התייחסות עצמית ומשפט גֶדֶל

א.   התוכנית של הילברט

גיל 24 הוא כנראה גיל טוב לחולל בו מהפכות מדעיות. אייזק ניוטון היה בגיל הזה ב”שנת הפלאים” שלו, 1666, שבה פיתח את תורת הכבידה, את החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, וגילה את חוקיה הבסיסיים של האופטיקה המודרנית. איינשטיין היה בגיל זה כאשר יצר את תורת היחסות הפרטית. קורט גדל (Kurt Gödel, 1906-1978) האוסטרי היה בגיל הזה כאשר הוכיח משפט ששינה את דרך ראייתנו את המתמטיקה.

כפי שסיפרתי בגיליוננו הקודם, בסוף המאה ה-19 הראה מתמטיקאי גרמני בשם גוטלוב פרֶגֶה שאפשר לחקור בצורה מתמטית את החשיבה האנושית, ובמיוחד – את החשיבה המתמטית. התחום שנולד נקרא “לוגיקה מתמטית”. רעיונותיו של פרגה זכו להמשך בתחילת המאה ה-20 בידי מתמטיקאים רבים, שהמובילים ביניהם היו ראסל, וויטהד והילברט. התקוות הרקיעו שחקים. פרגה לימד אותנו שאפשר לתאר את תהליך ההוכחה המתמטית במונחים מכאניים. הוא הראה שהוכחה מתמטית היא בסך הכול סידרת סימנים על נייר, המצייתים לכללים מוגדרים היטב. פירוש הדבר הוא שאפשר לבדוק בצורה מכאנית אם סידרת סימנים היא הוכחה או לא. בלשון ימינו היינו מבטאים זאת בכך שגם מחשב יכול לבדוק אם סידרת סימנים על נייר היא הוכחה. אבל אם כך הוא, אפשר להעז לשאול: אולי יוכל המחשב גם למצוא הוכחות? האם אפשר לכתוב תוכנת מחשב, שבהינתן לה טענה (שאף היא, כמובן, אוסף סמלים על נייר) תוכיח אותה, או תוציא כפֶלֶט: “לא, אי אפשר להוכיח את הטענה הזאת”? תארו לכם איזה עולם נפלא היה זה! המתמטיקאים היו יכולים לפרוש מעבודתם, ולהפקיד את ההוכחות בידי תוכניות מחשב. ואפילו אם אי אפשר היה מבחינה מעשית לכתוב תוכנית כזו, אבל ניתן היה להראות בעיקרון שהיא קיימת, גם אז הייתה לכך חשיבות תיאורטית עצומה.

שאלות מסוג זה נשאלו בשלושת העשורים הראשונים של המאה ה-20. באותו זמן, כמובן, עוד לא היה המחשב קיים, ובמקום “תוכנית מחשב” השתמשו בני הדור במונח “אלגוריתם”, שהוא מרשם שמכתיב סדר מדויק של פעולות, כמו מתכון לאפיית עוגה. בשפה זו, הלוגיקאים של אותה תקופה חיפשו אלגוריתם שבודק אם נוסחה ניתנת להוכחה או לא, ואם הוא מחליט שיש הוכחה הוא גם יודע למצוא אותה. הילברט העמיד בפני בני דורו את האתגר של מציאת אלגוריתם כזה. זה היה חלק מתוכנית כללית שזכתה לשם “הפרוגרמה של הילברט”.

באותה תקופה התעניינו הלוגיקאים יותר מכל בתורת המספרים. מערכת אקסיומות לתורת המספרים, שנוסחה ב-1889 על ידי האיטלקי פֶּאָנוֹ (Giuseppe Peano,

1858-1932) נחשבה אז למילה האחרונה, והכול סברו שהיא ממצה את כל מה שניתן לדעת על המספרים. פירוש הדבר הוא שבני התקופה האמינו, או לפחות קיוו, שמערכת פֶּאָנו תהיה מסוגלת להוכיח כל מה שנכון, כלומר כל טענה נכונה על המספרים הטבעיים. רכיב עיקרי בפרוגרמה של הילברט היה חיפוש אחרי אלגוריתם שיחליט לגבי כל טענה הנוגעת למספרים אם היא נכונה או לא. אם האלגוריתם (“תוכנית המחשב”) יחליט שהטענה נכונה, הוא יידרש גם למצוא לטענה הוכחה מאקסיומות פאנו.

