נקבל את הקירובים הבאים ל-\(\sqrt{2}\):

\(b_{0}=\) \(2\) \(a_{0}=\) \(1\)
\(b_{1}=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}=\) \(1.5\) \(a_{1}=\frac{2}{b_{1}}=\frac{4}{3}=\) \(1.3333\dotsc\)
\(b_{2}=\frac{3}{4}+\frac{2}{3}=\frac{17}{12}=\) \(1.41666\dotsc\) \(a_{2}=\frac{2}{b_{2}}=\frac{24}{17}=\) \(1.4117647\dotsc\)
\(b_{3}=\frac{17}{24}+\frac{24}{34}=\frac{577}{408}=\) \(1.414215686\dotsc\) \(a_{3}=\frac{2}{b_{3}}=\frac{816}{577}=\) \(1.414211438\dotsc\)
\(b_{4}=\frac{577}{816}+\frac{816}{1154}=\frac{665857}{470832}=\) \(1.4142135623747\dotsc\) \(a_{4}=\frac{2}{b_{4}}=\frac{941664}{665857}=\) \(1.414213562372\dotsc\)

בקירוב האחרון אנו רואים ש-\(a_{4}\) ו-\(b_{4}\) מסכימות עד לספרה ה-\(11\) אחרי הנקודה העשרונית – כלומר, ההפרש בינהם קטן מ-\(10^{-11}=0.00000000001\). בפרט זה אומר ששתים-עשרה הספרות הראשונות בפיתוח העשרוני של \(\sqrt{2}\) הן

\(\displaystyle 1.41421356237\)

3 תגובות על חישוב 2√

  • מאת א.עצבר‏:

    האם המתמטיקה היא מדע מדויק ? לא תמיד

    כאשר המתמטיקה מנסה לעסוק בכמויות רציפות, היא לא מדויקת.

    כמויות רציפות מופיעות בתחום הגיאומטרי, (אורך, שטח, נפח) ובתחום הפיזיקלי.
    חישוב כמויות רציפות בתחום הגיאומטרי מבוסס על משפט פיתגורס.

    משפט פיתגורס הוא משוואת שטחים ( בלי מספרים ) המופיעה במשולש ישר זווית.

    משוואת השטחים אומרת.
    שטח הריבוע היתרי = סכום השטחים של שני הריבועים הניצביים.

    כדי להביע את משפט פיתגורס במספרים, המציאה המתמטיקה את הריבו”ז.
    ריבו”ז הוא ריבוע זעיר, שאורך צלעו מיוצג על ידי 1 של אורך, ושטחו מיוצג על ידי 1 של שטח.
    בריבו”ז מתקיימת המשוואה הבאה……. 1 של אורך בחזקת 2 = 1 של שטח

    לאחר המצאת הריבו”ז מופיע חשבון ריבו”זי , והוא דומה למדידת שטחים, בעזרת אמת מידה של ריבוע קטן נבחר.

    משפט פיתוגרס בחשבון ריבו”זי אומר:
    סכום הריבו”זים המשובצים בשלמות בריבוע היתרי =
    סכום הריבו”זים , המשובצים בשלמות בשני הריבועים הניצביים.

    אחרי שיבוץ כזה, יופיעו מספרי אורך לכל ניצב וגם ליתר , ומספרי שטח לכל ריבוע.

    מכאן נובע משפט פיתגורס במספרים, ומתחת לו מופיעה המשמעות שלו.

    מספר אורך ניצבי בחזקת 2 + מספר אורך ניצבי בחזקת 2 = מספר אורך יתרי בחזקת 2
    כמות של ריבו”זים + כמות של ריבו”זים = כמות של ריבו”זים.

    ואולם, שיבוץ כזה לא תמיד אפשרי בשלושת הריבועים.
    אי אפשר תמיד – לשבץ ריבו”זים באופן מושלם – בשלושת הריבועים.
    לכן, אי אפשר תמיד – להשיג מספרי אורך מדויקים – של צלעות משולש ישר זווית

    ואולם, גם אם נמדוד עם סרגל ,לא נשיג מספרי אורך מדויקים של משולש ישר זווית
    לכן, אין כל הבדל עקרוני בין מדידה לחישוב ריבו”זי, ורק רמת הדיוק מבדילה בינהם.

