חידות

   דבר העורך:  סוף סוף התחלתי לקבל פתרונות. חלקם מלאים ויפים. יש לתת את הדעת שרק כיוון מחשבה לפתרון, גם אם הוא נכון, לא מספיק. יש להסביר ולהוכיח בצורה הברורה לתלמיד תיכון את הטענות, ואם השאלה היא מספרית יש לחשב את התוצאה.

    לחידות המוצגות בגיליון זה יפורסמו פתרונות בגיליון הבא. נשמח לקבל את פתרונותיכם באמצעות המקום המיועד לכך בתחתית העמוד עד 25.3.2015 , אנא ציינו את שמכם, היישוב בו אתם גרים, שם ביה”ס שלכם והכיתה בה אתם לומדים. בגיליון הבא יפורסמו שמות הפותרים נכונה, וכן יובאו פתרונות יפים שייכתבו על ידכם.

חידה 1– עקומות על תפוחי אדמה?

האם תמיד ניתן לצייר על פני שני תפוחי אדמה שונים, עקומות סגורות כך שעקומה על תפוח אדמה אחד תהייה זהה לגמרי לעקומה על תפוח האדמה השני?

 q1

חידה 2– מה אורך החוט?

תולים תמונה בעזרת שני חוטים, המחוברים לצלע העליונה של המסגרת כמתואר בשרטוט. חוט אחד ארכו \(20\) ס”מ, קטע אחד שלו באורך \(7\) ס”מ והשני באורך \(13\) ס”מ, על מנת שהתמונה תהיה אופקית. החוט השני ארכו הכולל \(30\) ס”מ והוא מחובר למסגרת בדיוק באותן נקודות שבהן מחובר החוט הראשון, והמסמר שעליו הוא תלוי נמצא בדיוק מעל למסמר הראשון. מה אורך הקטעים \(X\) ו \(Y\)?q2

חידה 3– הזיקיות?

בגינה אחת נמצאות \(20\)  זיקיות אדומות, \(18\)  כחולות, ו \(16\)  ירוקות. כששתי זיקיות בנות צבע שונה נפגשות, שתיהן מחליפות את צבען לצבע השלישי (למשל כשזיקית אדומה נפגשת עם ירוקה, שתיהן הופכות לכחולות. אם שתי זיקיות ירוקות נפגשות כלום לא משתנה). האם יתכן שאחרי מספר סופי של מפגשים בין הזיקיות לכל \(54\)  הזיקיות יהיה אותו צבע? אם כן איזה צבע זה יהיה.

 

רמזים לחידות מגיליון פברואר 2015

חידה 1– סכומים של ספרות? – סכמו מ \(0\) עד \(999,999\) , נסו למצוא זוגות עם סכום ספרות קבוע.

 חידה 2– מרכזי ריבועים על גבי מקבילית? –  שרטטו את אלכסוני הרבועים, מצאו משולשים חופפים.

 חידה 3– סכום של הופכיים? – קראו ב”נטגר” מינואר 2015 את מאמרה של אנה ליזהטוב “אינסוף מספרים שסכומם סופי”

פתרון החידות גיליון ינואר 2014

חידה 1– שנת 2015 בפתח

נוכיח את הטענה בנפרד ל \(N\) זוגי ול \(N\) אי-זוגי. נראה של \(1000^N-1\)  קיים גורם שאין ל\(2015^N-1\)  לכן אינו יכול לחלק אותו ללא שארית.

כאשר \(N\) זוגי \(N=2m\). \(1000^N-1=(1000000)^m-1=(1000000-1)(1000000^{m-1}+1000000^{m-2}+\dots+1)\)

\(1000000-1\) מתחלק ב\(13\), אבל \(2015^N-1\) אינו מתחלק ב\(13\) (כי \(155*13=2015\)) .

עבור \(N=2m+1\) . יש לתת את הדעת ש \(2015=9*224-1=9k-1\). בפיתוח הבינומי של \((9k-1)^{2m+1}\) כל האברים מתחלקים ב \(9\) פרט לאחרון שהוא \(-1\)  לכן: \(2015^{2m+1}-1=9*l-1-1=9*l-2\), כלומר במקרה זה \(2015^N-1\) אינו מתחלק ב-\(9\) בעוד \(1000^N-1\) תמיד מתחלק ב\(9\).

 

חידה 2– מקלות הקטורת    –

להלן פתרונו של משה דוידוביץ כלשונו:

נדליק את אחד המקלות משני קצותיו, ואת האחר מקצה אחד. כשהמקל הראשון יישרף לחלוטין, נדע שעברה חצי שעה. נדליק את המקל השני מקצהו האחר. כאשר הוא יישרף לחלוטין נדע שעברה רבע שעה נוספת ובסה”כ שלושת רבעי שעה כמבוקש.

חידה 3– קידוח הנפט

נוכיח כי לכל מלבן \(ABCD\) וכל נקודה במרחב \(O\) מתקיים \(\overline{OA}^2+\overline{OC}^2=\overline{OB}^2+\overline{OD}^2\) (1).

q3

טענה: מספיק להוכיח את המשפט לגבי הנקודה \(O’\) שהיא ההיטל של הנקודה \(O\) על המישור \(ABCD\) .

