חידות

לקוראי שלום,
החודש אני שוב מאוכזב. פרט לניסיון, לצערי לא מוצלח, לענות על אחת החידות, אף אחד לא ניסה לשלוח פתרון. אשמח לתגובותיכם, אפילו אלו שלא יכללו פתרונות מלאים, וזאת על מנת שאוכל לכוון את החידות שלא יהיו קשות מדי, אך עדיין מספיק מאתגרות.

לחידות המוצגות בגיליון זה יפורסמו רמזים בגיליון הבא ופתרונות מלאים בזה שלאחריו. נשמח לקבל את פתרונותיכם באמצעות המקום המיועד לכך בתחתית העמוד עד 28.7.2015 , אנא ציינו את שמכם, היישוב בו אתם גרים, שם ביה”ס שלכם והכיתה בה אתם לומדים. בגיליון הבא יפורסמו שמות הפותרים נכונה, וכן יובאו פתרונות יפים שייכתבו על ידכם.

חידה 1 –חלוקת משולש קהה זווית למשולשים חדי זווית?
האם ניתן לחלק כל משולש קהה זווית למספר סופי של משולשים חדי זווית (שכל זוויותיהם קטנות מ-90 מעלות)?
אם כן יש להראות את שיטת החלוקה, אם לא יש להוכיח שזה בלתי אפשרי.
חידה 2–51 מספרים?
הראו כי בכל קבוצה של 51 מספרים טבעיים, קיימים שני מספרים שסכומם או הפרשם מתחלק ב 99 ללא שארית.
חידה 3–האם הנמלים יישארו על המקל?
100 נמלים מפוזרות באפן שרירותי על מקל באורך 5 מטר. חלקן פונות ימינה וחלקן שמאלה. כל נמלה נעה במהירות קבועה של 1 ס”מ לשנייה. כששתי נמלים נפגשות הן הופכות את כוון תנועתן וממשיכות לנוע בכוון ההפוך במהירות של 1 ס”מ לשנייה. נמלה שמגיעה לקצה המקל, נופלת ואינה יכולה לחזור למקל.
האם בסופו של דבר כל הנמלים יפלו מהמקל? ואם כן מהו הזמן המקסימלי שעדיין יוכלו להישאר נמלים על המקל?

1_7

רמזים לחידות מגיליון יוני 2015

חידה 1 –מתי יפגשו הכלבים?
שימו לב לסימטריה. מה תוכלו לאמר על מיקומם היחסי של ארבעת הכלבים בכל נקודת זמן.

חידה 2 –האם נתן לצבוע בשני צבעים?
נתן לצבוע בשני צבעים ההוכחה באינדוקציה.

חידה 3 –בכמה מספרים מופיעה הספרה אחד?
חשבו איזה חלק מהמספרים מכיל רק את הספרות 2,3,4,5,6,7,8,9,0 בספרה הראשונה? איזה חלק מכיל אותם בשתי ספרות וכן הלאה..

פתרון החידות גיליון מאי 2015

חידה 1 –משולשים מחלקים משולש?

שימו לב שהשרטוט המוצג בתחילת החידה הוא השלכה של פרימידה תלת מימדית, הצורה המבוקשת בחידה היא השלכה של עשרימון (icosahedron) גוף משוכלל הבנוי מ 20 משולשים שווי צלעות.

2_7

השרטוט הבא הינו השלכה על המישור, של העשרימון. כדי לבצע את ההשלכה מניחים את העשרימון על המישור (אחד המשולשים נמצא במישור) ומנקודה הנמצאת מעל, וסמוך למרכז המשולש המקביל למשולש הנמצא במישור, מותחים קווים ישרים דרך כל קדקודי העשרימון, וכך מסמנים את הטלי כל הקדקודים. היטלו של המשולש העליון, הוא המשולש החיצוני שאותו מחלקים בחידה, והיטלי 19 הפאות הנוספות הם 19 המשולשים ש”מחלקים” את המשולש החיצוני. בכל קדקוד נפגשים בדיוק 5 מקצועות.

3_7

נראה כי אי אפשר לחלק משולש בצורה המבוקשת עבור יותר מ – 19 משולשים.