    יש דעה כי “המתמטיקה זה עיסוק מדויק ”
    דעה זו נכונה כאשר המתמטיקה עוסקת בתוך עצמה,
    ( כלומר במספרחדים , באנטי מספרחדים ובמספרפמים ).

    ואולם, כאשר המתמטיקה מנסה לעסוק בכמויות רציפות, מיד מתברר שהיא אינה מדויקת ממש, והיא דומה למדידה ( שבהכרח אינה מדויקת)
    את רמת הדיוק אפשר להעלות אם “נקטין את הריבו”ז” , אבל גם הקטנה זו לא תביא למצב של דיוק מושלם.

    החישוב הריבו”זי דומה ממש למדידה, והוא למעשה מחקה את פעולת המדידה הממשית.

    אין חישוב אחר במתמטיקה לכמויות רציפות, פרט לחישוב ריבו”זי.

    לכן, כל החישובים הידועים של מספרי יחס , ( טנגנס, סינוס, פאי , פי וכו’ ) הם פשוט לא מדויקים. הבעיה הגדולה ביותר מופיעה בחישוב פאי.

    א.עצבר

  • מאת א.עצבר‏:

    שיפור התגובה

    סיכום: תיאור מתמטי של הגיאומטריה אינו מדויק, והוא דומה למדידה.

    עם סרגל אפשר למדוד קוטר של מטבע, ולהגיע לתוצאה לא מושלמת שכזו.
    קוטר המטבע = (פחות או יותר 18 מ”מ )

    אפשר למדוד את קוטר המטבע עם מד אורך משוכלל כמו מיקרומטר,ולקבל תוצאה מדויקת יותר, אבל גם זו אינה מושלמת.
    תוצאה לדוגמה היא …קוטר המטבע = ( לקצת יותר) מ 17 מ”מ + 9 עשיריות מ”מ ,
    + 3 מאיות מ”מ + 5 אלפיות מ”מ .
    תוצאה לא מושלמת זו נרשמת כך : קוטר המטבע = ( קצת יותר ) מ 17.935 מ”מ

    מדידה מספקת תמיד תוצאה לא מושלמת, ואין ציפייה שמדידה תספק תוצאה מושלמת.
    מדידה לעולם “לא תספק” תוצאה האומרת ..קוטר המטבע = מספר של מ”מ

    מדוע בחרו המודדים להשתמש בעשירית מ”מ, מאית מ”מ , אלפית מ”מ ?
    מכיוון שבחירה זו מאפשרת ליצור מכשיר מדידה יעיל ופשוט לשימוש,כמו מיקרומטר.

    נבדוק עתה איך מתארת המתמטיקה את הגיאומטריה, ונגיע לתיאור הדומה למדידה.

    המתמטיקה היא שפה של כמויות ערטילאיות המיוצגות על מספרים.
    כל המספרים נוצרו על ידי הכמות הערטילאית של 1 , או בצבירה עצמית של 1 , או בחלוקה אחידה של 1.
    מספרי הצבירה העצמית הם 2 , 3 , 4 , 5 , 6 וכו’
    מספרי החלוקה האחידה הם 2′ , 3′ , 4′ , 5′ , 6′ וכו’ ………..והם יכונו אנטי מספרים.
    המשוואה המקשרת בינהם …מספר כפול אנטי מספר = 1

    המתמטיקה מתארת את הגיאומטריה, על יסוד משוואת השטחים של פיתגורס.
    משוואת השטחים מתאימה לכל משולש ישר זווית, כאשר על כל צלע שלו בנוי ריבוע.

    משוואת השטחים מנוסחת ללא שימוש במספרים , והיא אומרת כך:
    שטח הריבוע היתרי = סכום השטחים של שני הריבועים הניצביים.

    כדי להביע את משוואת השטחים במספרים,המציאה המתמטיקה את הריבו”ז.(ריבוע זעיר)
    אורך צלעו של ריבו”ז מיוצג על ידי 1 של אורך, ושטחו מיוצג על ידי 1 של שטח.

