חידות – גיליון 2

חידות מגיליון פברואר שעדיין לא נפתרו (1,2,4,6,9,10) בהתאמה:

  1. אדם בגובה נתון עומד זקוף מול מראה במימדים נתונים. באיזה מרחק עליו לעמוד, על מנת שיוכל לראות במראה את כפות הרגליים?
  2. רון משחק בשלושה מטבעות שמונחים על השולחן. בכל שלב הוא מותח שער דמיוני בין שניים מהמטבעות, ומעביר דרכו את המטבע השלישי. האם יוכל בשבעה צעדים בדיוק להחזיר כל מטבע למקומו המקורי?
  3. כעת משחקים שני השחקנים במשחק אחר — בתחילה אין על לוח השחמט אבני דומינו, והשחקן הראשון בוחר במשבצת. על השחקן השני לכסות את המשבצת שאותה בחר השחקן הראשון באבן דומינו, יחד עם אחת מהמשבצות הסמוכות לה. בשלב הבא על השחקן הראשון לבחור משבצת נוספת שעוד לא כוסתה באבן דומינו, ועל השחקן השני לכסות גם אותה. כך ממשיך המשחק, עד שלאחד השחקנים אין מהלך חוקי — או שמגיע תור השחקן הראשון והלוח מלא, או שהגיע תורו של השחקן השני, וכל המשבצות שסמוכות לזו שבחר הראשון כבר מכוסות. השחקן שלא יכול לשחק הוא המפסיד. איזה מבין שני השחקנים יכול להבטיח את נצחונו במשחק זה?
  4. נסתכל על קבוצות של מספרים בין \({1}\) ל-\({n}\) בעלות ממוצע שלם. עבור \({n}\) זוגי, האם מספר הקבוצות האלה זוגי או אי-זוגי?
  5. נתון משולש \({ABC}\), ושלוש נקודות על צלעותיו — \({D}\) על הצלע \({AB}\), \({E}\) על הצלע \({BC}\) ו\({F}\) על הצלע \({AC}\). המשולש \({DEF}\) הוא משולש שווה צלעות, ואורכי הקטעים \({AD}\), \({BE}\) ו\({CF}\) שווים זה לזה. הוכיחו ש\({ABC}\) גם הוא משולש שווה צלעות.
  6. ניב ואורה משחקים במשחק. בכל סיבוב על שניהם לנחש תוצאת הטלה של מטבע הוגן, אחרי כן מטילים את המטבע, וניב ואורה מקבלים נקודה אם שני הניחושים היו נכונים. כך המשחק נמשך, כאשר ניב ואורה יודעים בסוף כל סיבוב מה כל אחד ניחש ומה היתה תוצאת ההטלה, אך אין להם יכולת לתקשר זה עם זה מרגע שהמשחק החל. ניב יכול להסתמך בניחושים שלו רק על מה שלמד בסיבובים הקודמים, בהתאם לסיכום שעשה עם אורה לפני תחילת המשחק. לאורה, לעומת זאת, יש יכולת ניבואית — רגע לפני שהמשחק מתחיל היא יכולה לגלות את כל תוצאות ההטלות שיתקבלו. לפני המשחק, כאשר אורה וניב מתאמים כיצד לפעול, הם יודעים על יכולתה הניבואית של אורה, אבל היא עוד לא יכולה לגלות את תוצאות ההטלות העתידיות. נסו להציע אסטרטגיה, שבה מספר הנקודות הממוצע שיקבלו ניב ואורה אחרי מספר רב של מהלכים יהיה כמה שיותר גדול.