ב.   בלש שיטתי אך לא יעיל

יש אלגוריתם טבעי ומתבקש מעצמו, לבדוק אם נוסחה ניתנת להוכחה: לנסות את כל האפשרויות. כאמור, אף אם קשה למצוא הוכחות, קל לבדוק אם סידרת סימנים על נייר היא הוכחה לטענה נתונה (בתנאי שההוכחה מפורשת עד לפסיק האחרון!) דרך פשוטה לבחון אם נוסחה נתונה ניתנת להוכחה או לא היא על כן לעבור אחת לאחת, על פי סדר שיטתי, מקצרות לארוכות, על כל סדרות הסימנים האפשריות, ולכל סידרת סימנים לבדוק אם היא הוכחה לטענה המבוקשת. כמובן, אין זו דרך יעילה במיוחד. היא דומה לחוקר משטרה המנסה לפתור מקרה רצח על ידי בדיקת כל האנשים בעולם, אחד לאחד. כשם שחקירות משטרתיות אינן נערכות בדרך זו, כך גם אף אחד לא ינסה למצוא הוכחות למשפטים מתמטיים על ידי כתיבת סימנים מִקריים על נייר, ובדיקה אם במקרה הם יצרו הוכחה למשפט. אבל בשלב זה איננו מחפשים אלגוריתם יעיל – אנחנו מחפשים אלגוריתם כלשהו!

אולם מעבר לחוסר היעילות יש בעיה עקרונית יותר עם השיטה הזאת, והיא שאין יודעים מתי לעצור. האלגוריתם של חוקר מקרי הרצח אינו יעיל, אבל הוא אפשרי, משום שיש רק מספר סופי של בני אדם בעולם, והאלגוריתם יסתיים בשלב כלשהו. במקרה של הוכחות מתמטיות המצב שונה. אם בשלב כלשהו במהלך חיפושינו נמצא הוכחה, מה טוב. אבל מה נעשה אם בדקנו מיליון סדרות של סימנים, ואף אחת מהן אינה ההוכחה המבוקשת? כמובן, נוכל לעבור לסידרה המיליון ואחת, אך לעולם לא נוכל לעצור ולהכריז: “לא הצלחנו למצוא הוכחה, ולכן הטענה אינה נכונה”. תמיד יש אפשרות שבצעד הבא היינו מוצאים את ההוכחה, לו רק היינו ממשיכים. מחפשי נפט עומדים בפני הדילמה הזאת, אלא שבמקרה שלהם יש לפחות גבול תיאורטי: אם קדחו והגיעו לצד השני של כדור הארץ, זהו אות מובהק לכישלון. במקרה של הוכחות אין שום שלב שבו אמורים להתייאש. אין חסם תיאורטי לאורכן של הוכחות.

רעיון הבדיקה של סדרות מקריות של סימנים נכשל אפוא. אבל אפשר לנסות דבר מה קצת יותר מתוחכם: לערוך מירוץ בין הטענה הנבדקת לבין שלילתה. כלומר, לבדוק את כל הסדרות של סימנים על נייר, בצורה שיטתית, ולבחון שני דברים במקביל: האחד, אם סידרת הסימנים היא הוכחה לטענה; השני – אם הסידרה היא הוכחה לשלילתה של הטענה. אם הטענה ניתנת להוכחה, נגיע בסופו של דבר לסידרת סימנים שמהווה הוכחה לה. אם השלילה של הטענה ניתנת להוכחה, נגיע בסופו של דבר לסידרת סימנים שהיא הוכחה לשלילה. כך נצליח להוכיח כל טענה, או להוכיח את שלילתה!

