אינסוף מספרים שסכומם סופי

את הפילוסוף היווני זֶנוֹן מאֶלֵיאָה (425-490 לפנה”ס) הטרידו שאלות בדבר היחס בין הרגעי והכללי. אלפיים שנים אחריו יעסקו מתמטיקאים באותן שאלות וימציאו בעקבות זאת את החשבון הדיפרנציאלי. אבל זנון, שלא הכיר את המושגים הנחוצים, היה סבור שהגיע לסתירות. המפורסמת ביניהן היא “פרדוקס אכילס והצב”. במקור מדבר הפרדוקס על תחרות ריצה בין אכילס לבין צב, אבל כדי לא לחזור על הנוסח המוכר והנדוש, אכתוב את הפרדוקס בצורה מעט שונה מן המקובל, כתחרות בין שני מחוגי השעון. השאלה היא זו:

מחוגי השעון נפגשים בשעה \({12}\). באיזו שעה ייפגשו בפעם הבאה?

הפרדוקס של זנון אומר שהדבר לא יקרה אף פעם. זהו אבסורד, אבל לזנון הייתה “הוכחה” לכך, והרי היא לפניכם. בשעה \({1}\) בדיוק משיג המחוג הקטן את הגדול, משום שהוא מצביע על \({1}\) ואילו המחוג הגדול מצביע על \({12}\). עד שיגיע המחוג הגדול ל-\({1}\), יתקדם המחוג הקטן מעט. למעשה, אנחנו יודעים בדיוק כמה –\({\frac{1}{12}}\)  של שעה, משום שמהירותו היא \({\frac{1}{12}}\) ממהירות המחוג הגדול, והמחוג הגדול התקדם שעה אחת, מ-\({12}\) ל-\({1}\). המחוג הקטן מצביע עתה על השעה \({1\frac{1}{12}}\) (\({1}\) ו-\({5}\) דקות), והמחוג הגדול צריך להגיע גם לשעה זו. אבל עד שיעשה זאת, יתקדם המחוג הקטן עוד קצת. למעשה, אנחנו יודעים בדיוק כמה: פי \({12}\) פחות מן המחוג הגדול, כלומר \({\frac{1}{12*12} = \frac{1}{144}}\) של שעה. המחוג הגדול צריך להגיע לאותה שעה, ובינתיים יתקדם המחוג הקטן עוד מעט, \({\frac{1}{12*144} = \frac{1}{1728}}\) של שעה. וכך יימשכו הדברים: כל פעם שהמחוג הגדול יגיע למקום שבו היה קודם לכן המחוג הקטן, המחוג הקטן יתקדם בינתיים עוד מעט. נראה אם כן שהמחוג הגדול לעולם לא יוכל להדביק את המחוג הקטן! תמיד יהיה ביניהם פער כלשהו, אף אם הוא קטן והולך. בפרדוקס המקורי, שבו כאמור אכילס מתחרה בריצה עם צב, אכילס נותן לצב “פור” כלשהו. על פי אותו נימוק בדיוק, אכילס לא יוכל לעולם להשיג את הצב, משום שבכל פעם שיגיע למקום שבו היה הצב קודם לכן, הצב יתקדם בינתיים, אף אם מעט. אלא שאנו יודעים כמובן שהמחוג הגדול ישיג את הקטן, ואכילס ישיג די מהר את הצב, שפירושו שהוכחתו של זנון מוטעה. אבל היכן הטעות?

לפני שנשיב על כך, נשאל את עצמנו: באיזו שעה בדיוק נפגשים המחוגים? אפשר לכתוב משוואה, ולפתור אותה. אבל יש דרך יפה והרבה יותר פשוטה לעשות זאת. במשך \({12}\) שעות נפגשים שני המחוגים בדיוק \({11}\) פעמים: כל שעה שלמה, ועוד קצת; פרט לשעה \({11}\) וקצת, משום שאז הפגישה היא כבר ב-\({12}\), ולא ב”\({11}\) וקצת”. עתה יש לשים לב לכך שהזמן החולף בין כל שתי פגישות של המחוגים הוא קבוע. דרך קלה לראות זאת היא למחוק את המספרים מן השעון, ולסובב אותו כך שבזמן פגישת המחוגים נראה כאילו שני המחוגים מצביעים על השעה \({12}\): ברור עתה שעד לפגישה הבאה יעבור בדיוק אותו זמן כפי שעבר בין השעה \({12}\) לבין המפגש הבא של המחוגים. לפיכך \({12}\) שעות היום מתחלקות ל-\({11}\) פרקי זמן שווים, שעוברים בין הפגישות של המחוגים. לכן בין כל שתי פגישות חולפים \({\frac{12}{11}}\) (\({12}\) חלקי \({11}\)) של שעה. הפגישה הראשונה אחרי \({12}\) תהיה אם כן בשעה \({\frac{12}{11}}\), כלומר \({1\frac{1}{11}}\), שהוא מעט לפני \({1}\) ו-\({6}\) דקות.

