האם סביר לטעון שπ הוא “אקראי”?

זהו כמעט “קונצנזוס”, כאשר כותבים על \({\pi}\) (או על קבועים אחרים כמו \({e}\)) לאמר ש “אין שום ספק ש… יש ל \({\pi}\) תכונת “אקראיות” זו או אחרת , אפילו אם אין אנו יודעים (לעת עתה…) להוכיח זאת”. למשל:

א. האם בפיתוח העשרוני של \({\pi}\) מופיעה כל סיפרה אינסוף פעמים? או אולי ממקום מסויים והלאה לא תופיע יותר הסיפרה \({6}\), למשל? לא רק שאין אנו יודעים, אין למתמטיקאים כיום מושג איך להתחיל לגשת לבעייה זו, במובן של מציאת הוכחה לכאן או לכאן. אבל כולם כותבים ש”מובן מאליו” שמתקיים הרבה יותר מזה, למשל שהשכיחות של כל סיפרה (המוגדרת כגבול של השכיחות בין \({N}\) הספרות הראשונות כאשר \({N\rightarrow\infty}\)) היא \({ 10\%}\), שהשכיחות של כל זוג ספרות להופיע בסמיכות (למשל 14) הוא \({1\%}\), בקיצור – שאפשר לקחת את סידרת הספרות של \({\pi}\) כסידרה “אקראית”.

ב. למרות שזה “מובן מאליו…” הוכיחו אחרי מאמצים רבים במאה ה-\({19}\) ש \({\pi}\) מספר אירציונלי, ואפילו מספר טרנסצנדנטי, כלומר לא מקיים שום משוואה אלגברית מעל הרציונליים, כלומר משוואה שמורכבת מארבע פעולות החשבון ומקדמים רציונליים. אבל מה אם נוסיף עוד פעולות, כגון חזקה? האם \({\pi^\pi}\), \({\pi^{\pi^\pi}}\), \({\pi^{\pi^2+1}}\) לא יכולים להיות רציונליים? – איש לא יודע איך לגשת לזה. ולגבי מספרים גדולים מאוד, מעבר לאפשרויות החישוב אפילו של האדירים שבמחשבים – אולי

\(\pi^{\pi^{\cdot^{\cdot^{\cdot^\pi}}}}\)

(\({10}\) פעמים \({\pi}\)) הוא מספר שלם? איש לא יכול להוכיח שלא. למרות ש”כולם” בטוחים שדבר כזה לא יכול להיות…

אני טוען שהבטחון ב”אקראיות” הזאת של \({\pi}\) היא ממש דעה קדומה. הלא \({\pi}\) הוא מספר מאוד מאוד מסויים ומאוד מאוד מיוחד – היחס בין היקף מעגל לקוטרו. אז למה שהוא לא יקיים שוויונות מיוחדים, שנמצא ונוכיח בעתיד?

(אותו דבר אפשר להגיד על סידרת המספרים הראשוניים – כולם מצפים, ולפעמים מוכיחים ויודעים, שיהיו להם תכונות אקראיות. (כמובן לא, למשל ש- \({50\%}\) מהם זוגיים…) אבל גם זו סידרה מאוד מאוד מיוחדת, ולמה שלא יהיו לה תכונות מיוחדות?. שימו לב לכך שהעמדנו מספר ממשי מסויים – \({\pi}\) – מול סידרה מסויימת של טבעיים – סידרת הראשוניים. לפחות מבחינת העוצמה, במובן של תורת הקבוצות, יש לקבוצת הממשים ולקבוצת סדרות הטבעיים אותה עוצמה – עוצמת הרצף.)

אתנחתא קצרה: התבוננו במספר

\(\displaystyle \frac{\ln[(320\cdot2001)^3+720+24]}{\sqrt{163}}\)

ב \({29}\) הספרות הראשונות הוא שווה ל \({\pi}\), אבל אחר כך לא! (רק מחשבון בדיוק גבוה ירגיש בהבדל). זה לא “סתם” – יש לזה סיבה במתמטיקה די “גבוהה”.