חידות נוספות לגליון מרץ:

  1. כדי להרכיב שרשרת, ניתן להשתמש בחרוזים אדומים, ירוקים ולבנים שמסודרים במעגל. כמה שרשראות באורך של שבעה חרוזים ניתן להרכיב? שימו לב לא לספור פעמיים שרשראות שנבדלות זו מזו רק בסיבוב.
  2. לשלושה מספרים \({a,b,c}\), הראו שאם \({a+b+c}\) מתחלק ב \({6}\) גם \({a^{3}+b^{3}+c^{3}}\) מתחלק ב \({6}\).
  3. מטילים קוביה הוגנת עד שסכום תוצאות ההטלה גדול או שווה \({n}\) . מה הסיכוי שסכום ההטלות בסוף שווה בדיוק ל \({n}\) , בגבול שבו \({n}\) מאוד גדול?
  4. נתונים שני מספרים אי רציונלים חיוביים \({\alpha}\) ו \({\beta}\) , כך ש \({\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=1}\) . נסתכל על הערך השלם התחתון של הכפולות הטבעיות של \({\alpha}\) ושל \({\beta}\) , כלומר המספרים מהצורה \({\left\lfloor n\cdot\alpha\right\rfloor }\) ו \({\left\lfloor n\cdot\beta\right\rfloor }\) , ל \({n}\) טבעי. הראו כי בצורה זו מתקבלים כל המספרים הטבעיים, וכל אחד מהם מתקבל פעם אחת בלבד.

פתרונות לגיליון פברואר, ברכות לעמרי שמחי שפתר נכון את שאלה 5:

3.  השחקן השני יכול להבטיח את נצחונו. לכל מהלך של השחקן הראשון, השחקן השני יגיב במהלך סימטרי — הוא יסתכל על שתי המשבצות שמילא השחקן הראשון, וימלא את שתי המשבצות שנמצאות במרחק שווה ממרכז הלוח ובכיוון ההפוך. היות שאין חפיפה בין שתי משבצות סמוכות לשתי המשבצות הסימטריות, והלוח נשאר סימטרי אחרי כל מהלך של השחקן השני, תמיד השחקן השני יוכל להניח אבן דומינו, וכך מובטח שינצח.
5.  קודם כל, נשים לב שמתקיים \({x\left(1-x\right)\le\frac{1}{4}}\) : הפונקציה \({f\left(x\right)=x\left(1-x\right)}\) היא פרבולה עם נקודת מקסימום ב \({\frac{1}{2}}\) שבה מתקבל הערך \({\frac{1}{4}}\) . לכן גם \({y\left(1-y\right)}\) ו \({z\left(1-z\right)}\) קטנים או שווים \({\frac{1}{4}}\) . אם כך, מכפלת שלושת המספרים:

\(\displaystyle x\left(1-y\right)\cdot y\left(1-z\right)\cdot z\left(1-x\right)=x\left(1-x\right)\cdot y\left(1-y\right)\cdot z\left(1-z\right)\le\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}, \)

לכן הממוצע ההנדסי שלהם קטן או שווה \({\frac{1}{4}}\) , ואם כך לפחות אחד מהם קטן או שווה \({\frac{1}{4}}\).

7. התשובה היא \({33}\). נסתכל על \({m}\) מספרים בין \({1}\) ל \({2013}\) , ונסדר אותם בסדר עולה \({x_{1}\le x_{2}\le\dots\le x_{m}}\) . אם שלושה מספרים הם צלעות של משולש חד זווית, יהיו שלושה מספרים כאלה עם אינדקסים עוקבים — אם מקטינים במשולש ישר זווית את הצלע הגדולה )כך שתישאר הצלע הגדולה( ומגדילים את הצלע הקטנה )כך שתישאר הצלע הקטנה( הוא נשאר משולש חד זווית. התנאי על המספרים \({x_{i},x_{i+1},x_{i+2}}\) שיהיו צלעות של משולש שאינו חד זווית הוא \({x_{i}^{2}+x_{i+1}^{2}\le x_{i+2}^{2}}\) — הצלע הגדולה גדולה לפחות כמו יתר של משולש ישר זווית מתאים. לכן כדי שלא יהיו שלושה מספרים שהם צלעות של משולש חד זווית, הסדרה \({x_{1}^{2},x_{2}^{2},\dots,x_{m}^{2}}\) צריכה להיות גדולה מסדרת פיבונאצ’י \({F_{n}}\) . אבל המספר האחרון \({x_{m}^{2}\le2013^{2}}\) , והיות ש \({F_{33}<2013^{2}}\) ו \({F_{34}>2013^{2}}\) , אם \({m>33}\) הסדרה לא יכולה להיות גדולה מסדרת פיבונאצ’י, וחייבים להיות שלושה מספרים שהם צלעותיו של משולש חד זווית.