    בריבו”ז מתקיימת המשוואה הבאה……. 1 של אורך בחזקת 2 = 1 של שטח

    לאחר המצאת הריבו”ז מופיע חשבון ריבו”זי .

    משוואת השטחים בחשבון ריבו”זי אומרת:
    סכום הריבו”זים המשובצים בשלמות בריבוע היתרי = סכום הריבו”זים , המשובצים בשלמות בשני הריבועים הניצביים.

    חשבון ריבו”זי מגלה את מספרי האורך של צלעות משולש ישר זווית.

    אחרי שיבוץ מושלם, יופיעו מספרי אורך לכל ניצב וגם ליתר..
    לדוגמה,
    בריבוע ניצבי יש שיבוץ מושלם של 9 ריבו”זים, ואז מופיע מספר אורך 3 לניצב.
    ובריבוע הניצבי האחר יש שיבוץ מושלם של 16 ריבו”זים, ומופיע מספר אורך 4 לניצב.
    ובריבוע היתרי יש שיבוץ מושלם של 25 ריבו”זים, ומופיע מספר אורך 5 ליתר.

    ואולם, אי אפשר תמיד – לשבץ ריבו”זים באופן מושלם – בשלושת הריבועים.
    לכן, אי אפשר תמיד – להשיג מספרי אורך מדויקים – של צלעות משולש ישר זווית

    דוגמה לחוסר היכולת של השגת מספר אורך.
    קיים משולש ישר זווית ושווה ניצבים, שבכל ריבוע ניצבי שלו משובצים 100 ריבו”זים
    ( מספר האורך של כל ניצב הוא 10 )
    על פי משוואת השטחים , שטח הריבוע היתרי = לשטחם הכולל של 200 ריבו”זים.
    אבל, אי אפשר לשבץ באופן מושלם, 200 ריבו”זים, במבנה של ריבוע גדול.
    לכן, חשבון ריבו”זי לא מסוגל להשיג את מספר האורך של יתר המשולש הזה..

    ומה כן מסוגל חשבון ריבו”זי להשיג במקרה כזה ? תוצאה דומה לתוצאה של מדידה
    חשבון ריבו”זי יגיד :
    היות ואפשר לשבץ 196 ריבו”זים במבנה של ריבוע גדול, ( וישארו 4 ריבו”זים לא משובצים ) אפשר לקבוע כי מספר האורך של היתר….הוא קצת יותר גדול מ 14

    החישוב הריבו”זי דומה ממש למדידה, והוא למעשה מחקה את פעולת המדידה הממשית.
    כדי לשפר תוצאה של מדידה , משתמשים באמת מידה יותר קטנה.
    כדי לשפר תוצאה של חשבון ריבו”זי משתמשים ביותר ריבו”זים.

    שיפור חשבון ריבו”זי
    קיים משולש ישר זווית ושווה ניצבים, שבכל ריבוע ניצבי של משובצים 1000000 ריבו”זים ( מספר האורך של כל ניצב הוא 1000 )
    על פי משוואת השטחים שטח הריבוע היתרי = לשטחם הכולל של 2000000 ריבו”זים, אבל אי אפשר לשבץ באופן מושלם, 2000000 ריבו”זים, במבנה של ריבוע גדול.
    היות ואפשר לשבץ 1999396 ריבו”זים במבנה של ריבוע גדול, (וישארו 604 ריבו”זים לא משובצים ) אפשר לקבוע כי מספר האורך של היתר….הוא קצת יותר גדול מ 1414

    המתמטיקה המציאה את הריבו”ז שאורך צלעו 1 , וחשבון ריבו”זי מנסה להשיג את המספר המייצג את אורך יתרו.
    חשבון ריבו”זי דומה למדידה, ובשלב ראשון הוא קבע:
    אורך היתר מיוצג על ידי מספר הגדול במקצת מ 1.4
    בשלב שני הוא קבע: אורך היתר מיוצג על ידי מספר הגדול במקצת מ 1.414
    והוא גם מסוגל לקבוע כי אורך היתר מיוצג על ידי מספר הגדול במקצת מ 1.41421
    אבל חשבון ריבו”זי ( כמו מדידה) לעולם לא יציגו מספר מושלם.