ג.    משפט גדל ושברה של תוכניתו של הילברט

אלא שכאן נכנס לתמונה גֶדֶל. הוא הראה שהשיטה הזאת לא תעבוד, מסיבה מפתיעה, שמאחוריה עומדת עובדה יסודית: ייתכן בהחלט שאף אחד משני הצדדים לא ינצח במירוץ. יש טענות שגם הן, וגם שלילתן, אינן ניתנות להוכחה. וכיוון שכך, החיפוש השיטתי לא יביאנו לפתרון. אין שום ביטחון שנעצור אי פעם. אין וודאות שבשלב כלשהו תוכח הטענה או תוכח שלילתה.

המשפט האומר שיש טענות שהן ושלילתן אינן ניתנות להוכחה נקרא “משפט אי השלֵמוּת של גֶדֶל”. גדל הוכיח הרבה משפטים, אבל כשאומרים “משפט גדל” הכוונה אליו. המשפט אומר שתורת המספרים, כפי שניסח אותה למשל פֶּאָנו, “אינה שלמה”, במובן זה שאינה יודעת להכריע טענות מסוימות, לפחות ככל שהדברים נוגעים להוכחות.

משפט אי השלמות הוא רק קצה קצהו של גוף ידע עמוק ומסעיר שבנה גדל. במבט של כמעט שמונים שנים לאחור, לא פחות חשובות היו טענות אי אפשרות אחרות שהוכיח. למשל, שאין אלגוריתם (תוכנית מחשב) שיכול לבדוק לכל נוסחה אם היא ניתנת להוכחה או לא (הכוונה לתוכנית מחשב אחת, שתעבוד לכל הנוסחאות!); אין אלגוריתם שבודק עבור כל נוסחה אם היא נכונה או לא (נכונוּת וניתנוּת להוכחה הם דברים שונים – זוהי מסקנה נוספת מתורתו של גדל. יש נוסחאות שהן נכונות, אבל אינן ניתנות להוכחה) ואי אפשר להוכיח בתוך תורת המספרים שתורת המספרים היא חסרת סתירה. משמעם של כל אלה היה הפרכה מוחלטת של התוכנית של הילברט, על כל פרטיה ורכיביה.

טענות אי האפשרות שהוכיח גדל משכו את תשומת ליבו של אנגלי צעיר בשם טיורינג (Alan Turing, 1912-1954). בנוסף להיותו מתמטיקאי יוצא דופן, היה טיורינג גם בעל כשרון מכאני, והוא רצה לתת לטענותיו של גדל לבוש מוחשי יותר, שנוגע למכונות. לשם כך הוא המציא ב-1936 מודל תיאורטי ראשון למחשב, שפעולתו היא כְּשֶׂל מחשב בן ימינו. מכאן עד לבנייתו של המחשב הייתה הדרך קצרה. טיורינג עצמו היה שותף בזמן מלחמת העולם השנייה לבנייתו של מחשב פרימיטיבי, כחלק ממאמץ פיצוח הצופן הגרמני לתקשורת עם צוללות. תורתו של גדל הייתה אפוא צעד משמעותי ביותר בכיוון יצירתו של המחשב. אין זה פלא שרבים רואים בה את המהפכה המתמטית החשובה ביותר של המאה ה-20.

gedel

קורט גדל, מתמטיקאי אוסטרי, 1978-1906.[1]

ד.   המעגליות

“הַתְּפִלּוֹת יָצְרוּ אֶת הָאֱלֹהִים,
הָאֱלֹהִים יָצַר אֶת הָאָדָם
וְהָאָדָם יוֹצֵר תְּפִלּוֹת
שֶׁיּוֹצְרוֹת אֶת הָאֱלֹהִים שֶׁיּוֹצֵר אֶת הָאָדָם.”
(“אלים מתחלפים, התפילות נשארות לעד”, יהודה עמיחי, מתוך “פתוח סגור פתוח”, הוצאת שוקן)