היכן טעה זנון? עד מקום מסוים טיעונו נכון, אלא שהוא טעה במסקנה. הוא פירק את פרק הזמן עד לפגישה הבאה של המחוגים לאינסוף חלקים. סכומם של אינסוף פרקי הזמן האלו (בשעות) הוא \({1 + \frac{1}{12}+ \frac{1}{144}+ \frac{1}{1728}+ \dots}\). זהו “טור אינסופי”, כלומר סכום של אינסוף איברים. טענתו של זנון הייתה שמכיוון שבסכום הזה יש אינסוף איברים, הסכום הוא אינסופי, כלומר הזמן שיעבור עד לפגישה הבאה הוא אינסופי. אבל זוהי טעות. סכום של אינסוף מספרים יכול להיות סופי, בתנאי שהמספרים קטֵנים בקצב מספיק מהיר. זהו אכן מה שקורה כאן: כל מספר קטן מקודמו פי \({12}\). טור כזה נקרא כזכור “טור גיאומטרי, עם מנה \({\frac{1}{12}}\)” (פגשנו בו בפרק “פינג-פונג מתמטי”). וכל טור גיאומטרי עם מנה קטנה מ-\({1}\) מתכנס לסכום סופי. הדוגמה הקלאסית לכך היא הטור הגיאומטרי עם מנה \({\frac{1}{2}}\), כלומר טור שבו כל איבר קטן מקודמו פי \({2}\): \({1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+ \dots}\). סכום הטור הזה הוא \({2}\) (עובדה שגם עליה נרמז בפרק “פינג-פונג מתמטי”). כדי לראות זאת, שימו לב שמרחקו של \({1}\) מ-\({2}\) הוא \({1}\); מרחקו של\({1 +\frac{1}{2}}\)  מ-\({2}\) הוא \({\frac{1}{2}}\); מרחקו של \({1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}}\) מ-\({2}\) הוא \({\frac{1}{4}}\). הוספת כל איבר בטור מקטינה את המרחק מ-\({2}\) פי \({2}\). לכן הסכומים החלקיים של הטור שואפים ל-\({2}\). ה”סכומים החלקיים” הם סכומי האיברים הראשונים – במקרה זה הסכום החלקי הראשון הוא \({1}\), הסכום החלקי השני הוא \({1 + \frac{1}{2}}\), הסכום החלקי השלישי הוא \({1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}}\), וכו’.

ואכן, לא קשה להוכיח שאם \({q}\) הוא מספר חיובי קטן מ-\({1}\), הטור הגיאומטרי האינסופי \({1 + q + q^2 + q^3  + \dots}\) מתכנס למספר סופי. איזה מספר? זאת אפשר לחשב בדרך שננקטה בפרק “הספר בשמיים”. נסמן את הסכום \({1 + q + q^2 + q^3  + \dots}\) ב-\({S}\). נכפול כל איבר בסכום ב-\({q}\), ונקבל \({qS = q + q^2 + q^3 + q^4 +\dots}\). אבל הביטוי הזה דומה להפליא לטור המקורי, שסכומו  \({S}\)– ההבדל היחיד הוא היעדרו של המספר \({1}\) בהתחלה. כלומר, \({qS = S-1}\). בהעברת אגפים נקבל: \({S(1-q) = 1}\), ובהעברת אגפים נוספת נקבל: \({S = \frac{1}{1-q}}\). למשל, אם \({q = \frac{1}{2}}\), שעבורו הטור הוא \({1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} +\frac{1}{8}+ \dots}\), נקבל: \({S = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2}\), כפי שגילינו קודם. במקרה של מחוגי השעון, המחוגים ייפגשו אחרי \({1 + \frac{1}{12}+ \frac{1}{144}+ \frac{1}{1728}+ \dots}\) שעה, שעל פי הנוסחה (כאשר מציבים \({q = \frac{1}{12}}\)), שווה ל: \({ \frac{1}{1-\frac{1}{12}} = \frac{12}{11}}\), כפי שמצאנו קודם.

