הרמוניות מתמטיות

כמו כל בעלי החיים, גם האדם הוא יצור שמכוון אל העתיד. עיניו קבועות בקִדמת ראשו, מתוך מטרה לאסוף אינפורמציה על המקום שבו הוא עתיד להיות, ולא על המקום בו היה. מחשבותיו נתונות ברובן לעתידו, לא לעברו. הסיבה היא, בפשטות, שכך עוצבו בעלי החיים על ידי האבולוציה. האבולוציה בררה אותן צורות חיים שבעליהן יודעים היטב לכוון עצמם אל העתיד, לשרוד ולהשאיר אחריהם (“אחריהם” בזמן!) צאצאים. תועלתה של הכרת הסדר היא על כן ביכולת לצפות את העתיד. הדבר מסביר את ההנאה שמסב לנו הקצב במוזיקה, משום שקולות קצובים הם צפויים. כשאנו שומעים נקישות תוף קצובות אנחנו יודעים בדיוק מתי תישמע הנקישה הבאה. אלא שכאמור, קצב קבוע לחלוטין הוא צפוי מדי, ולכן אינו מעורר תחושת יופי. איננו מגייסים אנרגיה כדי לנבא אותו, וממילא גם אין אנרגיה שיכולה להיחסך. כדי לעורר תחושת יופי צריך הקצב להיות מורכב דיו, שלא נוכל לפענח אותו בצורה מודעת.

ההנאה מן ההרמוניה מציבה חידה קשה יותר. תופעה מוזרה היא שיש צירופי צלילים נעימים לאוזן, ויש צירופים נעימים פחות. למשל, צליל דוֹ תואם היטב את צליל דוֹ הגבוה ממנו באוקטבה. למעשה, כשמשמיעים אותם בו זמנית קשה להבחין שאלו הם שני צלילים שונים. כך גם הצמדים דוֹ-סוֹל, ו-דוֹ-מי. הצלילים דוֹ-מי-סוֹל מהווים את האקורד (צירוף צלילים) הבסיסי של סולם “דוֹ מז’ור”, שהוא אולי המוכר והבסיסי בין הסולמות, משום שבפסנתר צליליו מנוגנים על הקלידים הלבנים בלבד. יצירה בסולם דוֹ מז’ור תפתח לעתים קרובות בצלילים דו-מי-סוֹל (בסדר כלשהו), תסטה מהם, תנדוד מהם והלאה ולבסוף תחזור אליהם. המוזיקה בנויה על מתח בין סטיות מן ההרמוניה לבין ההרמוניה.

אבל מה עומד מאחורי ההרמוניה? מה עושה צירוף אחד לנעים, ואחר לצורם? למרבה ההפתעה, התשובה לכך היא מתמטית, והיא התגלתה בידי אחת הדמויות הצבעוניות ביותר בתולדות המתמטיקה – פיתָגוֹרָס. פיתגורס היה מייסד ומנהיג של חבורה מסוג נדיר: כת דתית מתמטית. הכת מנתה כ-600 איש ואישה, שהתגוררו במושבה היוונית קרוֹטוֹן שבדרום חצי האי האפֶּניני, הלא הוא איטליה של ימינו, ועסקו בלימוד ובמחקר. את כל רכושם תרמו לקהילה, ואת תגליותיהם נשבעו לשמור בסוד. פיתגורס עבר יום אחד ליד בית מלאכתו של נפח, ושם לב שכאשר הנפח היכה במוטות שהיחס בין אורכיהם הוא פשוט, נאמר – שאחד מהם ארוך בדיוק פי 2 מן השני, או פי \(\frac{3}{2}\), צירוף שני הצלילים נשמע נעים, בעוד שכאשר היחס לא היה פשוט הצירוף היה צורם. 

