חידות

   דבר העורך:  לצערי עדיין מעטים מכם שולחים פתרונות. עד עכשיו הגיע רק פתרון נכון אחד, לחידה \(2\) בגיליון ינואר, וגם פותרה מעדיף ששמו לא יפורסם. על מנת שהחידות תהינה בתחום המעניין אתכם (לא קשות מדי, כדי שתצליחו לפתור, אבל מספיק מאתגרות כדי שתהינו מפתרונן), אודה גם לתגובות (ולאו דווקא פתרונות) בטופס שבתחתית העמוד.

    לחידות המוצגות בגיליון זה יפורסמו פתרונות בגיליון הבא. נשמח לקבל את פתרונותיכם באמצעות המקום המיועד לכך בתחתית העמוד עד 23.2.2015 , אנא ציינו את שמכם, היישוב בו אתם גרים, שם ביה”ס שלכם והכיתה בה אתם לומדים. בגיליון הבא יפורסמו שמות הפותרים נכונה, וכן יובאו פתרונות יפים שייכתבו על ידכם.

 חידה 1– סכומים של ספרות?

קל לחשב את סכומם של מספרים עוקבים (למשל מ \(1\) עד \(10\) הסכום הוא \(55\)), קשה יותר לחשב את סכום הספרות שלהם (סכום הספרות של המספרים מ \(1\) עד \(10\)  הוא \(46\) ). התוכלו לחשב את סכום הספרות של המספרים מ \(1\)  עד \(1,000,000\) ?

 
חידה 2
– מרכזי ריבועים על גבי מקבילית?

נתונה מקבילית \(ABCD\) על כל אחת מצלעותיה בונים ריבוע כלפי חוץ, כמתואר בשרטוט. יש להוכיח כי מרכזי הריבועים \(K,L,M,N\)  נמצאים על קדקודיו של ריבוע.

quiz1

חידה 3– סכום של הופכיים?

נתונים \(n\) מספרים טבעיים, שונים זה מזה \(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n\), כאשר ידוע שלאף אחד מהמספרים \(a_i\) אין אף גורם ראשוני גדול או שווה ל \(5\).

יש להוכיח כי סכום ההופכיים שלהם קטן מ \(3\).

\(s=\sum\limits_{i=1}^{i=n} \frac{1}{a_i}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_n}<3\)

רמזים לחידות מגיליון ינואר 2015

חידה 1– שנת 2015 בפתח  – בדקו האם המספרים מתחלקים, ללא שארית, ב-\(13\) וב- \(9\) .

 חידה 2– מקלות הקטורת    – לכל מקל יש שני קצוות. יש לתת את הדעת שאי אפשר לסמוך על זמני הבעירה של הגפרורים, הם אינם קבועים.

 חידה 3– קידוח הנפט – הראו כי בכל מלבן ניתן לחשב את המרחק מנקודה כלשהיא במישור לאחד מקדקודיו אם ידועים המרחקים לשאר הקדקודים (זאת בלי תלות בממדי המלבן) – הכלילו התוצאה לנקודה כלשהיא במרחב.

פתרון החידות גיליון דצמבר 2014

 חידה 1– היכן המטבעות המזויפים?

לוקחים מטבע \(1\) מערמה מס’ \(2,1\) מטבעות מערמה מס’ \(9,\dots,2\) מטבעות מערמה מס’ \(9\). אילו כל המטבעות היו אמתיים משקלם הכולל היה \(45*7 = 315\) גרם. אם בערמה מס’ \(n\) יש מטבעות מזויפים המשקל הכולל יפחת   ב-\(n\) גרם. כלומר מספיקה שקילה אחת לגילוי ערמת המטבעות המזויפים.

 כאשר יש רק \(3\) מטבעות בכל ערמה, מחלקים את הערמות ל \(3\) קבוצות בכך אחת \(3\) ערמות :

קבוצה \(1\) – ערמות \(1,2,3\)

קבוצה \(2\) – ערמות \(4,5,6\)

קבוצה \(3\) – ערמות \(7,8,9\)

שוקלים מטבע אחד מכל אחת מהערמות שבקבוצה \(2,1\) מטבעות מכל אחת מהערמות בקבוצה \(2\), ו \(3\) מטבעות מקבוצה \(3\). סה”כ \(1*3+2*3+3*3=18\) מטבעות, אילו כולם היו אמתיים משקלם יהיה \(126\) גרם. המשקל הכולל יפחת ב- \(n\) גרם אם ערימת המטבעות המזויפים שייכת לקבוצה \(n\). עכשיו מתוך \(3\) ערמות המטבעות בקבוצה \(n\) לוקחים מטבע אחד מהערמה הראשונה \(2\) מטבעות מהשנייה ו \(3\) מטבעות מהשלישית, סה”כ \(6\) מטבעות שמשקלם, אילו כולם אמתיים יהיה \(42\) גרם. המשקל הכולל יפחת ב \(1,2\) , או \(3\) גרם בהתאם למספר המטבעות שנלקחו מכל אחת מהערמות. כלומר שבמקרה זה נדרשות שתי שקילות לגילוי ערמת המטבעות המזויפים.

