דבר העורך

מה זו מתמטיקה? שאלה קשה באמת. בגיליון הזה תמצאו פורום לדיון בשאלה הזאת (כאן) – נשמח לתשובותיכם. אבל ברור דבר אחד: מתמטיקה עושה הפשטות של מה שקורה בעולם. וככל שמתקדמים במתמטיקה, מידת ההפשטה גדולה יותר. מושג המספר הוא כבר הישג גדול של ההפשטה האנושית: משלושה תפוחים, שלושה חתולי ושלושה ילדים יצר האדם את המושג המופשט של המספר \({3}\). מאחורי ההפשטה הזאת עומדת ההבנה שמבחינת הפעולות, לא חשוב מה מונים: אם תצרפו \({3}\) עפרונות ל-\({2}\) עפרונות תקבלו \({5}\) עפרונות, ואם תצרפו \({3}\) תפוחים ל-\({2}\) תפוחים תקבלו \({5}\) תפוחים. לכן אפשר לכתוב בקיצור \({3+2=5}\). בשלב ההפשטה הבא, האלגברה, מדברים כבר על מספרים כלליים. בגיליון הזה נספר על מושג מופשט מאוד: חבורה. חבורה היא קבוצה עם פעולה, שמקיימת תכונה פשוטה מאוד: הפיכות. יש פעולות הפיכות בחיים – אם הלכת צעד צפונה אתה יכול לחזור לנקודת המוצא אם תלך צעד דרומה. יש גם פעולות לא הפיכות – למשל, אם בטעות שמתם מלח בתה במקום סוכר, יהיה לכם קשה מאוד להפוך את הפעולה הזאת. כנראה תצטרכו להכין כוס תה מחדש. ובכן, חבורה היא קבוצה עם פעולה הפיכה. למשל, החיבור במספרים השלמים הוא הפיך – הפעולה ההפוכה היא חיסור. כפל במספרים הממשיים בלי \({0}\) גם הוא הפיך. הפעולה ההפוכה היא חילוק. במספרים השלמים הכפל אינו פעולה הפיכה, במובן זה שהחילוק, הפעולה הטבעית ההפוכה, אינו מוגדר לכל שני מספרים. למשל, \({1:2}\) אינו מוגדר בשלמים.

בגיליון הזה נלמד על המושג הזה, של החבורה. חבורות הן דבר שימושי מאין כמותו. תורת החלקיקים האלמנטריים, למשל, מבוססת על חבורות. בגיליון הזה נלמד על שימוש אחד של החבורות: מציאת שלשות פיתגוריות. במאמר של אמנון יקותיאלי מאוניברסיטת בן גוריון נעשה קישור יפה בין השלשות האלה, מספרים מרוכבים ומושג החבורה.