חוקי שימור

תחתוך לי את הפיצה לארבע חתיכות. אני לא מספיק רעב לשש חתיכות.

(יוֹגי בֶּרָה, שחקן בייסבול)

אני רוצה להציע לכם משימה. מי שישלים אותה יקבל פרס של 1000 שקלים. הנה המשימה: צאו מן המספר 1, ובצעו סדרה של צעדים שבכל אחד מהם אתם מוסיפים או מחסירים מכפלה של שני מספרים עוקבים. המטרה – להגיע. למספר 10. למשל, בצעד הראשון אתם יכולים להוסיף 6, שהוא מכפלת 2 ב-3. אתם מגיעים ל-7. בצעד הבא אתם יכולים להוסיף 56, שהוא \({  7*8 }\), ולהגיע ל-63. עכשיו מותר לכם להחסיר, נאמר, 20 (שהוא \({  4*5 }\) ). האם תצליחו להגיע ל-10?

התשובה היא “לא”, כלומר לא סיכנתי את כספי. הסיבה: מכפלת שני מספרים עוקבים היא תמיד זוגית. לכן בכל צעד אתם מוסיפים או מחסירים מספר זוגי. מכיוון שיצאתם ממספר אי זוגי, 1, תקבלו בכל צעד מספר אי זוגי. ו-10 הוא זוגי.

שאלה: האם אפשר להגיע במשחק הזה לכל מספר איזוגי?

 מה שיש לנו כאן הוא “חוק של שימור”. איזושהי תכונה של המערכת נשארת קבועה לאורך כל הדרך. “חוק שימור” אומר שדבר מה – כמות, גודל או יחס – נשמרים, גם כאשר גורמים אחרים בתמונה משתנים. למשל, אם תזיז את הכיסא שעליו אתה יושב ישתנה מקומו, אבל לא ישתנו היחסים בין חלקיו והוא יישאר כיסא. בזכות חוקי שימור פשוטים מסוג זה אפשר להתייחס לעולם במושגים קבועים. יש חוקי שימור מופשטים יותר, כמו למשל שימור המספר: אם תיקח 4 אבנים ותסדר אותן בשורה, ואחר כך תזיז אותן ותסדר אותן בריבוע, לא ישתנה מספרן. עוד יותר מופשט הוא שימור כמות רציפה. בניסוי מפורסם העביר הפסיכולוג השוויצארי ז’ן פיאז’ה (Jean Piaget, 1896-1980) נוזל מכלי רחב לכלי צר. מובן שבכלי הצר הגיע הנוזל לגובה רב יותר, וכשילדים בני ארבע או אף חמש נשאלו אם כמות הנוזל השתנתה, הם השיבו שכן, עכשיו יש יותר, אף כי הנוזל הועבר מן הכלי האחד לאחר לנגד עיניהם.

המוכרים ביותר הם חוקי השימור של הפיזיקה: שימור המסה, האנרגיה, התֶּנע (מכפלת המסה במהירות), התנע הזוויתי. בעזרתם אפשר לפתור באופן אלגנטי הרבה בעיות פיזיקליות. פחות ידועה העובדה שגם במתמטיקה משתמשים בחוקי שימור. השוני הוא בכך שבמתמטיקה החוקים בדרך כלל סמויים יותר, משום שהגודל הנשמר אינו שקוף כל כך. הקושי לגלות את הגודל שנשמר הוא אחד מסודות יופיים של חוקי השימור המתמטיים.

חוק שימור שמוכר לכול, אף כי בדרך כלל אין חושבים עליו במונחים של שימור, הוא כללי ההרחבה והצמצום של שברים. קחו עוגה, וחלקו אותה לשני חצאים. בניגוד לדעתו של יוֹגי בֶּרָה בציטוט לעיל, כמות העוגה הכוללת השתמרה ובידינו עדיין עוגה אחת. פירוש הדבר הוא ש-1 (עוגה אחת) שווה ל-2 חצאים, או בסימון מספרי – \({ 1 = \frac{2}{2} }\). בדומה, אם תיקחו  \({  \frac{2}{3} }\) עוגה ותחלקו כל אחד משני השלישים ל-5 חלקים, לא תשתנה כמות העוגה. אבל עתה כל שליש הפך ל-5 חלקים, שכל אחד מהם הוא  \({ \frac{1}{15} }\) מן העוגה. כלומר, בשני השלישים יחד יש 10 חלקי 15, וכך קיבלנו: \({  \frac{2}{3} = \frac{10}{15} }\).