במונחי ימינו, מבטאים זאת בכך שאם שני צלילים נשמעים טוב יחד, אז יש יחס פשוט בין התדרים שלהם. “תדר” של צליל הוא מספר הריטוטים לשנייה בהשמעתו, או בלשון מדויקת יותר: מספר השיאים לשנייה של גלי הקול. אם הצליל מופק על ידי מיתר, זהו מספר ריטוטי המיתר לשנייה. פער של אוקטבה בין צלילים (כמו בין דוֹ נמוך לדוֹ גבוה)  פירושו יחס של 2 בין התדירויות שלהם: דוֹ גבוה הוא בעל תדירות כפולה מאשר הדוֹ שמתחתיו. לצליל הסוֹל, החמישי באוקטבה (כאשר מתחילים מדוֹ), יש תדר גדול פי \(\frac{3}{2}\) מאשר לצליל הדוֹ הנמוך של אותה אוקטבה. כלומר, על כל 2 ריטוטים של מיתר הדו בפסנתר יהיו 3 ריטוטים של מיתר הסוֹל. גם ביניהם יש אפוא יחס פשוט – 3:2. היחס בין צליל מי לצליל דוֹ הוא 5:4 – אף הוא יחס מספרי פשוט למדי. זוהי הסיבה לכך שדוֹ, מי וסוֹל נשמעים טוב יחד.

pytacora

 פיתגורס מגלה את הקשר בין הרמוניה ומספרים
מתוך תורת המוזיקה של פרנצ’ינו גפוריו, מילאנו 1492

עד כאן ההסבר המתמטי, אבל אין בכך עדיין הסבר להנאה. כדי להבין את מקור ההנאה מצירופי צלילים בעלי יחסי תדרים פשוטים היו נחוצות עוד כ-2400 שנים. מי שגילה זאת היה המתמטיקאי, הפיזיקאי והפיזיולוג הגרמני הרמן פון הֶלְמהוֹלץ (1821 – 1894), שהסביר את ההנאה מן ההרמוניה בתופעה שנקראת “צלילים עיליים”. כאשר מיתר רוטט בתדר מסוים, הוא רוטט באותה עת גם בתדר גדול פי 2, ובתדרים גדולים פי 3, 4 וכו’. הריטוטים המִשניים חלשים יותר, והם חלשים ככל שהיחס גדול יותר (אין כמעט ריטוט בתדר גדול פי 11, נאמר), אבל הם נשמעים. כלומר, כשמשמיעים לנו דוֹ, במרבית המקרים אנחנו שומעים גם את צליל הדוֹ הגבוה באוקטבה, בעל התדר הכפול ממנו, וגם את הסוֹל באוקטבה הגבוהה יותר, שהוא בעל תדר גבוה בדיוק פי 3 מאשר צליל הדו. יחס פשוט בין שני תדרים פירושו קיום צלילים עיליים משותפים לשניהם. למשל, לדוֹ ולסוֹל באותה אוקטבה משותף הצליל העילי סוֹל באוקטבה גבוהה יותר: הוא גבוה פי 3 מן הדוֹ, ופי 2 מן הסוֹל הנמוך. הוא גם לא רחוק משניהם, ולכן יופיע בצורה משמעותית. כך קורה שכאשר משמיעים לנו יחד צלילים כאלה, אנחנו מגלים סדר סמוי. האוזן מזהה את שני הצלילים כשונים, אבל בלי שנדע זאת אנו מגלים שיש לשניים גורם משותף, מה שהופך את תפיסתם לקלה יותר. ברעש שנשמע מתחילה לא מאורגן התגלה סדר מפתיע. כמובן, בכך אין להסביר את ההתרגשות שיכולה לעורר בנו המוזיקה, התרגשות שהיא כנראה פרי משחק בין דיסהרמוניה והרמוניה, אבל זהו הצעד הראשון להבנה.

כל זה היה כמובן מעֵבר לידיעותיהם של היוונים הקדמונים, שלא ידעו מהם תדרים של צלילים. וכשלא יודעים, מפנטזים. כדי להסביר את תופעת ההרמוניה המציאו פיתגורס וחבורתו תיאוריות מרחיקות לכת, בדבר כוחותיהם המאגיים של המספרים ושל היחסים ביניהם. “העולם הוא מספר”, הייתה סיסמתם. כלומר, העולם נשלט על ידי יחסים מספריים פשוטים. כל דבר חשוב בטבע אמור היה לשיטתם של הפיתגוריאנים לציית לחוקים מספריים. הם סברו שיש יחסים פשוטים בין הקְטָרים של מסלולי כוכבי הלכת, ושעקב כך כוכבי הלכת משמיעים “מוזיקה שמימית”. מעבר לכך, הם האמינו שכל גודל משמעותי בעולם חייב להיות ניתן לביטוי כמספר שהוא יחס בין מספרים שלמים.