את הרעיון להוכחת משפט אי השלמות, כך סיפר גדל עצמו, הוא נטל מפרדוקס ששמו “פרדוקס רישאר (Richard)”. גם הפרדוקס הזה, כמו פרדוקס ראסל, הוא פרודיה על שיטת האלכסון של קנטור, וגם הוא מבוסס על אותו רעיון: התייחסות עצמית. כבר אמרנו שכל פרדוקס מבוסס על תרמית, כלומר הנחה שגויה סמויה שמובילה למסקנה גלויה בלתי אפשרית. מתברר שבין כל התרמיות האפשריות יש למעגליות מקום של כבוד. במרבית הפרדוקסים ההטעיות מתגלות במהרה, וחשיפתן מהווה לא יותר מאשר פתרון חידה, לעתים קשה למדי אבל כמעט אף פעם לא קשה מאוד. אבל יש כמה פרדוקסים שהחזיקו מעמד לאורך שנים רבות, והם זוכים ליחס של כבוד כאילו חבויה בהם סתירה אמיתית. למרבה הפלא, בכל הפרדוקסים מן הסוג הזה ההטעיה מבוססת על אותה תרמית – מעגליות, כלומר על הגדרה של דבר בעזרת עצמו. בעיקרון, התרמית בפרדוקסים כאלו אינה שונה מזו של אדם המגדיר מספר כ”עצמו ועוד 1″, מניח שאכן יש מספר כזה במציאות, ואחר כך קורא בבהלה – “הצילו! סתירה!”, משום שמצא מספר השווה לעצמו ועוד 1. אומנם, הגדרת מספר כ”עצמו ועוד 1″ היא שקופה מכדי שיתייחסו אליה ברצינות. אבל עם לא הרבה מאמץ אפשר להסוות את ההגדרה המעגלית, ואז נוצר פרדוקס בעל איצטלה של מהוּגנוּת. מוחו של האדם אינו בנוי כנראה לחשוף את המעגליות בקלות.

המפורסם בין הפרדוקסים מן הסוג הזה הוא “פרדוקס השקרן”, שמקורו ביוון במאה החמישית לפני הספירה, והופיע לראשונה ברשימה מפורסמת של פרדוקסים שנערכה בידי אֶוּבּוּלידֶס. הוא מציג את המשפט הבא:

משפט זה שקרי.

חישבו על ערך האמת של המשפט הזה: אם המשפט אמיתי, כי אז, על פי תוכנו, הוא שקר. אבל אם הוא שקר, כי אז, שוב על פי תוכנו, הוא אמיתי. כמו בפרדוקס ראסל מצאנו בכך טענה שהיא נכונה אם ורק אם אינה נכונה, מצב בלתי אפשרי בעליל. הפרדוקס הזה הדריך את מנוחתם של דורות רבים של פילוסופים, ונהרות של דיו נשפכו עליו. למעשה, התרמית שמאחוריו פשוטה מאוד, ואינה שונה בהרבה מהגדרת מספר כ”עצמו ועוד 1″. המושג המוגדר מעגלית בפרדוקס הוא ערך האמת של המשפט. משפט אינו בא לעולם עם ערך אמת צמוד לדש בגדו. כדי לחשב את ערך האמת של משפט יש לטרוח בהשוואת המשפט עם המציאות. אלא שהמשפט הזה מדבר על ערך האמת של עצמו, ולכן חלק המציאות שאיתו צריך להשוות את המשפט אינו אלא ערך האמת עצמו, כלומר תוצאת הבדיקה הנוכחית. כך מוגדר ערך האמת של משפטו של השקרן בעזרת עצמו. למעשה, הוא מוגדר בפשטות כשלילת עצמו. זוהי הגדרה מעגלית, ולכן אינה תקפה. למשפטו של השקרן פשוט אין ערך אמת, הוא אינו אמיתי ואינו שקרי.

גֶדֶל בנה פרדוקס משל עצמו. הוא לקח טענה דומה לטענה של השקרן, כשההבדל הוא שהטענה שלו אינה מתייחסת לערך האמת של עצמה, אלא לאפשרות ההוכחה שלה. הפסוק של גדל הוא זה:

טענה זאת אינה ניתנת להוכחה.

