השערת ה-Thrackle

ג’ון קונווי (\(John Conway\)), מתמטיקאי אנגלי שעובד בפרינסטון, הוא אחד המתמטיקאים הידועים של ימינו, וגם אחד הצבעוניים שבהם. הוא בעל כשרון מיוחד לגילוי שיטות אלמנטריות לפתרון בעיות קשות, ולניסוח בעיות אלמנטריות. בסוף שנות ה-\(60\) ניסח קונווי השערה שמכלילה את המשפט מן המאמר על הכסאות המוזיקליים, בדבר קיום שני קטעים זרים. ההשערה נשמעת פשוטה למדי, אבל כמו בהרבה מקרים הַפַּשטות הזאת מתעתעת. קונווי הגדיר יצור מתמטי שנקרא “\(Thrackle\)”, שמשמעותו (לפחות אליבא דקונווי) “קשר” בגַלית עתיקה. ואכן, היצור הזה הוא מעין ציור של “פלונטר”. \(Thrackle\) הוא ציור המורכב מנקודות, ומעקומים (קווים) המחברים בין הנקודות, שמקיימים את התנאי הבא: כל שני עקומים נפגשים בדיוק בנקודה אחת, ובאותה נקודה הם נחתכים ממש, כלומר אינם משיקים בה. מותר לקטעים להיפגש גם בקצוות שלהם.

thrackle

זהו \(Thrackle\), כלומר ציור שבו כל קו פוגש כל קו אחר בדיוק בנקודה אחת. ב- \(Thrackle\) הזה יש \(5\) נקודות ו-\(5\) קווים. השערתו של קונווי היא שב-\(Thrackle\) מספר הקווים אינו יכול לעלות על מספר הנקודות.

השערת ה-\(Thrackle\) אומרת שמספר הקווים ב-\(Thrackle\) אינו יכול לעלות על מספר הנקודות. המשפט שהוכחנו בסעיף הקודם אומר שההשערה נכונה כאשר הקווים הם ישרים. ניסחנו אותו אומנם קצת אחרת: “אם יש יותר קטעים מאשר נקודות, יש שני קטעים שאינם נחתכים”. אבל זה בבירור שקול ל: “אם כל זוג של קטעים נחתך, אז מספר הקטעים אינו עולה על מספר הנקודות” (כשם ש”אם היום שבת אין תחבורה ציבורית” שקול ל”אם יש תחבורה ציבורית אז היום לא שבת”). השערתו של קונווי היא שתכונת הישרות של הקווים אינה נחוצה – המשפט הזה נכון גם לקווים שאינם ישרים. שימו לב עד כמה הוכחתו של פֶּרלֶס משתמשת בישרותם של הקווים – נראה שלפחות את ההוכחה הזאת קשה יהיה להכליל!

2 תגובות על השערת ה-Thrackle