חידות – גיליון 1

  1. אדם בגובה נתון עומד זקוף מול מראה במימדים נתונים. באיזה מרחק עליו לעמוד, על מנת שיוכל לראות במראה את כפות הרגליים?
  2. רון משחק בשלושה מטבעות שמונחים על השולחן. בכל שלב הוא מותח שער דמיוני בין שניים מהמטבעות, ומעביר דרכו את המטבע השלישי. האם יוכל בשבעה צעדים בדיוק להחזיר כל מטבע למקומו המקורי?
  3. לשני שחקנים לוח שחמט ואבני דומינו, שכל אחת מהן בגודל המתאים לכסות שתי משבצות בדיוק בלוח השחמט. בתחילה הלוח ריק, וכל שחקן בתורו מכסה באבן דומינו אחת שתי משבצות סמוכות שעוד לא כוסו. השחקן שבתורו לא נותר מקום להניח אבן דומינו נוספת מפסיד במשחק. מי מבין שני השחקנים, הראשון או השני, יכול להבטיח את נצחונו?
  4. כעת משחקים שני השחקנים במשחק אחר — בתחילה אין על לוח השחמט אבני דומינו, והשחקן הראשון בוחר במשבצת. על השחקן השני לכסות את המשבצת שאותה בחר השחקן הראשון באבן דומינו, יחד עם אחת מהמשבצות הסמוכות לה. בשלב הבא על השחקן הראשון לבחור משבצת נוספת שעוד לא כוסתה באבן דומינו, ועל השחקן השני לכסות גם אותה. כך ממשיך המשחק, עד שלאחד השחקנים אין מהלך חוקי — או שמגיע תור השחקן הראשון והלוח מלא, או שהגיע תורו של השחקן השני, וכל המשבצות שסמוכות לזו שבחר הראשון כבר מכוסות. השחקן שלא יכול לשחק הוא המפסיד. איזה מבין שני השחקנים יכול להבטיח את נצחונו במשחק זה?
  5. נתונים שלושה מספרים ממשיים \({x,y,z}\) בקטע \({\left(0,1\right)}\). הראו כי לפחות אחד מבין המספרים \({x\left(1-y\right),\, y\left(1-z\right),\, z\left(1-x\right)}\) קטן או שווה \({\frac{1}{4}}\).
  6. נסתכל על קבוצות של מספרים בין \({1}\) ל-\({n}\) בעלות ממוצע שלם. עבור \({n}\) זוגי, האם מספר הקבוצות האלה זוגי או אי-זוגי?
  7. עבור איזו כמות של מספרים ממשיים בין \({1}\) ל-\({2013}\) מובטח ששלושה מתוכם יהיו אורכי צלעותיו של משולש חד זווית?
  8. הראו שקיים קבוע \({\alpha}\) כך שלכל פולינום \({p\left(x\right)}\) ממעלה \({100}\), מתקיים ש- \({\left|p\left(0\right)\right|\le\alpha\int_{0}^{1}\left|p\left(x\right)\right|\mbox{d}x}\).
  9. נתון משולש \({ABC}\), ושלוש נקודות על צלעותיו — \({D}\) על הצלע \({AB}\), \({E}\) על הצלע \({BC}\) ו\({F}\) על הצלע \({AC}\). המשולש \({DEF}\) הוא משולש שווה צלעות, ואורכי הקטעים \({AD}\), \({BE}\) ו\({CF}\) שווים זה לזה. הוכיחו ש\({ABC}\) גם הוא משולש שווה צלעות.
  10. ניב ואורה משחקים במשחק. בכל סיבוב על שניהם לנחש תוצאת הטלה של מטבע הוגן, אחרי כן מטילים את המטבע, וניב ואורה מקבלים נקודה אם שני הניחושים היו נכונים. כך המשחק נמשך, כאשר ניב ואורה יודעים בסוף כל סיבוב מה כל אחד ניחש ומה היתה תוצאת ההטלה, אך אין להם יכולת לתקשר זה עם זה מרגע שהמשחק החל. ניב יכול להסתמך בניחושים שלו רק על מה שלמד בסיבובים הקודמים, בהתאם לסיכום שעשה עם אורה לפני תחילת המשחק. לאורה, לעומת זאת, יש יכולת ניבואית — רגע לפני שהמשחק מתחיל היא יכולה לגלות את כל תוצאות ההטלות שיתקבלו. לפני המשחק, כאשר אורה וניב מתאמים כיצד לפעול, הם יודעים על יכולתה הניבואית של אורה, אבל היא עוד לא יכולה לגלות את תוצאות ההטלות העתידיות. נסו להציע אסטרטגיה, שבה מספר הנקודות הממוצע שיקבלו ניב ואורה אחרי מספר רב של מהלכים יהיה כמה שיותר גדול.

שם (חובה)

דואר אלקטרוני (חובה)

תשובות לחידות יש להזין כאן:

באפשרותך לשלוח בקובץ מסוג pdf, doc, docx

2 תגובות על חידות – גיליון 1

  • מאת אופיר ספקטור‏:

    לגבי חידה 9, התלבטתי בה רבות, וטרם פתרתי. אשמח לראות פתרון שלה.
    חידה יפה וקשה לא פחות שכן פתרתי, מתוך ספר “גיאומטריה של המישור – מהדורה מורחבת” של בני גורן – עמוד 282 תרגיל 57 (**).

  • מאת עידו‏:

    תוכל לםרסם את הפתרון לחידה שציינת אופיר?