חישבו: אם הטענה ניתנת להוכחה, כי אז היא נכונה, משום שמה שניתן להוכחה הוא נכון. אבל על פי תוכנה, אם היא נכונה, כי אז היא אינה ניתנת להוכחה. מה הראינו עד כה? שאם הטענה ניתנת להוכחה, היא אינה ניתנת להוכחה, כלומר מתקבלת סתירה. משמעות הדבר היא שהטענה אינה יכולה להיות ניתנת להוכחה (לולא כן הייתה מתעוררת סתירה). אבל ראו מה הראינו במשפט האחרון: הוכחנו שהטענה אינה ניתנת להוכחה, שעל פי תוכנה של הטענה משמעו שהיא נכונה! כלומר,למעשה, הוכחנו את הטענה! אם כך, בעוד שקודם הוכחנו שהטענה אינה ניתנת להוכחה, כרגע מצאנו לה הוכחה! זוהי סתירה.

הגענו כאן לסתירה, משום שהסתכלנו בטענה כשהיא מנוסחת במילים. הפרדוקס הזה מעודן יותר מאשר פרדוקס השקרן, והמעגליות החבויה בו אינה פשוטה כל כך (רמז: הבעיה היא בהנחה ש”מה שניתן להוכיח הוא נכון”, שאם משתמשים בה לצורכי הוכחות היא הופכת להיות מוגדרת מעגלית, אבל לא ניכנס לכך כאן). גדל, לעומת זאת, לא הגיע לסתירה. את הטענה שלו הוא ניסח לא במילים אלא כנוסחה שמדברת על מספרים – הישג יוצא דופן בפני עצמו. בלבוש של נוסחה, הפסוק של גדל אינו מביא לסתירה, אלא למשפט אי השלמוּת. כשהוא מנוסח כטענה על מספרים, הפסוק אינו ניתן להוכחה וגם שלילתו אינה ניתנת להוכחה. הדבר מוכיח שתורת המספרים אינה שלמה. יש נוסחה שלגביה תורת המספרים אינה יודעת להכריע, באמצעות הוכחה, אם היא נכונה או לא.


[1].    גדל הוכיח בגיל 24 את מה שנחשב ל”משפט החשוב ביותר של המאה העשרים” – שמערכת אקסיומות “סבירה” לתורת המספרים אינה יכולה להוכיח את כל הטענות הנכונות במספרים הטבעיים. ב-1939 עבר לפרינסטון, בעקבות כיבוש אוסטריה בידי הנאצים. מאז ועד מותו נרשמו לזכותו רק שתי עבודות בעלות חשיבות. הוא היה כל ימיו חשדן ומסוגף, וסופו היה טרגי – הוא מת מרעב, לאחר שאשתו אושפזה בבית חולים והוא סירב לאכול מזון שלא הוכן בידיה.

תגובה אחת על התייחסות עצמית ומשפט גֶדֶל

  • מאת א.עצבר‏:

    מתמטיקה בעברית זה כמתנות

    כמתנות היא שפה של כמויות ערטילאיות, והמלים שלה הם מספרים.
    מספר הוא שרבוט קו בעל צורה ייחודית ושם ייחודי, והוא מביע כמות ערטילאית ייחודית.

    את המספר הראשון יש צורך להמציא :
    לשרבוט הקו הזה 1 יש צורה ייחודית , שמו המוסכם יהיה אחד, והוא יביע כמות ערטילאית מוחלטת.
    כמות ערטילאית מוחלטת נתפסת מתוך עצמה, וכל מה שאפשר להגיד לגבי 1 מופיע במשפט הבא
    הכמות הערטילאית של 1 שווה לכמות הערטילאית של 1 . משפט זה נרשם בקיצור כך 1 = 1

    1 הוא המספר הראשון, והוא יהיה מספר היצירה של המספרים הגדולים מ 1 ששמם מספרחדים ,
    1 גם יהיה מספר היצירה של המספרים הקטנים מ 1 ששמם יהיה אנטי מספרחדים.