ואכן, לפעמים \({\pi}\) מקיים שוויונות (אלא שכבר התרגלנו אליהם, ולכן לא רואים אותם כדוגמת נגד ל”אקראיות” של \({\pi}\)…).

למשל, נתבונן בטור האינסופי

\( \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2}=1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots \ \ \ \ \ (1)\)

מתקיים

\( \frac1{n^2}\le\frac1{n(n-1)}=\frac1{n-1}-\frac1{n},\qquad n=2,3,\ldots\)

לכן הטור (1) קטן מהטור

\(1+(1-\frac12)+(\frac12-\frac13)+(\frac13-\frac14)+\ldots=2\)

ולכן יש ל (1) סכום סופי, אומרים שהוא מתכנס. נעיר שסכום הטור

\(\sum_{n=1}^\infty\frac1{n}=1+\frac1{2}+\frac1{3}+\ldots\)

הוא \({\infty}\), כי סכום האיברים מהמקום ה \({2^k+1}\) עד המקום ה \({2^{k+1}}\) גדול מ \({1/2}\) – בידקו.

(וכולם יודעים שאם \({|a|<1}\) אזי הטור הגיאומטרי \({1+a+a^2+a^3+\ldots}\) מתכנס וסכומו \({1/(1-a)}\), למשל \({1+2^{-1}+2^{-2}+2^{-3}+\ldots=2}\).)

אם כך, הטור (1) הוא אחד הטורים המתכנסים הפשוטים ביותר שאפשר לבנות. יש לו סכום סופי. האם קיבלנו כך קבוע מתמטי חדש, כדוגמת \({\pi}\), \({e}\), \({\ln2}\)?

משפט.

סכום הטור (1) הוא \({\displaystyle{\frac{\pi^2}{6}}}\).

הוכחה.

ההוכחה הבאה נראית כאילו “נפלה מהשמים”, אבל המניע לה היא תורת “טורי פוריה” \({Fourier}\).

נתבונן בפונקציות חסומות (תמיד נניח שהן מספיק “הגונות” כך שלאינטגרלים שנכתוב יש משמעות) המוגדרות באינטרוול \({[0,\frac\pi2]}\). לגבי פונקציות \({f}\), \({g}\) כאלה נשתמש בסימון

\(\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle:=\int_0^{\frac\pi2}f(x)g(x)\,dx.\)

\({\left\langle f,g\right\rangle}\) היא מעין “מכפלה”, רק שהיא נותנת משתי פונקציות מספר. היא מקיימת את חוקי החילוף והפילוג:

\(\displaystyle \left\langle f,g\right\rangle=\left\langle g,f\right\rangle,\qquad \left\langle f+g,h\right\rangle=\left\langle f,h\right\rangle+\left\langle g,h\right\rangle.\)

בנוסף לכך, עבור כל \({f}\)

\(\displaystyle \left\langle f,f\right\rangle=\int_0^{\frac\pi2}f^2(x)\,dx\ge0.\)

ניזכר בכמה נוסחאות טריגונומטריות:

\(\sin(2n-1)x\sin(2m-1)x=\frac{1}{2}[\cos2(m-n)x-\cos2(m+n-1)x].\)
\(\int_0^{\frac\pi2}\cos2kx\,dx=\frac1{2k}\sin2kx|_0^{\frac\pi2}=0,\qquad k\ne0\)
\(\left\langle\sin(2n-1)x,\sin(2m-1)x\right\rangle=0,\qquad m,n=1,2,\ldots,\quad m\ne n\)
\(\left\langle\sin(2n-1)x,\sin(2n-1)x\right\rangle= \int_0^{\frac\pi2}\frac{1}{2}[1-\cos2(2n-1)x]\,dx=\frac\pi4 \)

תהי \({f}\) פונקציה חסומה על \({[0,\frac\pi2]}\).