חידה 2– הקוסם

נסמן ב \(X\) את המספר שחשבנו עליו וב \(A\) את הערך המחושב שנמסר ל”קוסם” . כמו כן נסמן ב-\(S_x\) את סכום הספרות של \(X\) , ואת השארית בחלוקה ב \(9\) של מספר כל שהוא  \(y\)   ב \(R(y)\)   (בסימונים המקובלים: \(R(y)= R MOD 9\)).

קל לראות כי אם נסכם את כל \(6\) המספרים המתקבלים מתמורות של ספרות \(X\) התוצאה תהיה \(222*S_x\) מאחר ולחישוב \(A\) לא מסכמים את \(X\) הרי ש: \((*)A=222*S_x-X\) , ברור שידיעת \(S_x\) תיתן לנו תשובה לבעיה.

קל לראות מ\((*)\) כי \(\frac{A}{222}<S_x\le\frac{A}{222}+\frac{X}{222}\) ומאחר ו- \(\frac{A}{222}<S_x<\frac{A}{222}+5, X<1000\), כלומר הערך של \(S_x\) מוגבל ל-\(6\) אפשרויות בלבד, ואם נדע מה השארית שלו בחלוקה ל \(9\) נוכל לקבוע את ערכו.

נכתוב את משוואה \((*)\) בערכי שאריות מ\(9\) ונקבל

\(R(A)=R(222)*R(S_x)-R(X) = 6*R(S_x)-R(S_x)=5*R(S_x)\)

ולכן : \(R(S_x)=R(2*R(A))\)

כלומר ה”קוסם” לוקח את המספר \(A\) מוצא את השארית בחלקה ב\(9\) (זה פשוט,  ע”י סיכום הספרות) מכפיל ב \(2\) ומוצא את השארית של \(S_x\) בחלוקה ב \(9\) .

אח”כ מחלק את \(A\) ב \(222\) ומעגל כלפי מעלה למספר שהשארית שלו בחלוקה ב\(9\) זהה למה שחשב קודם, וזה יהיה \(S_x\). ומכאן:\(X=222*S_x-A\). מאחר והשיטה שלנו מחשבת באופן חד ערכי את \(X\) מ\(A\) ברור כי מהרמז ניתן לחשב את המספר המקורי והתשובה היא יחידה.

דוגמא:

נאמר כי הרמז הוא \(A=3095\).

מאחר והשארית של \(A\) בחלוקה ל \(9\) היא \(8\), השארית בחלוקה ל \(9\)  של היא 7 . (\(8*2 MOD 9=16 MOD 9=7\))

הכפולה הקטנה ביותר של \(222\) הגדולה מ \(A\) היא \(14\) (שארית \(5\)  בחלוקה ב \(9\)) ולכן המספר הקטן ביותר הגדול ממנה ששאריתו בחלוקה ל \(9\) היא \(7\)  יהיה \(16\)

ולכן: \(X=222*16-3095=457\)

כל מה שה”קוסם” צריך לדעת זה להכפיל ולחלק ב – \(222\) (ולכן רצוי שישנן את לוח הכפל של \(222\) מ \(222*1\) עד\(222*27\)) וכמובן לחבר ולחסר מספרים בני \(4\)  ספרות. אני בטוח שכל אחד מכם יוכל לאחר אמון קצר להציג “קסם” זה.

