ההוכחה הנכונה למשפט פיתגורס


על אף שמשפט פיתגורס הוא כבר בן למעלה מאלפיים וחמש מאות שנים, הוא עדיין בעל חיוניות ועניין גם לבני דורנו. הוא המפתח לנוסחת המרחק בין נקודות במישור, שפירושו שהוא נמצא בכל מודל במדע ובהנדסה שמכיל גיאומטריה או טריגונומטריה. הוא שותף סמוי למכפלה הסקלרית של וקטורים, ובתפקיד הזה הוא ממלא מקום במשוואות היסודיות של הפיזיקה. הוא הרוח החיה מאחורי משוואות תורת היחסות הפרטית ותורת הקוואנטים. הוא גם אחד המשפטים היחידים שמוכרים בציבור הרחב עם הוכחה.

מאות הוכחות יש למשפט. רובן בעלות אותו אופי: גזירה והרכבה מחדש של צורות. למשל, כמו בהוכחה המשכנעת הבאה:

pitagor

אבל ההוכחות האלה משאירות אותנו בתהייה: אחת העובדות הבסיסיות ביותר בטבע היא בסך הכל עניין של גזירה וצירוף מחדש.

לאחרונה עלעלתי בכתביו של אוקלידס, והגעתי להוכחה שמרבית חברי אומרים עליה שהיא הראשונה שהם מבינים באמת. היא לא רק קצרה ופשוטה, אלא גם אינה נעשית על דרך של קסם של גזירה. היא מגיעה ללב העניין.

משפט פיתגורס, שידוע גם כ”אוקלידס \({I.47}\)” אומר שסכום שטחי הריבועים שבנויים על הניצבים של משולש ישר זווית שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. מתברר שבספר השישי של אוקלידס יש הכללה הרבה פחות מפורסמת, שתופסת את המשפט בקרניו. אין זו חובה שעל צלעות המשולש ייבנו ריבועים. מספיק שהצורות יהיו דומות. למשל, חצאי עיגולים, כמו בציור הבא:

semicircle

הרי השטח פרופורציוני לריבוע של הצלע. מצד שני – מספיק להוכיח שוויון לעיגולים: פירוש שוויון השטחים הוא (חישבו מדוע) ש: \({\pi \frac{a^2}{8}+\pi \frac{b^2}{8}=\pi \frac{c^2}{8}}\), שנותן מייד את המשפט.

למעשה מספיק להראות לצורה אחת ושתי צורות דומות לה, שסכום שטח שתי הצורות על הניצבים שווה לשטח הצורה הבנויה על היתר. הפרופורציונליות לריבוע הצלע תעשה את העבודה.

אבל אם כך, מדוע לא לשים על הצלעות משולשים, כמו בציור הבא?

images (2)

הסתכלו באיור. נאמר שאורכי הניצבים של המשולש הם \({a}\) – \({b}\), ואורך היתר הוא \({c}\).

נאמר ששטח המשולש הבנוי על היתר הוא \({s}\). אזי השטח של המשולשים על הניצבים הם \({\frac{a^2}{c^2}s}\) ו-\({\frac{b^2}{c^2}s}\) בהתאמה. (שטח של משולשים דומים נמצא ביחס ישר לריבוע האורכים שלהם: אם מגדילים את האורכים במשולש פי \({\alpha}\) אז גם האורך וגם הרוחב של המשולש גדלים פי \({\alpha}\), ולכן שטח המשולש גדל פי \({\alpha^2}\)).

המשולשים שעל הניצבים חופפים לשני המשולשים שמחלקים את המשולש המקורי, ואילו המשולש שעל היתר חופף למשולש המקורי. לכן סכום שטחי המשולשים על הניצבים שווה לשטח המשולש על היתר, כלומר

\(\displaystyle \frac{a^2}{c^2}s + \frac{b^2}{c^2}s =s\)

וצמצום ב-\({s}\) נותן

\(\displaystyle \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} =1\)

שהוא משפט פיתגורס.

3 תגובות על ההוכחה הנכונה למשפט פיתגורס

  • מאת סער‏:

    זה כתוב באופן מאוד רשלני, לא ברורה בכלל כוונת המחבר, לא ברור מה הוא מנסה להראות ואיך מה שהוא מראה מוכיח משהו
    גם אם נניח שיש פה איזשהו בדל הוכחה לא ברור של מה ההוכחה, או למה זה מוכיח את מה שהוא רוצה להראות או למה זה נכון
    בפרט אני לא חושב שמישהו בגיל תיכון יבין מה הכוונה פה …
    וחבל, כי הרעיון מצויין (המקורי, של אוקלידס)

  • מאת בן‏:

    לדעתי זה מספיק טוב בשביל פוסט לא פורמלי. אפשר “פשוט לראות את זה”. אולי אין פה הוכחה שחור על גבי לבן אבל יש פה טיעון משכנע בדבר קיומה של הוכחה.

    לדעתי ההוכחה הקרובה ביותר ל”למה זה נכון” ו”מה קורה שם” היא זו שנובעת מהאקסיומות של מרחב מכפלה פנימי.

  • מאת יוסי‏:

    השבוע בל”נ תתפרסם תוספת למאמר