השערת ארטין

מחקרים אריתמטיים (Disquisitiones Arithmeticae)  הוא ספר בתורת המספרים שנכתב על ידי המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס שרבים רואים בו את גדול המתמטיקאים  מאז ומעולם. הספר יצא לאור בשנת 1801,  כשגאוס היה בן 24 בלבד. בספרו זה שאל גאוס את השאלה הבאה: מדוע בפיתוח העשרוני של \(\frac{1}{7} \)   מקבלים אורך מחזור בן שש ספרות: \(\frac{1}{7} = 0.142857142857142857 \dots \)

בעוד שהפיתוח העשרוני של \(\frac{1}{11} \) הוא רק בן שתי ספרות: \(\frac{1}{11} = 0.090909 \dots \)

ראשית ברור, למשל, שאת הפיתוח של \(1/7 \) ניתן לכתוב גם כך:\(\frac{1}{7} =(\frac{1}{10} + \frac{4}{10^2 } + \frac{2}{10^3} +\frac{8}{10^4 }  +\frac{5}{10^5 }  + \frac{7}{10^6 })(1 + \frac{1}{10^6 } + \frac{1}{10^{2*6} } + \dots) \)

כיוון שהגורם השני במכפלה הוא טור גיאומטרי עם איבר ראשון ששווה ל-1 ומנה ששווה ל-\((\frac{1}{10} )^6 \)

נקבל שהוא שווה ל- \((\frac{1}{{1-(\frac{1}{10})^6}})=\frac{10^6}{10^6-1} \)

(ראה את המאמר בגיליון זה על הנוסחה לסכום של טור גיאומטרי אינסופי)

מכאן  יוצא ש-\(\frac{1}{7} =(\frac{1}{10} + \frac{4}{10^2 } + \frac{2}{10^3} +\frac{8}{10^4 }  +\frac{5}{10^5 }  + \frac{7}{10^6 }) (\frac{1}{10^6-1}) = \frac{142857}{10^6-1} \)

כלומר כי \(10^6-1=7*142857 \)   זאת אומרת \(10^6=1\mod 7 \)

תוכלו לבדוק שזה המספר הטבעי הקטן ביותר  \(k \) כך ש-\(10^k=1\mod 7 \)   בדיוק כמו גודל המחזור בפיתוח העשרוני של \(\frac{1}{7} \) .

באופן דומה במקרה של \(11 \)   ראינו שהמחזור של \(\frac{1}{11} \) הוא \(2 \) וכמו שאתם ודאי מצפים

המספר הטבעי הקטן ביותר   \(k \) כך ש-\(10^k=1\mod 11 \)  הוא \(2 \) .

הוכחה זהה למקרה של \(\frac{1}{7} \) עבור כל ראשוני \(p \) תיתן שאורך המחזור בפיתוח של \(\frac{1}{p} \) שווה בדיוק למספר הקטן ביותר \(k  \) כך ש- \(10^k=1\mod p \). כיוון שע”פ משפט פרמה מתקיים תמיד \(10^{p-1}=1\mod p \) ברור שאורך המחזור המקסימלי הוא\(p-1 \) .

במקרה שאורך המחזור מקסימלי בפיתוח של \(\frac{1}{p} \) אומרים ש- \(10 \) שורש פרימיטיבי מודולו\(p \) .

שאלה. האם  קיימים אינסוף\(p\) -ים כך ש- \(10 \)שורש פרימיטיבי מודולו \(p \)?

השערת ארטין. לכל מספר שלם נתון \(a \not= 0,1,-1 \) שאיננו חזקה ריבועית של מספר טבעי קיימים אינסוף \(p\)-ים כך ש-\(a\) שורש פרימיטיבי מודולו \(p\).

ב-1983 הוכיחו גופטא ומורטי (Rajiv Gupta and Ram Murty) שקיימת קבוצה ספציפית של 13 מספרים כך שאחד מהם מקיים את השערת ארטין. למעשה הראו גופטא ומורטי שהשערת ארטין נכונה לכל שלושה עשר מספרים שמקיימים תנאי מסויים . רוג’ר הית’-בראון ((Roger Heath-Brown שיפר ב-1986 תוצאה זו כאשר הוכיח שאחד מכל שלשה של מספרים אשר מקיימת מספר תנאים (לא קשים במיוחד לקיום!) הוא שורש פרימיטיבי עבור אינסוף \(p\)-ים. מהמשפט של הית’-בראון נובע למשל כי אחד מכל שלושה ראשוניים הוא פרימיטיבי עבור אינסוף ראשוניים \(p\) תוצאה דומה: אחד מבין שלושת המספרים 10, 11 או 12 פרימיטיבי לאינסוף ערכים של \(p\).