חידה 3 – ניסור קובייה

תנו דעתכם על הקובייה הקטנה המרכזית. יש לה \(6\) דפנות שכל אחת מהן צריך להפריד בניסור אחד משכנתה, סה”כ \(6\) צעדי ניסור. ולכן \(6\) הוא מספר צעדי הניסור המינימלי במקרה זה.

quiz2

לגבי קובייה של \(4*4*4\) אפשר לחלק אותה ל \(2\) בכל אחד מהמישורים הראשיים ע”י \(3\) צעדי ניסור ולקבל \(8\) קוביות של \(2*2*2\). ניתן להציב \(8\) קוביות אלו זו על גבי זו וב \(2\) צעדי ניסור להפריד כל אחת ל \(4\) תיבת של \(2*1*1\), סה”כ \(32\) תיבות. נציב אותן זו על גבי זו ובניסור נוסף נחלק כל אחת ל\(2\) קוביות קטנות. סה”כ \(6\)  צעדי ניסור, כמובן שאי אפשר בפחות כי גם כאן יש קוביות פנימיות כמו במקרה הקודם.

חידה 4 – החשמלאי במגדל

נראה שניתן לפתור את הבעיה בעליה אחת וירידה אחת.

נתחיל במקרה בו מספר החוטים אי זוגי \(n=2m+1\). החשמלאי יסמן את קצות החוטים בסימון \(b_1,b_2,b_3,\dots,b_n\)

הקצה \(b_1\) לא יחובר ואילו שאר הקצוות יחוברו בזוגות: כל קצה חוט \(b_{2i}\) יחובר לקצה חוט \(b_{2i+1}\).

החשמלאי יעלה לקומת הגג של המגדל, שם בעזרת בדיקת רציפות חשמלית בין כל הזוגות ימצא את החוט הבודד שאינו מחובר לאף אחד אחר ויסמנו במספר \(1\). אח”כ יסמן קצה חוט כל שהוא במספר \(2\) ואת החוט המחובר אליו חשמלית ב-\(3\) וימשיך יסמן את שאר החוטים במספרים \(4\) עד \(n\)    כאשר תמיד המספר \(2i+1\) יינתן לקצה המחובר חשמלית לקצה חוט מספר \(2i\). החשמלאי יחבר חשמלית בקומת הגג את זוגות החוטים
\(2i\) ו \(2i-1\).

(כלומר קצה \(1\) לקצה \(3,2\) ל-\(4\) וכן הלאה)

באיור המצורף מובא המקרה של \(7\) חוטים, הקווים האדומים מראים את החיבורים החשמליים בקומת הקרקע והירוקים בקומת הגג.quiz3

החשמלאי יורד לקומת הקרקע, ושם מסמן את קצה החוט \(b_1\) במספר \(1\). מפרק את כל החיבורים החשמליים (אחרת כל החוטים יהיו מחוברים זה אל זה). החשמלאי מוצא מי מחובר לקצה \(1\) ומסמן אותו במספר \(2\) ואילו את בן זוגו (בן זוגו של הקצה שסומן ב\(b_j\)  הוא \(b_{j+1}\) אם \(j\)  זוגי, ו-\(b_{j-1}\)  אם \(j\)  אי-זוגי) במספר \(3\). וממשיך באותה דרך, הקצה שמחובר חשמלית למספר \(3\) הוא מספר \(4\) ובן זוגו הוא מספר \(5\), וכן הלאה.

במקרה שמספר חוטים זוגי: \(n=2m+2\), החשמלאי בקומת הקרקע מסמן את החוטים כמו קודם ומחבר חשמלית את הקצוות כמו במקרה האי זוגי כך שהקצוות \(b_1\) ו\(b_n\)  אינם מחוברים. החשמלאי עולה לקומת הגג ומאתר את \(2\) קצות החוט שאינם מחוברים חשמלית לאף קצה אחר, אחד מהם הוא מסמן במספר \(1\) ואת השני במספר \(n\). החשמלאי ממשיך בסימונים ובחיבורים כמו במקרה האי-זוגי. החשמלאי יורד לקומת הקרקע שם הוא בודק את הקצוות \(b_1\) ו\(b_n\) ומוצא מי מהם אינו מחובר לשאר הקצוות אותו הוא מסמן ב \(n\) , ואת האחר במספר \(1\),וממשיך בבדיקות ובסימונים כמו במקרה האי-זוגי.

חידה יפה זו פורסמה ע”י (Martin Gardner (1914-2010  שהיה ממחברי החידות המתמטיות היותר פוריים ויצירתיים, במדור החידות שלו בירחון Scientific American   לפני יותר מ \(50\) שנים – ישנן עוד שיטות לפתרון הדורש עליה וירידה אחת מהחשמלאי, אבל פתרון זה הוא האלגנטי ביותר.

שם (חובה)

דואר אלקטרוני (חובה)

תשובות לחידות יש להזין כאן:

באפשרותך לשלוח בקובץ מסוג pdf, doc, docx