חידות

דבר העורך: בחודש שעבר חל “יום הפאי” – כידוע היחס בין הקף המעגל לקוטרו הוא המספר האי-רציונלי פאי \(\pi = 3.1415\dots\dots\) בצורת כתיבת התאריכים האמריקאית \(3/14\) הוא ה \(14\) במרס שזהו יום הולדתו של אלברט איינשטיין ומצוין כיום המדע (ראו ערך).

שתי חידות יעסקו בחלוקת הפאי (במובן של העוגה) והשלישית תעסוק במעגלים.

לחידות המוצגות בגיליון זה יפורסמו רמזים בגיליון הבא ופתרונות מלאים בזה שלאחריו. נשמח לקבל את פתרונותיכם באמצעות המקום המיועד לכך בתחתית העמוד עד 26.4.2015 , אנא ציינו את שמכם, היישוב בו אתם גרים, שם ביה”ס שלכם והכיתה בה אתם לומדים. בגיליון הבא יפורסמו שמות הפותרים נכונה, וכן יובאו פתרונות יפים שייכתבו על ידכם.

חידה 1– איך לחלק את הפאי?

עוגת פאי ניתנת לתיאור ע”י צורה דו ממדית כלשהיא. האם אפשר לחלק אותה ל\(4\)  חלקים שווים בשטחם ע”י שני ישרים הניצבים זה לזה?

 q1_4

חידה 2– איך לחלק את העוגה?

לא תמיד חלוקה של עוגה לשני חלקים שווים בשטחם (לעוגה דו ממדית) או בנפחם/משקלם (לעוגה תלת ממדית) היא חלוקה “צודקת”. לעוגה יכולים להיות חלקים נחשקים יותר (צימוקים, ציפוי שוקולד….) ונחשקים פחות (אזורים שנחרכו…) ולכן קשה לחלקה לשניים בצורה שתבטיח שכל אחד ממקבלי החלקים לא ירגיש מקופח. בכל זאת אפשר לחלק עוגה באופן “צודק” בין שני אנשים בצורה הבאה:

הראשון חותך את עוגה לשני חלקים בצורה הנראית לו “צודקת”, כלומר הוא לא ירגיש מקופח אם יקבל כל אחד מהחלקים. עכשיו נתן לשני לבחור את החלק שהוא רוצה בו, ובכך נבטיח שגם הוא לא ירגיש מקופח ולכן החלוקה תהיה “צודקת”. יש לתת את הדעת לכך שצורה זו של חלוקה מותירה כל צד שמח בחלקו גם העדפותיהם שונות.

איך נתן לחלק עוגה בצורה “צודקת” (במובן זה שאף אחד מהמשתתפים לא ירגיש מקופח) בין שלושה אנשים?

חידה 3– מסלול ?

שני מעגלים, האחד בעל מחצית הרדיוס מהשני, נמצאים אחד בתוך השני, משיקים זה לזה –כמתואר בציור:

 q2_4

 כאשר המעגל הפנימי מתגלגל בלי להחליק בתוך המעגל החיצוני, ומשלים \(2\) סיבובים עד שהוא חוזר למקומו הנוכחי, איך יראה המסלול שתתווה נקודה כלשהיא \(A\)?

  

רמזים לחידות מגיליון מרס 2015

חידה 1– עקומות על תפוחי אדמה? – תארו לעצמכם את שני תפוחי האדמה החותכים אחד את השני.

 חידה 2– מה אורך החוט? –  מצאו קשר כללי בין ארכי צלעות של רבוע שאלכסוניו נצבים – ראו את חידת קידוח הנפט מינואר 2015

 חידה 3– הזיקיות? – חישבו מודולו \(3\).

פתרון החידות גיליון פברואר 2015

חידה 1– סכומים של ספרות

נסתכל על סכום הספרות מ \(0\) עד \(N=999,999\). נראה שאם נסכם זוגות מספרים \(m\)  ו\(N-m\) ,  (\(0\) ו-\(999,999\) ,\(1\) ו-\(999,998\) ,\(2\) ו-\(999,997 \) וכו’) סכום כל זוג הוא \(999,999\) סכום ספרותיו \(9*6=54\). יש \(500,000\) זוגות כאלה ולכן סכום הספרות של המספרים מ\(0\) עד \(999,999\) הוא \(54*500,000=27,000,000\) וסכום הספרות של \(1,000,000\) הוא \(1\) ולכן הסכום המבוקש הוא: 27,000,001.