\(a_{2n-1}:= \left\langle f,\sin(2n-1)x\right\rangle,\qquad n=1,2,\ldots\)
\(g:= \frac\pi4f-[a_1\sin x-a_3\sin 3x-\ldots-a_{2N-1}\sin(2N-1)x]\)
\(0\le\left\langle g,g\right\rangle = \left(\frac\pi4\right)^2\left\langle f,f\right\rangle- 2\frac\pi4[a_1^2+a_2^2+\ldots a_{2N-1}^2]+ \frac\pi4[a_1^2+a_2^2+\ldots a_{2N-1}^2]=\)
\(=\left(\frac\pi4\right)^2\left\langle f,f\right\rangle-\frac\pi4[a_1^2+a_2^2+\ldots a_{2N-1}^2]\)
\(a_1^2+a_2^2+\ldots a_{2N-1}^2\le\frac\pi4\left\langle f,f\right\rangle \)

ומכאן שהטור \({\sum a_{2n-1}^2}\) מתכנס – יש לו סכום סופי. לכן עבור כל \({\epsilon>0}\) יש רק מספר סופי של \({a_{2n-1}^2}\)-ים שגדולים מ-\({\epsilon}\). ממקום מסויים יהיה \({a_{2n-1}^2<\epsilon}\). במלים אחרות, \({a_{2n-1}\rightarrow 0}\).

ניקח כעת

\(\displaystyle f(x):=\frac{x}{\sin x},\qquad 0<x\le\frac\pi2,\qquad f(0):=1\)

נזכיר שכאשר \({x\rightarrow 0}\) , \({\frac{x}{\sin x}\rightarrow 1}\), ולכן \({f}\) רציפה וחסומה.

\(\displaystyle a_{2n-1}=\left\langle f,\sin(2n-1)x\right\rangle=\left\langle x,\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}\right\rangle\rightarrow 0.\)

מהו \({\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x}}\) ? מתקיים

\(\cos2kx\sin x = \frac{1}{2}[\sin(2k+1)x-\sin(2k-1)x] \)
\(\cos2x+\cos4x+\ldots\cos2(n-1)x]\sin x= \)
\(\frac{1}{2}[(\sin3x-\sin x)+(\sin5x-\sin3x)+\ldots+(\sin(2n-1)x-\sin(2n-3)x)]=\)
\(\frac{1}{2}[\sin(2n-1)x-\sin x]\)
\(\frac{\sin(2n-1)x}{\sin x} = 1+2[\cos2x+\cos4x+\ldots+\cos2(n-1)x]. \)

וקיבלנו

\(\displaystyle \left\langle x,1+2[\cos2x+\cos4x+\ldots+\cos2(n-1)x]\right\rangle\rightarrow 0,\)

כלומר

\(\displaystyle \left\langle x,1\right\rangle+2[\left\langle x,\cos2x\right\rangle+\left\langle x,\cos4x\right\rangle+\ldots+\left\langle x,\cos2(n-1)x\right\rangle]\rightarrow 0. \ \ \ \ \ (2)\)

אבל

\(\displaystyle \left\langle x,1\right\rangle = \int_0^{\frac\pi2}x\,dx=\frac{1}{2} x^2|_0^{\frac\pi2}=\frac{\pi^2}8.\)

\(\left\langle x,\cos2kx\right\rangle = \int_0^{\frac\pi2}x\cos2kx\,dx= \int_0^{\frac\pi2}\left[\frac1{2k}x\sin2kx\right]’\,dx- \frac1{2k}\int_0^{\frac\pi2}\sin2kx\,dx=\)
\(=\frac1{2k}x\sin2kx|_0^{\frac\pi2}+\frac1{4k^2}\cos2kx|_0^{\frac\pi2}= 0+\frac1{4k^2}[(-1)^k-1] \)

זה שווה \({0}\) אם \({k}\) זוגי ו \({-\frac1{2k^2}}\) אם \({k}\) איזוגי.