הוכחה: לצורך ההוכחה נניח כי גם סופרים במניין המשולשים את המשולש החיצוני ABC. כלומר במקרה שלנו מספר המשולשים הוא 20 מספר המקצועות הוא 30 ומספר הקדקודים 12. לכל גרף מישורי קשור נכונה נוסחת אוילר V+F-E=2 כאשר V הוא מספר הקדקודים (במקרה שלנו 12), F מספר הפאות (במקרה שלנו 20 משולשים) ו-E הוא מספר המקצועות (במקרה שלנו 30). לנוסחה זו מספר הוכחות, הפשוטה שבהן היא ע”י הקטנה של מספר המקצועות והקדקודים, כאשר בכל שלב נתן להראות שהסכום V+F-E אינו משתנה. (אני משאיר לקוראי לנסות ולהוכיח את הנוסחה, או לקרוא ולהבין את אחת ההוכחות, אחרים יכולים לדלג על ההוכחה המפורטת ולהסתפק בידיעה שזו נוסחה נכונה ומוכחת).

נניח שבכל קדקוד נפגשים בדיוק k מקצועות. מאחר ומדובר במשולשים שלכל אחד שלושה מקצועות הקשר בין מספר המשולשים למספר המקצועות הוא:

 \(F=\frac{E*2}{3}\) הגורם 2 נובע מכך שכל מקצוע שייך לשני משולשים (זה נכון גם לקווים החיצוניים כי גם המשולש ABC נספר).

כמוכן הקשר בין מספר הקדקודים ומספר המקצועות הוא:

\(v=\frac{E*2}{k}\)

נציב קשרים אלו בנוסחת אוילר ונקבל:

\(\frac{E*2}{k}+\frac{E*2}{3}-E=2\)

מכן נחשב את E

\(E=\frac{6*k}{6-k}\)

מנוסחה זו קל לראות כי כדי שמספר המקצועות יהיה חיובי וסופי נדרוש k<6.

במקרה שלנו k=5  המביא ל E=30  ולכן ל- F=20 המתאים לחלוקת המשולש ל 19, לחלוקה למספר גדול יותר לפי התנאים יידרש k  גדול יותר וזה בלתי אפשרי.   הקוראים מוזמנים לבדוק מה קורה עבור המקרים k=2,3,4 .

חידה 2 –מספר בשתי שיטות ספירה?

יהיו ספרות המספר המבוקש x,y,z מרישום ערך המספר המתקבל בשתי שיטות הספירה נקבל:

\(81*x+9*y+z=49*z+7*y+x\)

אחרי העברה בין האגפים וחלוקה ב 2 נקבל:

\(y=24*z-40*x\)

כלומר y מתחלק ב 8, מאחר וזו ספרה גם בשיטת 7 אזי y<7 ולכן y=0

מכאן נקבל: \(3*z=5*x\) משוואה שפתרונה בדרישה x<7 z<7 הוא z=5 x=3.

כלומר בשיטת 7 המספר הוא 503 ובשיטת 9 הוא 305. (בשיטה העשרונית המקובלת המספר הוא 248)

חידה 3 –כמה נורות ידלקו?

כל לחצן ילחץ מספר פעמים כמספר המחלקים שלו. למשל הלחצן מספר 138 מתחלק ב 1,2,3,6,23,46,69,138, ולכן יילחץ 8 פעמים. בד”כ למספר n  מספר מחלקים זוגי כי אם k מחלק את n אז גם n/k מחלק את n . היוצאים מהכלל הם הרבועים השלמים כי אם  \(n=m^2\) אז  \(m=\frac{n}{m}\). כלומר לריבועים השלמים יש מספר מחלקים אי זוגי. למשל מחלקי 100 הם:1,2,4,5,10,20,25,50,100 . יש 31 רבועים שלמים הקטנים מ 1000 ולכן 31 נורות ידלקו בסוף התהליך, כי לחצניהן יילחצו מספר אי זוגי של פעמים.

שם (חובה)

דואר אלקטרוני (חובה)

תשובות לחידות יש להזין כאן:

באפשרותך לשלוח בקובץ מסוג pdf, doc, docx

2 תגובות על חידות

  • מאת דניאל לובזנס‏:

    למי שטרם פתר את החידות, הקיץ לפנינו ויש חודש נוסף לפתרון החידות בגליון זה. אשמח לקבל פתרונות עד ל 26.8.2015. אשמח גם לקבל פתרונות לגליון הקודם (למרות שפורסמו רמזים).
    בהצלחה,
    דני לובזנס

  • מאת משה דוידוביץ‏:

    היי דני. לצערי לא היה לי זמן לשלוח למרות שפתרתי חלק מהחידות.
    אתה עושה עבודה מדהימה. המשך בה. אני מבחינתי אעשה מאמץ להמשיך לשלוח פתרונות.
    בברכה, משה.