אלכסנדר גרותנדיק – האיינשטיין של המתמטיקה

לאלברט איינשטיין לא היה שני בפיזיקה של המאה העשרים. הוא יצר את שתי התורות הגדולות ששלטו בפיזיקה לאורך כל המאה – תורת היחסות ותורת הקוואנטים. חשיבתו הפיזיקלית הייתה מופשטת יותר מכל מה שנודע לפניו. הוא פשוט “ראה” דברים.

האם יש דמות כזו גם במתמטיקה של המאה העשרים? מישהו שהפך את התפיסה של תורות שלמות? מועמד אחד בולט להיות במעמד הזה הוא המתמטיקאי הצרפתי אלכסנדר גרותנדיק \({(Alexander~~Grothendieck)}\). רבים רואים בו את המתמטיקאי הגדול של המאה העשרים, ויש אכן כאלו שקוראים לו ה”איינשטיין של המתמטיקה”. גישותיו החדשות, והמופשטות לעילא, שינו את פניהן של תורת המספרים, ושל תחום שנקרא “גיאומטריה אלגברית”. זהו התחום שחוקר את קבוצות הפתרונות של פולינומים בהרבה משתנים. בזכותו הגישות האלה ניתן היה לפתור בעיות שהיו פתוחות זמן רב. המאמר הזה הוא לזכרו: גרותנדיק נפטר לפני כחודשיים, ב-\({13}\) בנובמבר \({2014}\).

כסטודנט לתואר שני קיבלתי מן המנחה שלי ספרון, הדוקטורט של גרותנדיק, שנכתב בשנות ה-\({50}\) של המאה העשרים. התחום היה אנליזה פונקציונלית, שחוקרת את ההכללה של המרחב שאנחנו מכירים לממדים אינסופיים. המנחה שלי הסביר לי שבאותו זמן, יותר מעשרים שנים אחרי כתיבת הדוקטורט הזה, אנשי האנליזה הפונקציונלית עדיין קוראים אותו ודולים ממנו פנינים למחקריהם. הופתעתי מאוד אחר כך כשלמדתי שזה בכלל אינו התחום העיקרי של גרותנדיק: מייד אחרי הדוקטורט עבר לגיאומרטיה אלגברית, תחום שלכאורה אין לו הרבה קשר לאנליזה פונקציונלית. אבל מתברר שהוא לקח מן התחום הישן רעיונות רבים לתחום החדש.

חייו של גרותנדיק יכלו לשמש חומר לרומן מרתק גם ללא צידם המתמטי. הוא נולד לתוך זמנים קשים, במקום הלא נכון להורים ממוצא ואמונות לא נכונות. הוא נולד בברלין, ב-\({1928}\), לאב יהודי שהיגר לגרמניה מרוסיה, ולאם פרוטסטנטית. שני הוריו היו אנרכיסטים פעילים, וב-\({1933}\), כשהיטלר עלה לשלטון, כם הפקידו אותו בידי כומר שהסכים לגדלו ללא תשלום, ונסעו לצרפת ומשם לספרד, כדי להשתתף במלחמת האזרחים. לאחר שחזרו, נשלחו אלכסנדר ואמו למחנות מעצר, ואילו אביו נשלח למחנה ריכוז, שם מת ב-\({1942}\).

מורה של גרותנדיק הכיר בכשרונו, ושלח אותו לפריס. שם כתב את הדוקטורט שלו באנליזה פונקציונלית, דוקטורט שכאמור הפך למשך שני עשורים לתנ”ך זוטא לאנשי התחום. אחר כך עבר לגיאומטריה אלגברית. שם במהרה הפך את התחום. צורת המחשבה שלו, השפה התאורית שבה נהג לקרוא לאובייקטים שעסק בהם, כמו זרעים, נבטים, וכו’ הפכה לקלסית ומופיעה היום בכל ספר מודרני בגיאומטריה אלגברית. הגיאומטריה האלגברית חוקרת צורות הנתונות על-ידי פולינומים. צורות אלו נקראות יריעות. למשל, עיגול זה אוסף נקודות \({(x,y)}\) במישור כך ש-\({x^{2}+y^{2}=1}\). גרותנדיק אמר פעם שכשהוא גילה בילדות שצורה כל כך סימטרית ויפה נתונה על-ידי משוואה כל-כך פשוטה הוא הוקסם. אם נתונים \({N}\) פולינומים ב-\({m}\) משתנים