ולבסוף (2) מקבלת את הצורה

\(\displaystyle \frac{\pi^2}8=\frac1{1^2}+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\ldots\)

אבל

\(\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots=\)
\(=\frac1{1^2}+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\ldots+ \frac14\left[\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots\right].\)
\(\frac34\left[\frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots\right]=\)
\(=\frac1{1^2}+\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\ldots. \)

ולבסוף

\(\displaystyle \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\ldots= \frac43\left[\frac1{1^2}+\frac1{3^2}+\ldots\right]= \frac43\cdot\frac{\pi^2}8=\frac{\pi^2}6\)

וגמרנו.

מקובל לסמן ב \({\zeta(m)}\) (פונקצית זתא של אוילר ורימן) את סכום הטור

\(\displaystyle \zeta(m):=\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^m}=1+\frac1{2^m}+\frac1{3^m}+\ldots.\)

ראינו ש \({\zeta(2)=\frac{\pi^2}6}\). גם \({\zeta(m)}\) עבור \({m=3,4,\ldots}\) הוא סופי (הטור מתכנס)- ככל ש \({m}\) גדול יותר אברי הטור יותר קטנים ולכן “מתכנסים יותר מהר” – הבהירו.

עבור \({m}\) זוגי אפשר לבטא את \({\zeta(m)}\) ככפולה רציונלית של חזקה של \({\pi}\), בדומה ל \({\zeta(2)}\). מכאן שהם אירציונליים (כי \({\pi}\) טרנסצנדנטי). למשל:

\(\displaystyle \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90},\qquad\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945},\qquad \zeta(8)=\frac{\pi^8}{9450}.\)

באשר ל \({m}\) איזוגי, עד כמה שידוע לי לא ידועות שום נוסחאות המקשרות אותם לקבועים כמו \({\pi}\). בערך ב \({1980}\) הוכיח \({Roger Apéry}\) ש \({\zeta(3)}\) אירציונלי. לגבי \({\zeta(5),\zeta(7),\ldots}\) אפילו זה לא ידוע, עד כמה שידוע לי.

7 תגובות על האם סביר לטעון שπ הוא “אקראי”?

  • מאת יוסי‏:

    שלום, האם תוכלו לפרט קצת יותר איך הגעתם לאי השוויון בקטע הזה:
    a2n−1:=⟨f,sin(2n−1)x⟩,n=1,2,…
    g:=π4f−[a1sinx−a3sin3x−…−a2N−1sin(2N−1)x]
    0≤⟨g,g⟩=(π4)2⟨f,f⟩−2π4[a21+a22+…a22N−1]+π4[a21+a22+…a22N−1]=
    =(π4)2⟨f,f⟩−π4[a21+a22+…a22N−1]
    a21+a22+…a22N−1≤π4⟨f,f⟩
    שזה הקטע בו יצרתם את פונקציה g והראתם שהטור מתכנס, תודה.
    (אולי לא הייתי כל כך מובן אז תגידו לי)

  • מאת יוסי כהן‏:

    אעביר את שאלתך לכותב. תודה.

  • מאת יוסי‏:

    ועוד שאלה קטנה למה הפונקציה היא תמיד גדולה או שווה לאפס?

  • מאת אךיהו לוי‏:

    אני מודה לך על תגובתך. אשתדל לפרט יותר:

    כדי לא להיות מיסתורי מדיי, מה שאני עושה כאן הוא, בעיקרו של דבר, להגדיר מקדמיי פורייה
    (Fourier)
    של פונקצייה חסומה ולהוכיח שהם שואפים לאפס – לטענה זו קוראים משפט קושי-רימן
    Cauchy-Riemann

    \newcommand{\LA}{\left\langle} \newcommand{\RA}{\right\rangle}
    \newcommand{\eps}{\varepsilon}

    אם כך, עבור כל פונקצייה חסומה
    על $f$
    $[0,\frac\pi2]$
    אנו מגדירים סידרה, בה, לשם הנוחיות, לוקחים רק אינדקסים איזוגיים
    $$a_{2n-1}:=\LA f,\sin(2n-1)x\RA,\qquad n=1,2,\ldots$$
    זו צורה מסויימת של סידרת מקדמי פורייה.