איברים ששואפים ל-0, וסכומם בכל זאת אינסופי

דוגמת הטור הגיאומטרי מעוררת את השאלה ההפוכה: האם תמיד כאשר איברי הטור שואפים ל-\({0}\) סכום הטור הוא סופי? התשובה היא לא, והדוגמה הפשוטה ביותר לכך היא זו: \({1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{4} + \dots}\) (עתה יבואו \({5}\) פעמים \({\frac{1}{5}}\)). האיברים שואפים ל-\({0}\), אבל שני חצאים הם \({1}\), ושלושה שלישים הם \({1}\), וארבעה רבעים הם \({1}\) – אנו מסכמים כאן אינסוף פעמים \({1}\), שפירושו שהסכומים החלקיים של הטור (“סכום חלקי” הוא הסכום המתקבל כשעוצרים בשלב סופי כלשהו) שואפים לאינסוף, כלומר סכום הטור הוא אינסופי.

הדוגמה הבאה מתוחכמת יותר, וגם חשובה יותר, משום שהיא מופיעה בהרבה הקשרים. זהו הטור \({1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \dots}\), שנקרא ה”טור ההרמוני”. איבריו שואפים ל-\({0}\), אבל סכומו אינסופי, שפירושו שהסכומים החלקיים שלו שואפים לאינסוף. כדי להראות זאת, נפריד את הסכום בצורה הבאה:

\({1 + \frac{1}{2}+ (\frac{1}{3}+ \frac{1}{4})+( \frac{1}{5}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{7}+ \frac{1}{8})+( \frac{1}{9}+ \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{16})+\dots}\)

בזוג הסוגריים הראשון יש \({2}\) מספרים שכל אחד מהם הוא לפחות \({\frac{1}{4}}\) ,לכן סכומם גדול מ-\({2}\) פעמים \({\frac{1}{4}}\), שהוא \({\frac{1}{2}}\); בזוג הסוגריים השני יש \({4}\) מספרים שכל אחד מהם הוא לפחות \({\frac{1}{8}}\), ולכן סכומם גדול מ-\({4}\) פעמים \({\frac{1}{8}}\), שהוא \({\frac{1}{2}}\); בזוג הסוגריים השלישי יש \({8}\) מספרים, שכל אחד מהם הוא לפחות \({\frac{1}{16}}\), ולכן סכומם גדול מ-\({8}\) פעמים \({\frac{1}{16}}\), שהוא \({\frac{1}{2}}\). בכל זוג סוגריים סכום האיברים גדול מ-\({\frac{1}{2}}\), ומכיוון שיש אינסוף זוגות סוגריים, סכום הטור הוא לפחות “אינסוף פעמים \({\frac{1}{2}}\)”, שהוא אינסופי. הפירוש המדויק הוא, כאמור, שהסכומים החלקיים הולכים ושואפים לאינסוף.

רעיון משום מקום

אחד המרצים שלי באוניברסיטה הסביר לנו פעם ש”מושג מתמטי הוא טוב אם קיים משפט שהמושג אינו מופיע לא בהנחה ולא במסקנה שלו, אבל הוא מופיע בהוכחה שלו”. במילים אחרות, מושג הוא טוב אם הוא מופיע “משום מקום”, כדי להאיר את הדברים באור חדש ולגלות בהם סדר לא צפוי. זהו גם אחד הקריטריונים המובהקים ליופי. בפתרון יפה יש תמיד רעיון שאינך מבין מהיכן הגיע; רעיון שלא היה כלול בעולם המושגים של הבעיה, ולא היה נחוץ לניסוחה, אבל הוא חושף בה סדר חדש.