במאמר הזה אני רוצה לספר לכם על מישהו שהרוויח כסף מחוק שימור. הוא הציע משחק דומה מאוד למשחק שהצעתי בתחילת המאמר, רק מעט יותר מתוחכם. ומכיוון שהיה לו גם חוש עסקי, הוא הצליח להתעשר.

איך להתעשר מחוק שימור

סם לויד (1911-Sam Lloyd, 1841) האמריקאי היה מיוצרי החידות הגאוניים של כל הזמנים. הוא חיבר חידות שחמט בצד חידות מתמטיות, היה קוסם חובב, פיתום (וֶנטרילוֹקווִיסְט, כלומר דובר מן הבטן) מקצועי, ושילב את אמנות הפיתום בהופעות הקסמים שלו. בנו היה “קורא” את מחשבותיו, כשלמעשה הוא עצמו היה מדבר מפי בנו. בשנת 1878 חיבר (יש הטוענים – שאל ממקור אחר) את חידתו המפורסמת ביותר, “משחק ה-15”. במקור אין זו חידה אלא משחק, הנמכר עד עצם היום הזה. הוא עשוי מריבוע בן 16 משבצות, שבהן 15 לוחיות שעליהן רשומים המספרים מ-1 עד 15, בעוד אחת המשבצות נשארת ריקה. את הלוחיות ניתן להזיז אל המשבצת הריקה, אם הן סמוכות לה, כלומר נמצאות לצידה, מעליה או מתחתיה. הדרך הרגילה לשחק את המשחק היא לסדר את הלוחיות בסדר מִקרי, ולנסות להגיע למצב שבצד ימין של האיור שלהלן, על ידי סידרת מסעים חוקיים.

כדי להגדיל את המכירות, הציע לויד פרס בסך 1000$ (סכום נכבד באותם ימים, אבל מספיק צנוע כדי לא לעורר חשד הטעיה) למי שיבצע את המשימה הבאה: יחליף, על ידי סידרת מסעים חוקיים, את מקומם של ה-14 וה-15.

states0

אפילו לויד עצמו לא שיער לאן הדבר יוליך. המהומה שהתחוללה עלתה אף על שיגעון הקובייה ההונגרית שהשתלט על העולם כמאה שנים אחר כך. אנשים זנחו את עבודתם וסבבו ברחובות כשהמשחק בידיהם. בצרפת נחקק חוק האוסר להחזיק במשחק בעבודה. לויד התעשר, וידע היטב שאינו מסכן ולו סנט אחד, משום שהמשימה היא בלתי אפשרית. באותם ימים לא התפשטו השמועות באותה מהירות כמו בעידן האינטרנט, ומסיבה כלשהי אף עיתונאי לא טרח לראיין מתמטיקאים, וכך עבר זמן רב עד שאנשים למדו על אי האפשרות של ביצוע המטלה.

אי האפשרות הזה נובע מחוק של שימור. יש פרמטר (מספר) שנשמר קבוע לאורך כל המשחק, משום שמסע חוקי במשחק אינו משנה אותו. פירוש הדבר הוא שבכל המצבים שאפשר להגיע אליהם בעזרת מסעים חוקיים הפרמטר הזה מקבל אותו ערך, הלא הוא הערך ההתחלתי, זה שהיה במצב המוצא. אם נראה שבמצב שאליו חותרים, שבו ה-14 וה-15 מתחלפים, הערך של הפרמטר שונה מן הערך ההתחלתי, כי אז ברור שאין סידרת מסעים חוקיים שמובילה למצב זה.

הפרמטר המדובר הוא הזוגיות של מספר חילופי הסדר של הלוחיות (אם רוצים שהפרמטר יהיה מספר, נגדיר אותו כ-0 אם מספר חילופי הסדר זוגי, וכ-1 אם לא). כדי להבין את המושג “חילופי סדר” נדגים אותו במקרה של סידור המספרים 1,2,3,4. כשהם כתובים כך, המספרים מופיעים על פי סידרם, ואין בהם חילופי סדר. מספר חילופי הסדר שלהם הוא על כן 0. כשהם כתובים בסדר 2,1,3,4 יש בהם חילוף סדר אחד: הזוג (1,2) מופיע בסדר הפוך, משום ש-2 קודם ל-1, שלא כמו בסדר הרגיל. בסידרה 3,2,4,1 יש 4 חילופי סדר, כלומר 4 זוגות של מספרים המופיעים בסדר הפוך מן הרגיל: אלה הם הזוגות (1,2) (משום ש-1 מופיע בסידרה מימין ל-2, כלומר אחריו), (1,3), (2,3) ו-(1,4).