מספר שהוא מנה של שני מספרים שלמים נקרא “מספר רציונלי” (“רציו” פירושו “יחס”). המספרים השלמים הם רציונליים – 4 למשל הוא רציונלי משום שהוא היחס בין עצמו ובין 1, כלומר 4:1 = 4. כל שבר הוא רציונלי, משום שקו השבר הוא למעשה סימן חילוק: \(\frac{17}{3}\) , למשל, הוא 17:3. הפיתגוריאנים האמינו אפוא שכל גודל חשוב בטבע חייב להיות ניתן לביטוי כמספר רציונלי.

התפכחות

הישגיהם האינטלקטואליים של היוונים הקדמונים היו בבחינת נס. מתי מעט, כמה מאות אלפים, פיתחו מערכות מושגים שמפירותיהן אנחנו מתפרנסים עד עצם היום הזה. מה שדחף אותם לכך היה כבוד אינסופי בפני מושגים מופשטים. להפשטות הם ייחסו כוח מאגי, ובעיניהם הן קדמו לעולם הממשי. היוונים היו הראשונים שחקרו מושגים מופשטים בפני עצמם, ללא קשר לתועלתם בעולם החיצוני. אומנם, גם המצרים והבבלים חקרו מספרים, אבל הם עשו זאת לצרכים מעשיים. היוונים היו הראשונים שראו במספרים עולם ראוי למחקר בשל יופיו וההרמוניות הפנימיות שלו.

אבל אפילו על רקע מכלול תרומותיהם של היוונים מתבלטת הגיאומטריה כמיוחדת במינה. בה הם פיתחו את מושג ה”אקסיומה” וה”הוכחה”, ובה הגיעו למידת ההפשטה המרובה ביותר. אחד מאבות הגיאומטריה היוונית היה פיתגורס עצמו. על שמו (לא לגמרי בצדק) נקרא גם המשפט שנחשב עד היום (בצדק גמור) למשפט הגיאומטרי החשוב והשימושי ביותר: “משפט פיתגורס”. המשפט אומר ששטח הריבוע הבנוי על היתר של משולש ישר זווית שווה לסכום שטחי הריבועים הבנויים על הניצבים. חשיבותו של המשפט הזה היא בכך שהוא מאפשר לחשב אורכי קטעים. 

gtr

משפט פיתגורס: סכום שטחי הריבועים הקטניםת הנשענים על ניצבי המשולש ישר הזוית, שווה לשטח הריבוע הגדול, הנשען על היתר של המשולש.

הנה מקרה פרטי מעניין של המשפט. נתבונן בריבוע שאורך צלעו 1. האלכסון של הריבוע הוא היתר במשולש ישר זווית, ששני ניצביו הם באורך 1.

gtd

על פי משפט פיתגורס, אורך האלכסון של ריבוע שצלעו באורך 1 הוא  \(\sqrt{2}\) 

ממשפט פיתגורס נובע אפוא שריבועו שווה ל: \(1^2 + 1^2 = 2\) . לפיכך אורכו של האלכסון הוא \(\sqrt{2}\) . למשפט פיתגורס הכללי ידועות מאות הוכחות, חלקן קצרות ופשוטות, אבל הוכחת המקרה הזה של המשפט פשוטה במיוחד. אפשר למצוא אותה במקום מפתיע במקצת – דיאלוג מפורסם של סוקרטס בשם “קְרִיטיאַס”. התבוננו בשרטוט הבא:

tr

 שטח הריבוע הנטוי באלכסון (מפוספס אנכית) גדול פי 2 משטח הריבוע הקטן (מפוספס אופקית), משום שהוא מכיל 4 משולשים, בעוד הריבוע הקטן בנוי משני משולשים. על כן צלעו של הריבוע הגדול פי \(\sqrt{2}\)  מצלע הריבוע הקטן.