    יצירת המספרחדים
    מספרחדים הם מספרים הנוצרים על ידי צבירת 1 ,והם 2 שתיים , 3 שלוש , 4 ארבע , 5 , 6 ,,,,,

    משוואת היצירה של 5 היא 1 בהגדל 5 = 5 המשמעות של משוואת היצירה היא כדלקמן:
    1 ימני ו 5 שמאלי הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 אמצעי מתאר כמה פעמים נצבר 1 על
    עצמו, כדי שתתקבל הכמות הערטילאית של 5
    משוואת היצירה של 1578 היא 1 בהגדל 1578 = 1578

    יצירת אנטי מספרחדים
    אנטי 2 יסומן 2′ , אנטי 3 יסומן 3′ ,,,,,,,ואנטי 1578 יסומן 1578′
    במשוואת היצירה של אנטי מספרחדים מופיעה המלה בהקטן במקום המלה בהגדל

    משוואת היצירה של 5′ היא 1 בהקטן 5 = 5′ המשמעות של משוואת יצירה זו היא כדלקמן.
    1 ו 5′ הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 5 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 5 חלקים שווים, ( חלק יחיד מחלוקה זו הוא 5′ – ששמו אנטי חמש).

    משוואת היצירה של אנטי 1578 היא – 1 בהקטן 1578 = 1578′
    1 ו 1578′ הם בעלי כמויות ערטילאיות, ואילו 1578 מתאר את חלוקת הכמות הערטילאית של 1
    ל 1578 חלקים שווים ( חלק יחיד מחלוקה זו הוא 1578′ )
    ממשואות היצירה נובע כי אנטי א בהגדל א = 1 ( א’ בהגדל א = 1 )

    משוואות היצירה יוצרות שתי שורות אינסופיות של מספרים.
    שורת המספרחדים שכמותם הערטילאית גדולה מזו של 1 …………2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,,,,,,,,,,,,,,
    שורת אנטי מספרחדים שכמותם הערטילאית קטנה מזו של 1 …. 2′ , 3′ , 4′ , 5′ , 6′ ,,,,,,,,,,,,,,,

    הופעת המספרים המשולבים ( מספרחד ואנטי מספרחד)
    בין כל שני מספרים עוקבים (בכל שורה) , יש כמויות ערטילאיות שאפשר לייצגן במספרים משולבים.
    את המספרים המשולבים נכנה בשם…… מספרפמים.
    מספרפם לדוגמה הוא 128 פעמים אנטי 56 , שירשם בקיצור 128פם56′ והוא = 2+ 16פם56′
    המספרפם 128פם56′ נמצא בין המספרחדים 2 ו 3
    המספרפם 56פם128′ נמצא בין אנטי מספרחדים 2′ 3′

    עם הופעת המספרפמים הושלמה שפת הכמויות הערטילאיות , או שפת הכמתנות.
    שפת הכמתנות היא שפה פשוטה מאוד, ובהחלט ניתן להשיב על השאלה
    מה יש בשפת הכמתנות ?

    תשובה
    יש אחד – ( שכמותו הערטילאית מוחלטת ומובנת מתוך עצמה)
    יש משוואת יצירה לשורה אינסופית של מספרחדים…………. 1 בהגדל א = א
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל מספרחד, מובנת אך ורק על פי התייחסות
    לכמות הערטילאית של 1 . לעומת זאת, הכמות הערטילאית של 1 , מובנת מעצמה 1 = 1

    ויש משוואת יצירה לשורה אינסופית של אנטי מספרחדים …. 1 בהקטן א = א’
    ממשוואת היצירה נובע , כי הכמות הערטילאית של כל אנטי מספרחד, מובנת אך ורק על פי
    התייחסות לכמות הערטילאית של 1 .לעומת זאת, הכמות הערטילאית של 1 , מובנת מעצמה 1 = 1
    אם נתרגם יחסי לרציונלי , ומוחלט לאי רציונלי ( כלומר לא יחסי) נקבל את המשפט הבא:
    1 הוא המספר האי רציונלי היחידי, וכל שאר המספרים הם רציונליים.