“חילופי סדר” מוגדרים כאשר המספרים מסודרים בשורה. במשחק ה-15 הלוחיות מסודרות בריבוע, ולא בשורה, לכן לא ברור איך לספור בהן את חילופי הסדר. כדי להגדיר “חילופי סדר” אין ברירה, אלא לפרוש אותן בשורה, וזאת אפשר לעשות בדרכים רבות. אנו נבחר בסדר הבא:

states1

פורשים את המשבצות בלוח לסידרה, על פי הסדר של החץ המעוקל.

כפי שאפשר לראות באיור, הסידור המקורי יהפוך לסידרה 1,2,3,4,8,7,6,5,9,10,11,12,15,14,13. כמה חילופי סדר יש כאן? התבוננות קצרה תראה שחילופי סדר קיימים רק בין מספרים שמופיעים בריבוע בשורות השנייה והרביעית, כלומר רק בתוך הסדרות 8,7,6,5 ו-15,14,13. בסידרה הראשונה כל 6 הזוגות (5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8) מופיעים בסדר הלא נכון. בסידרה השנייה כל 3 הזוגות (13,14),(13,15),(14,15) מופיעים בסדר הלא נכון. יחד יש כאן אפוא 9 חילופי סדר.

מהו מספר חילופי הסדר במצב הרצוי? הסידרה המתאימה שם, כשהיא פְּרוּשָׂה על פי הסדר שמכתיב החץ המתפתל, היא: 1,2,3,4,8,7,6,5,9,10,11,12,14,15,13. זוהי סידרה זהה כמעט לסידרה של המצב ההתחלתי, פרט לכך שה-15 וה-14 נמצאים עתה בסדר הנכון, בעוד שבמצב ההתחלתי הם היו הפוכים. כלומר יש כאן חילוף סדר אחד פחות, שפירושו 8 חילופי סדר.

מספר חילופי הסדר במקור, שהוא כאמור 9, הוא אי זוגי. אנו נראה שמסע מותר אינו משנה את הזוגיות של מספר חילופי הסדר. לכן לאורך כל המשחק יישאר מספר חילופי הסדר אי זוגי. מכיוון שמספר חילופי הסדר במצב המבוקש הוא 8, שהוא מספר זוגי, ינבע מכך שאי אפשר להגיע אל המצב המבוקש.

מה עושה מסע חוקי למספר חילופי הסדר? יש שני סוגי מסעים – אופקי ואנכי. מסע אופקי אינו משנה כלל את סדר הלוחיות, ולכן אינו משנה גם את מספר חילופי הסדר. מסע אנכי עשוי לשנות את מספר חילופי הסדר. ובכל זאת, הזוגיות של מספר חילופי הסדר לא תשתנה. הסיבה היא שמסע אנכי מחליף את סדרה של הלוחית שזזה עם מספר זוגי של לוחיות אחרות. למשל, המסע הבא אינו מחליף סדר כלל:

states3

מסע זה אינו משנה את הסדר של המספרים: בסדר המותווה על ידי החץ המתפתל הופיעה לוחית ה-12 לפני לוחיות ה-13, 14, 15 לפני המסע, וכך הוא גם אחרי המסע.

המסע שבציור הבא משנה את מספר החלפות הסדר עם 4 לוחיות. הוא מוסיף 3 חילופי סדר, וגורע אחד. חילופי הסדר שנוספים הם עם 6, 7, ו-8, ואילו חילוף הסדר שנגרע הוא עם 1: לפני המסע 5 לא היה בסדר הנכון עם 1 (5 גדול מ-1, ובא לפניו), ואילו אחרי המסע חילוף הסדר הזה נעלם, כלומר 5 ו-1 נמצאים בסדרם הנכון, 1 לפני 5. בסך הכול נוספים 3-1, כלומר 2 חילופי סדר (למען הבהירות, סומנו בריבוע רק המספרים הרלבנטיים).

states4

מסע זה משנה את מצבו של 5 ביחס ל-4 לוחיות. הוא מוסיף 3 חילופי סדר, עם 6, 7 ו-8, ולעומת זאת מחסיר חילוף סדר אחד, עם 1. בסך הכול מתווספים 2=3-1 חילופי סדר. פירוש הדבר הוא שהזוגיות של מספר חילופי הסדר לא השתנתה.