 נניח שאורך צלע הריבוע הקטן (המסומן בפסים אופקיים) הוא 1. שטח הריבוע הקטן הוא אז \(1*1\) , כלומר 1. הריבוע הגדול, הניצב בשיפוע(המסומן בפסים אנכיים), מורכב מ-4 משולשים, בעוד שהקטן מורכב רק משני משולשים (כל המשולשים חופפים). לכן שטח הריבוע הגדול הוא פי 2 משטח הריבוע הקטן, כלומר 2. אורך צלעו של ריבוע כלשהו הוא השורש הריבועי של השטח שלו, ולכן אורך צלע הריבוע הגדול הוא \(\sqrt{2}\). אבל שימו לב: צלע הריבוע הגדול היא בדיוק האלכסון של הריבוע הקטן! לכן אורך האלכסון הזה הוא \(\sqrt{2}\).

למי שהגיאומטריה עומדת במרכז עולמו, אלכסון של ריבוע הוא ללא ספק גודל טבעי. על פי האמונה הפיתגוריאנית, האלכסון הזה אמור על כן להיות מבוטא באמצעות יחס פשוט בין מספרים שלמים. כלומר, עליו להיות מספר רציונלי. במשך זמן רב ניסו הפיתגוריאנים לבטא את \(\sqrt{2}\) כמספר רציונלי. לבסוף נוכחו בעובדה מפתיעה, ומבחינתם הרסנית: שהדבר אינו אפשרי. \(\sqrt{2}\) אינו רציונלי.

בשל סודיותה של כת הפיתגוריאנים, רב הנסתר בתולדותיה על הנגלֶה. קרוב לוודאי שרבות מן ה”עובדות” המסופרות עליה הן המצאות מאוחרות. על פי אחד הסיפורים, התגלית ש-\(\sqrt{2}\) אינו רציונלי הייתה לבני הכת מכה כה קשה, שהם נשבעו זה לזה לא להוציא את הסוד אל העולם החיצוני. על פי הסיפור הזה, אחד מבני הכת שגילה את הסוד שילם על כך בחייו.

מדוע \(\sqrt{2}\) אינו מספר רציונלי

גילויים של המספרים האי-רציונליים היה מהפכה מתמטית אמיתית, שמלוא משמעויותיה עתיד היה להתברר רק במאה ה-19. אז הבינו המתמטיקאים שהמספרים הרציונליים הם רק חלק קטן מעולם המספרים, וכי ה”חורים” ביניהם, שהם המספרים האי-רציונליים, מרובים מן המספרים הרציונליים עצמם. כל זה התחיל מן התגלית ש-\(\sqrt{2}\)  אינו רציונלי.

ובכן, מדוע \(\sqrt{2}\) אינו רציונלי, כלומר אינו ניתן לביטוי כ-\(\frac{m}{n}\) לשום זוג של מספרים שלמים,\(m\)  ו-\(n\)? נַראה זאת על דרך הדוגמה. מספר רציונלי הקרוב מאוד ל-\(\sqrt{2}\) הוא \(\frac{7}{5}\). הרי \(\sqrt{2}\) הוא מספר שריבועו הוא 2, ואילו \((\frac{7}{5})^2\) שווה ל-\(\frac{49}{25}\), שהוא קרוב מאוד ל-2 (הרי \(2=\frac{50}{25}\)). אבל מראש אפשר היה לדעת שלא ייתכן ש-\((\frac{7}{5})^2\) יהיה בדיוק 2, משום ש-7 הוא מספר אי-זוגי. כידוע \((\frac{7}{5})^2 = \frac{7^2}{5^2}\), ולו היה מתקיים \(\frac{7^2}{5^2} = 2\), היינו מקבלים \(7^2 = 5^2 *2\). מכיוון ש-7 אי-זוגי, גם ריבועו אי-זוגי (הריבוע של 7 הוא \(7*7\), ומכפלת שני מספרים אי-זוגיים היא אי-זוגית). אגף שמאל בשוויון הוא על כן אי-זוגי, בעוד שאגף ימין הוא זוגי, משום שמופיע בו הגורם 2, כלומר השוויון לא ייתכן. אבל שימו לב – הטיעון הזה יהיה נכון לכל שבר שהמונה שלו אי-זוגי. הראינו בכך ששבר שהמונה שלו אי-זוגי אינו יכול להיות שווה ל-\(\sqrt{2}\).