\(\displaystyle f_{1}(x_{1},x_{2},…,x_{m}),\, f_{2}(x_{1},x_{2},…,x_{m})…,\, f_{N}(x_{1},x_{2},…,x_{m}) \)

 וסף האפסים המשותפים שלהם נקרה יריעה אפינית. בגיאומטריה אלגברית לכל יריעה אפינית \({X}\)מתאימים חוג הפונקציות הפולינומיאליות \({\mathcal{O}_{X}(X)}\) על היריעה. רעיון מרכזי של תחילת ואמצע מאה ה-\({20}\) היה שחוג הפונקציות אומר הכל על היריעה. כלומר בהינתן \({\mathcal{O}_{X}(X)}\) יש תהליך טבעי שמאפשר לשחזר בצורה חד משמעית את \({X}\).

גרותנדיק טען שמה שמעניין אינם אובייקטים מתמטיים, אלא הדרך שבה האובייקט מתייחס לאובייקטים אחרים בעולם. למשל, לא המספרים עצמם הם שמעניינים, אלא הפונקציות מן המספרים לאובייקטים אחרים. בעזרת המושגים המופשטים שהמציא הוא ולתלמידו פייר דלין הצליחו להוכיח השערה שנקראת “השערת רימן לשדות סופיים”. זהו אחד המשפטים המרכזיים של המתמטיקה של המאה ה-\({20}\).

(השערת רימן היא כיום, לאחר שנפתרה השערת פרמה, ההשערה המפורסמת ביותר במתמטיקה, ומזה יותר ממאה שנים מכירים בה כהשערה המרכזית של תורת המספרים. שדה סופי הוא קבוצת מספרים סופית שעליה מוגדרות ארבע פעולות החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק בכל מספר שאינו אפס. דוגמה: המספרים מודולו מספר ראשוני. האם תוכלו למצוא מהו \({3:4}\) בשדה \({0,1,2,3,4}\) כשהכפל הוא מודולו \({5}\)? כלומר – איזה מספר, כשכופלים אותו ב-\({5}\), משאיר שארית \({3}\) מ-\({5}\)?)

בזכות הישגיו קיבל גרותנדיק ב-\({1966}\) את פרס פילדס, המקביל המתמטי של פרס נובל. הוא זכה בעוד פרסים יוקרתיים, אבל סירב לקבלם. כבן להורים מרדנים, ולעם נרדף, הפך לאנטי ממסדי יותר ויותר. בזמן מלחמת ויאטנם נסע לצפון ויאטנם ללמד את התושבים מתמטיקה. אחר כך סירב להמשיך במכון שהקימו בפריס, יש טוענים במיוחד עבורו, משום שטען שהוא ממומן על ידי כוחות אימפריאליסטים. הוא התחיל להתעניין בביולוגיה ובשימור הסביבה, וב-\({1988}\), בגיל \({60}\), פרש מחברת בני האדם ועבר להתגורר בהרי הפירנאים, בבקתה מבודדת. הוא המשיך לכתוב מתמטיקה, והותיר אחריו \({20,000}\) עמודי רשימות, שאותם ציווה להשמיד אחרי מותו. יש לשער שכמו במקרה של קפקא, שידידו מקס ברוד סירב למלא את צוואותו ולהשמיד את כל כתביו שלא פורסמו בעודו בחיים, גם במקרה זה הצוואה לא תקוים.