    מה עושים עם שפת הכמתנות ? סופרים כמויות בדידות ( כמו שקלים , מכוניות, עצים, צלחות,,,,)
    וסופרים כמויות רציפות כמו גובה 176 ס”מ , או זמן כמו 44 דקות.

    לעומת השימוש המעשי של שפת הכמתנות, הכמתנים המקצועיים פשוט חוקרים את שפת הכמתנות
    מתוך עניין לשמו. חקירה זו מגלה מהר את המספרים המקיימים את כלל “אי היכולת”

    המספרחדים 3 5 7 11 13 17 19 וכו’ הם תוצר של משוואת יצירה בלבד, והם מקיימים
    את כלל אי היכולת : מספרחד נבחר בצבירה עצמית, לא יכול ליצור מספרחד גדול ממנו.

    גם אנטי מספרחדים 3′ , 5′ , 7′ , 11′ , 13′ , 17′ , 19′ וכו מקיימים את כלל אי היכולת :
    אנטי מספרחד נבחר בצבירה עצמית, לא יכול ליצור אנטי מספרחד גדול ממנו.

    החקירה מתוך עניין לשמו מגלה את כללי ההגדל העצמי
    מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרחד ( 7 בהגדל 7 = 49 )
    אנטי מספרחד בהגדל עצמי מפיק תמיד אנטי מספרחד ( 7′ בהגדל 7′ = 49′ )
    מספרפם בהגדל עצמי מפיק תמיד מספרפם ( 12פם18′ בהגדל עצמי = 144פם324′)

    החקירה מתוך עניין לשמו מגלה בעיית הרצף, הנובעת מכללי ההגדל העצמי
    היות שבין הכמות הערטילאית של 2 ( היוצרת בהגדל עצמי את 4 )
    לכמות הערטילאית של 3 ( היוצרת בהגדל עצמי את 9 )
    יש רק כמויות ערטילאיות של מספרפמים, היוצרות בהגדל עצמי רק מספרפמים,
    נובע מכאן , כי לכמויות הערטילאיות שאמורות ליצור בהגדל עצמי את 5 , 6 , 7 , אין ייצוג מספרי.

    בעיית הרצף קובעת כי שפת הכמתנות היא מושלמת כאשר מדובר בכמויות בדידות, והיא אינה
    מושלמת כאשר מדובר בכמויות רציפות.( יש כמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי)

    כמויות רציפות מופיעות בתחום הגיאומטרי אורך , שטח, נפח , ובתחום הפיזיקלי זמן, אנרגיה,
    הדוגמה המפורסמת לכמויות רציפות שאין להם ייצוג מספרי, מופיעה בתחום הגיאומטרי.

    אי אפשר לייצג בכמויות ערטילאיות של מספרים, את האורכים הרציפים של צלע הריבוע ואלכסונו.
    אם נבחר כמות ערטילאית לייצוג אורך הצלע, לא תהיה לנו כמות ערטילאית לייצוג אורך האלכסון.
    אם נבחר מספר לייצוג אורך הצלע, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך האלכסון.
    ואם נבחר מספר לייצוג אורך האלכסון, לא יהיה לנו מספר לייצוג אורך הצלע.

    החקירה של שפת הכמתנות מתוך עניין לשמו ידועה ומפורסמת, וכל המחפש אותה ימצאנה.
    לפעמים, יש לחקירה כזו שימוש מעשי .

    מבחן נכון לא נכון ( מבחן נלנ)
    התוצאות של חקירה כמתנית מתוך עניין לשמו, חייבות לעמוד במבחן נלנ .
    הטענה כי שורות המספרים המקיימים את כלל אי היכולת היא אינסופית,חייבת לעמוד במבחן נלנ.
    כללי ההגדל העצמי חייבים לעמוד במבחן נלנ.
    הטענה האומרת ..אין משוואות מסוג אאא + בבב = גגג חייבת לעמוד במבחן נלנ.
    אי אפשר לענות על השאלה…מהו מבחן נלנ ? מכיוון שהתשובה חייבת לעמוד במבחן נלנ.

    א.עצבר