הוספה או גריעה של חילוף סדר אחד משנה את הזוגיות של מספר חילופי הסדר. לכן ארבעה שינויים בחילופי סדר פירושם חציית נהר הזוגיות של מספר חילופי הסדר 4 פעמים, כאשר “חציית הנהר” היא החלפת זוגיות. כאשר חוצים נהר 4 פעמים, חוזרים לאותו צד. לכן 4 שינויים בחילופי הסדר אינם משנים את הזוגיות של מספר חילופי הסדר.

העובדה שבשתי הדוגמאות שנתנו שוּנָה מספר זוגי של חילופי סדר לא הייתה מקרית. תמיד נוסף או נגרע מספר זוגי של חילופי סדר. הסיבה היא שהלוחיות שאיתן שונה הסדר נמצאות או מימין ללוחית שזזה (כמו בדוגמה של ה-5 שירד משבצת), או משמאל לה, בשתי שורות – שורת המוצא של הלוחית שזזה, והשורה שאליה היא עוברת. לכן הלוחיות שאיתן שונה הסדר מסודרות בזוגות: בדוגמה שלנו אלה הם הזוגות 6 ו-1, שנמצאים זה מעל זה, ו-7 ו-8, שנמצאים זה מעל זה. מכיוון שהן מסודרות בזוגות, מספר הלוחיות האלה הוא זוגי.

יש כאן אם כן חוק שימור – שימור של זוגיות מספר חילופי הסדר. בלשון של “עקרון חציית הנהר” שבו פגשנו בפרק על ההתקה, חוק השימור הזה אומר שאין לנו בכלל סירה לחצות את הנהר. אנחנו נידונים להישאר תמיד באותו צד – הצד ה”אי זוגי”. לכן לא נוכל לחצות את הנהר כדי להגיע למצב המבוקש באתגר שהציב סם לויד.

שימור האמת הפנימית

בטרגדיות יווניות רבות מנסה הגיבור להימלט מגורלו, רק כדי להיווכח שלמעשה רדף אחריו. הידועה בין הטרגדיות שזהו מהלכן היא “אדיפוס המלך” של סופוקלס. אדיפוס, נסיך העיר פילוֹס, שומע נבואה שיהרוג את אביו ויישא לאישה את אימו. מבועת, הוא מחליט להימלט מן העיר. במסעותיו הוא פוגש בצומת דרכים אדם והורג אותו בתגרה. לאחר מכן הוא מגיע לעיר תֶבַּי, ובשער העיר נודע לו על מפלצת, הספינקס, ראשה ראש אדם וגופה גוף חיה, שגובה מחיר דמים מתושבי העיר. קללתה של המפלצת לא תסור עד שתיפתר חידה שהיא מציגה. אדיפוס פותר את החידה, וכאות תודה משיאים אותו בני העיר ליוֹקַסְטָה, המלכה האלמנה. כעבור שנים, בעקבות מגיפה שמתחוללת בתבי, וטענותיהם של חוזים שבו האשָם, מתגלה לאדיפוס האמת: למעשה, הוא אסופי; יוקסטה אימו מסרה אותו לידי רועה שיגדלו, לאחר ששמעה מפי חוזים בדיוק אותה נבואה ששמע גם הוא; והאדם שהרג בצומת הדרכים היה אביו הביולוגי. הנבואה, הוברר לו לחרדתו, התקיימה בדיוק אכזרי.