חידה 2– מרכזי ריבועים על גבי מקבילית

אפשר כמובן להוכיח באמצעות משולשים חופפים כפי שהוצע ברמז. העדפתי להביא פתרון שמסתמך על סימטריה. מעתיקים את הצורה הבסיסית ומשכפלים אותה עוד \(3\) פעמים סביב הרבוע שמרכזו ב\(K\). בשל הסימטריה \(N’L’LN\)  הוא רבוע שמרכזו ב \(K\), ולכן \(KN=KL\) והזווית \(NKL\) היא זווית ישרה (אלכסוני הרבוע נצבים זה לזה, זהים באורכם, וחוצים זה את זה) ולכן \(KLMN \) גם הוא רבוע.

 q3_4

חידה 3– סכום של הופכיים

מאחר ואין ל \(a_i\) גורמים שווים או גדולים מ \(5\) , רק \(2\) ו \(3\) הם הגורמים הראשוניים שלו. כלומר: \(a_i=2^l*3^m\)  כאשר \(0 \le l \le L, 0 \le m \le M\) (הגבול העליון נובע מכך שיש מספר סופי של מספרים \(a_i\))

נסמן באותיות \(A\) ו \(B\) את הסכומים הבאים:

 \(A=\sum\limits_{i=0}^{i=L} \frac{1}{2^i} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots+\frac{1}{2^L}\)

\(B=\sum\limits_{i=0}^{i=M} \frac{1}{3^i} = 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\dots+\frac{1}{3^M}\)

\(A\) ו \(B\) הם סכומים של סדרות הנדסיות וניתן לחשב את ערכן:

\(A=\frac{1-(\frac{1}{2})^{L+1}}{1-(\frac{1}{2})} < \frac{1}{1-(\frac{1}{2})}=2\)

\(B=\frac{1-(\frac{1}{3})^{M+1}}{1-(\frac{1}{3})} < \frac{1}{1-(\frac{1}{3})}=\frac {3}{2}\)

אם נסתכל במכפלה AB נראה כי אחרי פתיחת סוגריים מופיעים בה כל האברים מהצורה : \(\frac{1}{a_i} = \frac {1}{2^l*3^m}\)

כאשר \(a_i=2^l*3^m\)  כאשר \(0 \le l \le L, 0 \le m \le M\). כלומר:

\(S=\sum\limits_{i=0}^{i=n}\frac{1}{a_i} =\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_n}< A*B< 2*\frac{3}{2} = 3\)

מ.ש.ל.

שמות הפותרים נכונה את החידות מגיליון מרץ 2015

משה דוידוביץ’ – חידה 3

רועי סיני מכפר האורנים, כיתה ח’3 בבי”ס אור – כל החידות!

שם (חובה)

דואר אלקטרוני (חובה)

תשובות לחידות יש להזין כאן:

באפשרותך לשלוח בקובץ מסוג pdf, doc, docx

 

7 תגובות על חידות

  • מאת משה דוידוביץ‏:

    היי דני.
    אבקשך לשלוח לי את התשובות ששלחתי לחידות 1 ו-2 לגיליון פברואר ,אם לא קשה לך כי לא שמרתי, כדי שאבין את הטעויות.
    בתודה, משה.
    ד.א. אם כבר שם אז דוידוביץ ולא דווידוביץ.

  • מאת lubzens‏:

    שמות הפותרים נכונה הם לגליון מרס!

  • מאת אוהד שיינפלד‏:

    שלום, תוכל לומר גם לי מה היו הטעויות שלי בפתרונות?
    תודה
    אוהד

  • מאת בבד"ה‏:

    שלום, שלחתי לכם פתרון של בעיה אחת, איך אוכל לדעת אם צדקתי?

  • מאת משה דוידוביץ‏:

    דני,
    במרץ רשמת את הפותרים נכונה בגיליון ינואר.
    האם באפריל לא התכוונת לפברואר?
    האם קיבלת את פתרון חידה 2 לפברואר שלי בשלימותו, כי לא החזרת אותו אלי, ואני רוצה לשלוח את פתרונות 1 ן-3 של אפריל באותו האופן.
    משה.

  • מאת דניאל לובזנס‏:

    כנראה הייתה בעייה לא קבלתי ההפתרונות לגליון אפריל של משה דוידוביץ ולא של בבד”ה. אנא שלחו שנית. מעכשיו אאשר קבלה של כל פתרון. הפתרונות נבדקים לקראת סוף החודש ושמות הפותרים מצוינים בגליון הקרוב. מפורסמים רמזים, ואח”כ פתרונות מלאים. בד”כ הפותר ששגה יוכל לגלות בעצמו היכן טעה עם פרסום הרמזים או התשובות המלאות.
    אם נותרות שאלות, כתבו ישירות ל netgar2014@gmail.com ואענה.
    דני לובזנס

  • מאת אוהד שיינפלד‏:

    אתה יכול להגיד לי בבקשה מה היו הטעויות בפתרונות שלי?