    כעת, עבור כל
    כזו, אני $f$
    רוצה להוכיח אישוויון, שבשבילו אסמן
    $$g:=\frac\pi4f-[a_1\sin x-a_3\sin 3x-\ldots-a_{2N-1}\sin(2N-1)x].$$
    לגבי
    $g$
    זו, מתקיים, כמו לגבי כל פונקצייה
    $$0\le\LA g,g\RA$$
    כי זה אינטגרל של
    $g^2$
    שהוא חיובי.

    לפי ההגדרה של
    $g$
    $$0\le\LA g,g\RA=$$
    $$\LA\frac\pi4f-[a_1\sin x-a_3\sin 3x-\ldots-a_{2N-1}\sin(2N-1)x],
    \frac\pi4f-[a_1\sin x-a_3\sin 3x-\ldots-a_{2N-1}\sin(2N-1)x]\RA$$
    כעת נשתמש בחוק הפילוג של
    $\LA,\RA$
    כלומר נפתח את הסוגריים,
    כאשר אנו זוכרים את ההגדרה של ה
    $a_{2k-1}$
    למעלה
    וכן את מה שמצאנו למעלה, ש
    $$\LA\sin(2n-1)x,\sin(2m-1)x\RA=0,\qquad m,n=1,2,\ldots,\quad m\ne n$$
    $$\LA\sin(2n-1)x,\sin(2n-1)x\RA=\frac\pi4.$$

    אם כך,
    $$\LA g,g\RA=$$
    $$=\left(\frac\pi4\right)^2\LA f,f\RA-
    2\frac\pi4[a_1^2+a_2^2+\ldots a_{2N-1}^2]+
    \frac\pi4[a_1^2+a_2^2+\ldots a_{2N-1}^2]=$$
    $$=\left(\frac\pi4\right)^2\LA f,f\RA-\frac\pi4[a_1^2+a_2^2+\ldots a_{2N-1}^2].$$
    וכאמור, זה אישלילי, לכן
    $$a_1^2+a_2^2+\ldots a_{2N-1}^2\le\frac\pi4\LA f,f\RA$$
    שימו לב שזה נכון עבור כל
    $N$
    זה אומר שהסכומים החלקיים של הטור
    $$\sum a_{2n-1}^2$$
    לא יכולים לעבור מעל החסם הסופי
    $$\frac\pi4\LA f,f\RA$$
    כלומר הטור מתכנס.

    וכמובן, כמו לגבי כל טור מתכנס של אברים אישליליים (כאן: ריבועים), עבור
    $\eps>0$
    כלשהו, אפילו קטן מאוד
    יכול להיות רק מספר סופי של
    אברי הטור שהם גדולים מ
    $\eps$
    במלים אחרות, ממקום מסויים והלאה הם יהיו קטנים ממנו.
    זה אומר שהם שואפים לאפס.

  • מאת יוסי‏:

    תודה רבה אבל בכל מקרה הבנתי קודם

  • מאת אליהו לוי‏:

    אאופס… בתגובה הקודמת שלי צריך להיות: המשפט שמקדמי פוריה
    fourier
    שואפים לאפס הוא משפט רימן-לבג
    Riemann-Lebesgue
    ולא מה שנכתב. אני ממש התבלבלתי – באמת סליחה

  • מאת אליהו לוי‏:

    לגבי פאי, כדאי מאוד להסתכל בהרצאה של
    Jonathan M. Borwein and Scott T. Chapman
    ל”יום פאי” 3/14/15 (14 במרץ 2015 בסימון האמריקאי) ב
    http://www.carma.newcastle.edu.au/jon/31415talk.pdf
    בביבליוגרפיה שם מוזכרים גם מאמרים שהופיעו ב
    American Mathematical Monthly
    בהם מוצעות הוכחות אחרות לקשר בין הטור לפאי שהוכח במאמר