הוכחת הטענה: עפ”י משפט פיתגורס מתקיימים השוויוניים:

\(\overline{OA}^2=\overline{O ‘A}^2+\overline{OO ‘}^2\)

\(\overline{OB}^2=\overline{O ‘B}^2+\overline{OO ‘}^2\)

\(\overline{OC}^2=\overline{O ‘C}^2+\overline{OO ‘}^2\)

\(\overline{OA}^2=\overline{O ‘A}^2+\overline{OO ‘}^2\)

לכן המשוואה: \(\overline{O ‘A}^2+\overline{O ‘C}^2=\overline{O ‘B}^2+\overline{O ‘D}^2\) (2) מתקיימת אם ורק אם מתקיימת המשוואה (1).

את (2) קל להוכיח ע”י שימוש במשפט פיתגורס במשולשים ישרי זווית הנוצרים מהעברת קוים המקבילים לצלעות המלבן דרך \(O’\).

בחרתי להציג הוכחה יותר אלגנטית לדעתי, נסתכל על נקודה \(O\) כלשהיא על גבי כדור החוסם את המלבן \(ABCD\) ומרכזו \(M\) מרכז המלבן (נקודת חיתוך אלכסוניו). המשולשים \(AOC\) ו \(BOD\) הם ישרי זווית כי הנקודה \(O\) בנויה על הקף מעגל שאלכסון המלבן הוא קוטרו.

לכן עפי משפט פיתגורס:

\(\overline{OA}^2+\overline{OC}^2=\overline{AC}^2\)
\(\overline{OB}^2+\overline{OD}^2=\overline{BD}^2\)

מאחר והאלכסונים במלבן הם בעלי אותו אורך: \(\overline{OA}^2+\overline{OC}^2=\overline{OB}^2+\overline{OD}^2\)

ובעזרת הטענה הקודמת: \(\overline{O ‘A}^2+\overline{O ‘C}^2=\overline{O ‘B}^2+\overline{O ‘D}^2\) .

יש לתת את הדעת שההוכחה נכונה לנקודה \(O’\) בתוך המלבן אבל בקלות ניתן להכלילה לנקודה \(O”\) מחוץ למלבן כפי שניתן להדגמה על ידי שני האיורים הבאים:

q4

באיורים הנקודה \(O”\) מחוץ למלבן \(ABCD\), אבל בתוך מלבנים גדולים יותר (\(AB’C’D\) ו- \(AB’C’D’\)), עם אותם ארכי קטעים לקדקדים.

מכאן קל לחשב את המרחק המבוקש:

\(X=\sqrt{4700^2+3200^2-5200^2}=2300\)

שמות הפותרים נכונה את החידות מגיליון פברואר 2015

עומר שמחי, כתה י”ב אורט טבעון – חידה 2

תומר – חידה 1

משה דווידוביץ – חידה 2

אוהד שיינפלד –חידה 2

שם (חובה)

דואר אלקטרוני (חובה)

תשובות לחידות יש להזין כאן:

באפשרותך לשלוח בקובץ מסוג pdf, doc, docx

 

9 תגובות על חידות

  • מאת עומר שמחי‏:

    שלחתי גם פתרון לחידה מספר 3- לא קיבלתם??

    • מאת lubzens‏:

      קבלתי את פתרונך, הרעיון הבסיסי היה נכון. אבל, בפתרון היו שגיאות, אשלח לך הסבר בדוא”ל.
      תודה על השתתפותך,
      דני לובזנס

    • מאת lubzens‏:

      קבלנו את הפתרון, הרעיון הבסיסי היה נכון. אב הפתרון בכללותו שגוי. אשלח בהקדם דוא”ל עם הסבר מפורט.
      תודה על השתתפותך,
      דני לובזנס

  • מאת יוסי‏:

    אבדוק זאת עומר

  • מאת רועי סיני‏:

    אני לא מצליח לשלוח את התשובות לחידות

  • מאת יוסי כהן‏:

    תשלח אלי ואני אעביר לעורך tzometx@gmail.com

  • מאת יוסי כהן‏:

    בדקתי עכשיו והצלחתי אולי תנסה ממחשב אחר או דפדפן אחר?

  • מאת משה דוידוביץ‏:

    לגבי שאלה 1.
    באינטואיציה התשובה היא כן. צריך להראות שקיימת לפחות אחת כזו.
    נוכל לבחור כל שתי נקודות ע”פ שני תפוחי האדמה. להקטין את השטח סביבן כך ש”עוביו” “ישאף” למישור. נבחר את השטח המשותף בין שתי הנקודות, ונוכל לשרטט בו שתי עקומות שיתקרבו אחת לשנייה, עד כמה שנרצה.
    ברור שזו אינה הוכחה מתמטית. המושגים זקוקים להגדרה מדויקת, וכך גם יתרת ההוכחה.
    נראה לי שהתשובה לשאלה היא אחרת . אשמח לתגובתך.

  • מאת lubzens‏:

    שתי הערות על נסיונך לפתור:
    1. העקומה אינה חיבת להיות מישורית
    2. העקומה צריכה להיות סופית ובתהליך שהצעת גודלה עלול לשאוף ל-0

    בגליון הקרוב יהיה רמז – ופתרון מלא בזה שלאחריו.

    תודה על התיחסותך לבעיה,
    דני לובזנס