    מדידה על ריבוע פיזי המופיע בקוביית מתכת שנוצרה בעיבוד מכני מדויק,יכולה לתת תוצאה כזו. אם אורך הריבוע הפיזי מיוצג על ידי 1 , אורך האלכסון הפיזי יהיה מיוצג
    על ידי מספר הגדול במקצת מ 1.41

    ואולם יש הבדל עקרוני בין תוצאה של מדידה לתוצאה של חשבון ריבו”זי.
    המדידה “אינה יודעת” אם יש או אין מספר מושלם, לאורך האלכסון
    חשבון ריבו”זי יודע, כי אין מספר מושלם, לאורך האלכסון.

    ואולם, בחשבון ריבו”זי נוסף המנסה לדעת את מספרי יחס (טנגנס, סינוס, פי ) גם החשבון הריבו”זי לא יודע אם יש או אין מספר מושלם.
    בכל המקרים האלה מספק החשבון הריבו”זי תוצאה של מדידה מדויקת מאוד.
    תוצאה מושלמת, הוא לא מסוגל לספק.

    התוצאה הסופית של חשבון ריבו”זי זהה לחלוטין לתוצאה הסופית של מדידה.

    קוטר המטבע = ( קצת יותר ) מ 17.935 מ”מ
    טנגנס של 12 מעלות, (הוא קצת יותר) מ 0.2125565

    אין חישוב אחר במתמטיקה המתאר את הגיאומטריה, פרט לחישוב ריבו”זי.

    חישוב ריבו”זי חל אך ורק על קטעי קו ישר. לכן, חישוב ריבו”זי לא מסוגל להשיג את המספר שמייצג את אורכו של קו עגול סגור, שאורך קו הקוטר של מיוצג על ידי 1.
    כאן צריכה לבוא מדידה ממשית מדויקת מאוד , והיא תגלה כי המספר האמור משתנה
    בין 3.1416 ל 3.164 בהתאם לאורך האמיתי של קו הקוטר..

    ואיפה נמצא החישוב המושלם ?
    רק בתוך המתמטיקה עצמה, עם המספרים ואנטי מספרים.

    א.עצבר

  • מאת א.עצבר‏:

    שיפור הסיכום

    חשבון ריבו”זי – מד אורך מתמטי

    עם סרגל אפשר למדוד קוטר של מטבע, ולהגיע לתוצאה לא מושלמת שכזו.
    קוטר המטבע הוא יותר מ 17.5 מ”מ ופחות מ 18 מ”מ

    אפשר למדוד את קוטר המטבע עם מד אורך משוכלל כמו מיקרומטר,ולקבל תוצאה ממוקדת יותר, אבל גם זו אינה מושלמת.
    קוטר המטבע הוא יותר מ 17.93 מ”מ ופחות מ 17.94 מ”מ
    מדידה מפיקה תמיד תוצאה לא מושלמת, ואין ציפייה שמדידה תפיק תוצאה מושלמת.
    תוצאה של מדידה, תמיד תופיע עם שני מספרים.

    מדוע בחרו המודדים להשתמש בעשירית מ”מ, מאית מ”מ , אלפית מ”מ ?
    מכיוון שבחירה זו מאפשרת ליצור מכשיר מדידה יעיל ופשוט לשימוש,כמו מיקרומטר.

    מיקרומטר הוא מד אורך פיזי, וחשבון ריבו”זי הוא מד אורך מתמטי
    חשבון ריבו”זי דומה למדידה, והוא חל על משולשים ישרי זווית, כאשר על כל צלע של המשולש בנוי ריבוע. ( ריבוע יתרי , ריבוע ניצבי , ועוד ריבוע ניצבי)
    .
    בריבועים אלו מתקיימת משוואת השטחים של פיתגורס, והיא מנוסחת ללא מספרים.
    שטח הריבוע היתרי = לסכום השטחים של שני הריבועים הניצביים.