8. נראה שקיים \({\alpha}\) , כך שלכל פולינום \({p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+\dots+a_{100}x^{100}}\) מתקיים \({\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\dots+\left|a_{100}\right|\le\alpha\int_{0}^{1}\left|p\left(x\right)\right|\mbox{d}x}\) . היות ש \({p\left(0\right)=a_{0}}\) , ודאי יתקיים גם \({\left|p\left(0\right)\right|\le\alpha\int_{0}^{1}\left|p\left(x\right)\right|\mbox{d}x}\) . בגלל הערך המוחלט, ניתן להניח בלי הגבלת הכלליות ש \({a_{0}\ge0}\) )אחרת, נהפוך את כל המקדמים ונקבל אותה תוצאה(. אם כך, נסתכל על הפולינומים שעבורם \({\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\dots+\left|a_{100}\right|=1}\) , ונמצא את הפולימום שעבורו \({\int_{0}^{1}\left|p\left(x\right)\right|\mbox{d}x}\) מינימלי. ניתן למצוא את מקדמיו כמינימום של הפונקציה:
\(\displaystyle g\left(a_{1},\dots,a_{100}\right)=\int_{0}^{1}\left|\left(1-\left|a_{1}\right|-\dots-\left|a_{100}\right|\right)+a_{1}x+\dots+a_{100}x^{100}\right|\mbox{d}x, \)
כשכל המשתנים חסומים בין \({-1}\) ל \({1}\) . נסמן אותו ב \({q\left(x\right)=b_{0}+b_{1}x+\dots+b_{100}x^{100}}\) , ונבחר \({\alpha=\frac{1}{\int_{0}^{1}\left|q\left(x\right)\right|\mbox{d}x}}\) . אז לכל פולימום \({p\left(x\right)=a_{0}+a_{1}x+\dots+a_{100}x^{100}}\) )בלי הגבלה על המקדמים(, לפולינום \({\frac{p\left(x\right)}{\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\dots+\left|a_{100}\right|}}\) מקדמים שסכום הערכים המוחלטים שלהם הוא \({1}\) , לכן:
\(\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{p\left(x\right)}{\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\dots+\left|a_{100}\right|}\right|\mbox{d}x\ge\int_{0}^{1}\left|q\left(x\right)\right|\mbox{d}x=\frac{1}{\alpha}, \)
וזה אומר ש \({\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\dots+\left|a_{100}\right|\le\alpha\int_{0}^{1}\left|p\left(x\right)\right|\mbox{d}x}\) , כמו שרצינו.

שם (חובה)

דואר אלקטרוני (חובה)

תשובות לחידות יש להזין כאן:

באפשרותך לשלוח בקובץ מסוג pdf, doc, docx

תגובה אחת על חידות – גיליון 2

  • מאת עומר שמחי‏:

    ראשית שלחתי לכם למייל של האתר פתרון לשאלה 9 מגליון פברואר כיוון שהקובץ היה תמונה ולא אחד מהקבצים הסטנדרטיים. שנית הנה בעיה מאד נחמדה: יהיו a,b,c,d מספרים טבעיים אי זוגיים כך שמתקיים שסכומם מתחלק ב24. הוכיחו כי גם סכום החזקות השלישיות שלהם מתחלק ב24.