הטיעון יסתיים אם נראה גם ששבר שהמונה שלו זוגי לא יכול להיות  שווה ל-\(\sqrt{2}\). ובכן, נניח שהמונה זוגי. במקרה זה מותר להניח שהמכנה הוא אי-זוגי: אם גם המכנה זוגי, אפשר לצמצם את השבר ב-2. גם כאן יהיה נוח להסתכל בדוגמה. גם המספר \(\frac{10}{7}\) קרוב מאוד ל-\(\sqrt{2}\) – \((\frac{10}{7})^2=\frac{100}{49}\), שהוא קרוב מאוד ל-\(\frac{100}{50}\), שהוא 2. אבל כמו במקרה הקודם, אפשר לדעת מראש ש-\(\frac{10}{7}\) אינו שווה בדיוק ל- \(\sqrt{2}\). לו היה  \(\frac{10}{7}=\sqrt{2}\), היה מתקיים: \((\frac{10}{7})^2=2\), כלומר:\(10^2 = 7^2*2 \) . מכיוון ש-10 הוא מספר זוגי, הריבוע שלו מתחלק ב-4 (הוכיחו לעצמכם שזוהי תכונה כללית של מספרים זוגיים!) בעוד שאגף ימין הוא מכפלת מספר אי-זוגי ב- 2, ומכפלה כזו אינה מתחלקת ב-4! אם כך, גם כאן לא ייתכן שוויון. הטיעון השתמש רק בכך שהמונה של השבר היה זוגי, ו-\(\sqrt{2}\)  אינו יכול על כן להיות גם שבר שהמונה שלו הוא זוגי. יחד הראינו ש-\(\sqrt{2}\) אינו יכול להיות שבר בכלל!

קיימת גם דרך קצרה יותר לומר אותו דבר, אבל היא גם קצת יותר מופשטת. נניח, מתוך מטרה לקבל סתירה, ש- 

\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\), כאשר \(m\) ו-\(n\) מספרים שלמים. משמעות הדבר היא ש -\(2=(\frac{m}{n})^2=\frac{m^2}{n^2}\) . נעביר אגפים ונקבל: \(2n^2=m^2\). מספר גורמי 2 ש-\(m^2\) מכיל הוא זוגי: למשל אם  \(m=1000=2^3*5^2\)(ואז \(m\) מכיל את 2 שלוש פעמים) אז \(m^2 = 2^6*5^4\) מכיל את 2 שש פעמים – פי 2 יותר מאשר \(m\) עצמו. בדומה, \(n^2\) מכיל מספר זוגי של גורמי 2. אבל אז \(2n^2\)  מכיל מספר זוגי+1 של גורמי 2 (בגלל הכפל ב-2), כלומר מספר אי-זוגי של גורמי 2. אם כן, \(2n^2\) מכיל מספר שונה של גורמי 2 מאשר \(m^2\), ולכן לא ייתכן ש -\(2n^2 = m^2\) , שהיא הסתירה המיוחלת.

איך מבטאים אפוא את \(\sqrt{2}\)? אחת הדרכים היא בצורת שבר עשרוני אינסופי: \(\sqrt{2} =1.4142135623…\). השוו זאת עם \(\frac{7}{5}=1.4\), ועם  \(\frac{10}{7}=1.428571428571…\). שימו לב: \(\sqrt{2}\) נמצא כמעט בדיוק באמצע ביניהם! אבל, כמובן, לא בדיוק באמצע: האמצע הוא שבר, ואנו יודעים ש-\(\sqrt{2}\) אינו שבר.