    כדי להביע את משוואת השטחים במספרים,המציאה המתמטיקה את הריבו”ז.(ריבוע זעיר)
    אורך צלעו של ריבו”ז מיוצג על ידי 1 של אורך, ושטחו מיוצג על ידי 1 של שטח.

    בריבו”ז מתקיימת המשוואה הבאה……. 1 של אורך בחזקת 2 = 1 של שטח

    לאחר המצאת הריבו”ז אפשר לשבץ בכמויות של ריבו”זים את שלושת הריבועים המופיעים במשולש ישר זווית ,ואז יש אפשרות להביע את משוואת השטחים עם מספרים.

    מטרת החשבון הריבו”זי היא , לגלות את מספרי האורך של צלעות משולש ישר זווית.
    חשבון ריבו”זי דורש לדמות פעולה דמיונית, המשבצת ריבו”זים, בריבועים הבנויים על צלעותיו של משולש ישר זווית.
    אחרי שיבוץ מושלם כזה , יופיעו מספרי אורך לכל ניצב וגם ליתר..

    לדוגמה,
    בריבוע ניצבי יש שיבוץ מושלם של 9 ריבו”זים, ואז מופיע מספר אורך 3 לניצב.
    ובריבוע הניצבי האחר יש שיבוץ מושלם של 16 ריבו”זים, ומופיע מספר אורך 4 לניצב.
    על פי משוואת השטחים של פיתגורס, בריבוע היתרי צריכים להיות משובצים 25 ריבו”זים, ואז מספר האורך של היתר יהיה 5.

    זו כל מטרתו של חשבון ריבו”זי, לגלות מספרי אורך של צלעות משולש ישר זווית.
    הגילוי מבוסס על משוואת השטחים של פיתגורס, ועל שיבוץ מושלם של ריבו”זים,
    בתוך שלושת הריבועים, היתרי, הניצבי, והניצבי.
    לאחר השיבוץ המושלם, סופרים כמה ריבו”זים מופיעים בטור לאורך צלע, ומקבלים את מספר האורך של הצלע.
    ואולם, אי אפשר תמיד – לשבץ ריבו”זים באופן מושלם – בשלושת הריבועים.
    לכן, אי אפשר תמיד – להשיג מספרי אורך מדויקים – של צלעות משולש ישר זווית

    דוגמה:
    אם בריבוע ניצבי יש שיבוץ מושלם של 9 ריבו”זים עם מספר אורך 3 ,
    ובריבוע הניצבי האחר יש שיבוץ מושלם של 25 ריבו”זים, עם מספר אורך 5 ,
    אז בריבוע היתרי צריכים להיות משובצים 34 ריבו”זים.
    אבל אי אפשר לשבץ באופן מושלם, 34 ריבו”זים במבנה של ריבוע גדול.
    לכן, אי אפשר להשיג את מספר האורך של היתר האמור.

    ומה עושים ? מחפשים שתי כמויות ריבו”זים קרובות ל 34 , שכן ניתנות לשיבוץ מושלם
    ומוצאים את 36 עם מספר אורך 6 , ואת 25 עם מספר אורך 5 ,
    לאחר שיודעים זאת, החשבון הריבו”זי מציג תוצאה של מדידה.
    המספר המייצג את אורך היתר האמור, הוא גדול מ 5 וקטן מ 6

    כמובן שזו תוצאה לא מושלמת, אבל אפשר לשפר אותה.
    השיפור מתבסס על שיבוץ ריבו”זונים שאורך צלעם 0.1 במקום ריבו”זים שאורך צלעם 1
    את הריבוע הניצבי המשובץ ב 9 ריבו”זים, נחליף בריבוע המשובץ ב 900 ריבו”זונים.
    את הריבוע הניצבי המשובץ ב 25 ריבו”זים, נחליף בריבוע המשובץ ב 2500 ריבו”זים.
    בריבוע היתרי צריכים להיות משובצים עתה 3400 ריבו”זונים.

    אבל אי אפשר לשבץ באופן מושלם 3400 ריבו”זונים, במבנה של ריבוע גדול.
    הכמויות הקרובות הן 3364 עם מספר אורך 58 , ו 3481 עם מספר אורך 59
    עם נתונים אלו, אפשר להציג תוצאה של מדידה, טובה יותר.