בני ימינו יפרשו את הגורל כמסמל כוחות פנימיים. המסר בטרגדיה הוא שהכוחות האלה חזקים ממך, ושאינך יכול להתכחש לפנימיותך. נדמה לך שאתה שולט בחייך, כאשר למעשה מאווייך העמוקים מכוונים אותך יותר מאשר החשיבה המודעת. המשורר הגדול איש אלכסנדריה קונסטנטין קוואפיס (Kawafis) היה הלניסט (מעריץ תרבות יוון העתיקה) מושבע, והמסר הזה מוטמע בשיריו. במיוחד, באחד משיריו המפורסמים ביותר, “העיר”, שהוא שיר של “שימור האמת הפנימית”. חוקי שימור אומרים שבעוד הכול משתנה מסביב, משהו מהותי הנמצא בעין הסערה נשאר קבוע. המסר ב”העיר” הוא שהחוץ יכול להשתנות, אבל מהותך הפנימית תישאר כפי שהיא. קוואפיס חי בין השנים 1863 ו-1933, הרחק ממרכזי הספרות האירופאיים, היה הומוסקסואל, התפרנס מעבודה פקידותית, כתב יוונית, והתפרסם בעיקר לאחר מותו. אבל דומה ש”העיר” מאפשר הצצה לתוך נפשו יותר מאשר יוכלו לסכם כל העובדות החיצוניות האלה. השיר מובא כאן בראשון מבין שני תרגומים שעשה לו יורם ברונובסקי.

אָמַרְתָּ: “אֵלֵךְ לְאֶרֶץ אַחֶרֶת, אַפְלִיג בְּיָם אַחֵר,

תִּמָּצֵא לִי עִיר שׁוֹנָה, טוֹבָה מִזּוֹ פִּי כַּמָּה

כָּאן כָּל שֶׁאֶעֱשֶׂה מוּעָד לְכִשָּׁלוֹן

כָּאן נָמֵק לִבִּי כְּמוֹ בְּתוֹךְ הַקֶּבֶר.

כְּלוּם לֹא תָּקוּם בִּי הָרוּחַ לְהִתְנַעֵר מִן הָרִפְיוֹן?

בְּכָל אֲשֶׁר אַפְנֶה אֶת מַבָּטִי אֲנִי רוֹאֶה

רַק אֶת הֶחֳרָבוֹת הַמַּשְׁחִירוֹת שֶׁל חַיַּי –

כָּאן חָיִיתִי כָּל כָּךְ הַרְבֵּה שָׁנִים, כָּאן לַהֶבֶל זָרִיתִי יָמַי”.

“לֹא תִּמְצָא עָרִים שׁוֹנוֹת, לֹא תַּפְלִיג בְּיָם אַחֵר –

הָעִיר תֵּלֵךְ בְּעִקְבוֹתֶיךָ, תָּמִיד תִּסֹּב בְּאוֹתָם הָרְחוֹבוֹת

הַזִּקְנָה תַּשִּׂיג אוֹתְךָ בְּתוֹךְ אוֹתָם הָרְבָעִים

וּבְאוֹתָם בָּתִּים יַלְבִּין שְׂעַר רֹאשְׁךָ.

תָּמִיד תִּמָּצֵא לְךָ רַק זוֹ הָעִיר. אַל תְּקַוֶּה לַשָּׁוְא

אֵין סְפִינָה תּוֹלִיכְךָ מִכָּאן, אֵין דֶּרֶךְ.

כִּי כַּאֲשֶׁר לַהֶבֶל זָרִיתָ אֶת יָמֶיךָ

זָרִיתָ אוֹתָם עַל פְּנֵי הָאֲדָמָה כֻּלָּהּ, עַל פְּנֵי כָּל הַיָּמִים”.

(“העיר”, קונסטנטין קוואפיס, תרגום – יורם ברונובסקי)

נדמה לו לאדם, אומר השיר הזה, שבעיותיו מגיעות מן החוץ. למעשה אישיותו משמעותית הרבה יותר. אינני חושב שיש דבר חשוב יותר שאדם יכול ללמוד בחייו. “דע את עצמך”, אמרו היוונים, ואילו השיר הזה אומר דבר מה ראשוני עוד יותר: שיש מה לדעת. אישיותו של אדם אינה קצף על פני המים.

מה שהופך את השיר הזה ליפה כל כך אינו התוכן, שכאמור אינו חדש, אלא דרך האמירה. למרבה הפרדוקסליות, את הרעיון שהדברים החשובים הם בתוכך אומר השיר בדיוק בלשון ההפוכה – דרך החוץ. לא “אתה תישאר אתה”, אלא “הרחובות יישארו אותם רחובות”; לא “אינך יכול לברוח מעצמך”, אלא “העיר תלך בעקבותיך”. לא “אין זה משנה היכן תהיה”, אלא “באותם בתים ילבין שער ראשך”.

konstntin

קונסטנטין קוואפיס, 1933-1863.

(המאמר הוא פרק מתוך “מתמטיקה, שירה ויופי”, ספר של רון אהרוני, הוצאת הקיבוץ המאוחד 2008.)