    במקום התוצאה …המספר המייצג את אורך היתר האמור, הוא גדול מ 5 וקטן מ 6
    תבוא התוצאה …המספר המייצג את אורך היתר האמור, הוא גדול מ 5.8 וקטן מ 5.9

    החישוב הריבו”זי דומה ממש למדידה, והוא למעשה מחקה את פעולת המדידה הממשית.
    הוא גם נותן תוצאה , כמו תוצאה של מדידה ממשית.
    קוטר המטבע הוא יותר מ 17.93 מ”מ ופחות מ 17.94 מ”מ
    מספר האורך של היתר, הוא יותר מ 5.8 ופחות מ 5.9

    כדי לשפר תוצאה של מדידה , משתמשים באמת מידה יותר קטנה.
    כדי לשפר תוצאה של חשבון ריבו”זי משתמשים בריבו”זונים שאורך צלעם 0.1
    אפשר לשפר יותר ולהשתמש בריבו”זונים שאורך צלעם 0.01
    עם ריבו”זונים אלה, נקבל תוצאה עוד יותר טובה של מדידה.
    מספר האורך של היתר האמור , הוא יותר מ 5.83 ופחות מ 5.84
    הנה כך נבחר משולש ישר זווית שמספר האורך של הניצבים שלו הוא 3 ו 5
    וחשבון ריבו”זי גילה, שהמספר המייצג את אורך יתרו הוא גדול מ 5.83 וקטן מ 5.84
    הגילוי הזה, הוא בדיוק התפקיד של חשבון ריבו”זי.
    שדה הפעולה של חשבון ריבו”זי הם משולשים ישרי זווית.
    האלכסון של ריבו”ז הוא יתר של משולש ישר זווית ושווה ניצבים.
    חשבון ריבו”זי מגלה , כי המספר המייצג את אורך האלכסון של ריבו”ז
    הוא גדול מ 1.41421 וקטן מ 1.41422

    כאמור, חשבון ריבו”זו דומה למדידה.
    אם נבצע מדידה על ריבוע פיזי שאורך צלעו 1 ס”מ ( המופיע בקוביית מתכת שנוצרה בעיבוד מכני מדויק ) ,נקבל תוצאה פחות טובה.
    אורך האלכסון הפיזי יהיה גדול מ 1.41 ס”מ , וקטן מ 1.42 ס”מ.

    יש להדגיש כי קיים הבדל עקרוני בין תוצאת מדידה של אורך האלכסון הריבוע , לתוצאה של חשבון ריבו”זי. המדידה “אינה יודעת” אם יש או אין מספר מושלם לאורך האלכסון,
    חשבון ריבו”זי יודע, כי אין מספר מושלם, לאורך האלכסון.

    ואולם, בחשבון ריבו”זי נוסף המנסה להשיג מספרי יחס (טנגנס, סינוס, פי ) גם החשבון הריבו”זי לא יודע אם יש או אין מספר מושלם.
    בכל המקרים האלה מפיק החשבון הריבו”זי תוצאה של מדידה מדויקת מאוד.
    תוצאה מושלמת, הוא לא מסוגל לספק.

    אין חישוב אחר במתמטיקה המתאר את הגיאומטריה, פרט לחישוב ריבו”זי.

    חישוב ריבו”זי חל אך ורק על קטעי קו ישר. לכן, חישוב ריבו”זי לא מסוגל להשיג את המספר שמייצג את אורכו של קו עגול סגור, שאורך קו הקוטר של מיוצג על ידי 1.
    כאן צריכה לבוא מדידה ממשית מדויקת מאוד , והיא תגלה כי המספר האמור משתנה
    בין 3.1416 ל 3.164 בהתאם לאורך האמיתי של קו הקוטר..

    ואיפה נמצא החישוב המושלם ?
    רק בתוך המתמטיקה עצמה, עם המספרים 2 , 3 , 4, …..ואנטי מספרים 2′ , 3′ , 4′ ….
    המקושרים עם המשוואה…מספר כפול אנטימספר = 1.

    א.עצבר