בגיאומטריה יש סוג מיוחד של “רעיון משום מקום”: בניות עזר. קו או מעגל שלא הוזכרו בבעיה נוספים לציור, ומאותו רגע הדברים מתבהרים. כאילו ניסינו לטפס על חומה גבוהה, ומישהו בא והוסיף מדרגה, והטיפוס הופך לפתע קל. דוגמה ידועה היא ההוכחה שסכום הזוויות במשולש הוא \({180}\) מעלות. לשם כך מעבירים קו מקביל לאחת מצלעות המשולש, דרך הקדקוד הנגדי לה, הנה כך:

liza

ועתה – הזווית \({\alpha}\) שווה לזווית \({\delta}\) , ואילו הזווית \({\beta}\) שווה לזווית \({\varepsilon}\) . מכיוון ש-\({\delta}\),\({\varepsilon}\)  ו- \({\gamma}\) נמצאות על ישר אחד, סכומן \({180}\) מעלות, ועל כן גם סכומן של \({\alpha , \beta}\),  ו-\({\gamma}\) הוא \({180}\) מעלות.

הוכחה לקיומם של אינסוף מספרים ראשוניים

העובדה שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים מופיעה בספרו של אוקלידס יסודות, אף כי ייתכן שהייתה ידועה לפני כן. הוכחתו המקורית של אוקלידס יפה כשלעצמה, אבל לא אחזור עליה כאן (היא מופיעה, למשל, בספרי חשבון להורים). במקום זאת אביא הוכחה אחרת, של אוילר, יפה לא פחות.

נניח, לשם שלילה, שיש רק מספר סופי של מספרים ראשוניים, נאמר \({2,3,5,7,…,p}\). כלומר –\({p}\)  הוא המספר הראשוני הגדול ביותר. נתבונן במכפלה הבאה: \({\frac{2}{2-1}*\frac{3}{3-1}*\frac{5}{5-1}*\dots*\frac{p}{p-1}}\), שבה מופיעים במונים כל המספרים הראשוניים, ובמכנים המספרים הראשוניים, פחות \({1}\). מדוע להסתכל דווקא במכפלה הזאת? היופי הוא בכך שבינתיים אין זה ברור. זהו ה”רעיון משום מקום”, קפיצת המחשבה הלא צפויה. מכיוון שזוהי מכפלה של מספר סופי של מספרים, תוצאתה היא מספר סופי. אנו נקבל סתירה (סתירה שתראה שההנחה שיש רק מספר סופי של מספרים ראשוניים היא מוטעית) מכך שנראה שהמספר הזה שווה לסכום הטור ההרמוני, \({1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \dots}\), שהוא כזכור אינסופי.

ניזכר בנוסחה שלמדנו בפרק הקודם, לסכום של טור גיאומטרי אינסופי: למספר כלשהו \({q}\) הקטן בערכו המוחלט מ-\({1}\), מתקיים:\({1+q+q^2+q^3+\dots=\frac{1}{1-q}}\) . ניקח את האיבר הראשון במכפלה האמורה,\({\frac{2}{2-1}}\)  . כמובן, הוא שווה ל-\({2}\), אבל נתבונן בו מעט אחרת. נחלק מונה ומכנה ב-\({2}\), ונקבל שהביטוי שווה ל-\({\frac{1}{1-\frac{1}{2}}}\) . על פי הנוסחה לסכום הטור הגיאומטרי האינסופי, כאשר מציבים בו \({q=\frac{1}{2}}\) , מספר זה שווה ל: \({1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+\dots}\). בדומה, האיבר השני במכפלה, \({\frac{3}{3-1}}\), שווה ל: \({1+\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^3+\dots}\), והאיבר השלישי ל: \({1+\frac{1}{5}+(\frac{1}{5})^2+(\frac{1}{5})^3+\dots}\), וכו’.

המכפלה שווה אפוא למכפלת כל הביטויים האלו:

\({(1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+\dots)*(1+\frac{1}{3}+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^3+\dots)*\dots*(1+\frac{1}{p}+(\frac{1}{p})^2+(\frac{1}{p})^3+\dots)}\)

(כאשר \({p}\) הוא כאמור המספר שאנו מניחים שהוא הראשוני הגדול ביותר). כשנפתח את הסוגריים במכפלה הזאת נקבל סכום של מכפלות. מכפלה טיפוסית ביניהן תהיה, למשל: \({\frac{1}{2^3}*\frac{1}{3}*\frac{1}{7^4}}\). כלומר כל מכפלה היא שבר שבו יש \({1}\) במונה, ומכפלה של חזקות של מספרים ראשוניים במכנה. אבל כל מספר טבעי ניתן לביטוי כמכפלת חזקות של מספרים ראשוניים! למשל, \({600 = 2^3*3*5^2}\). משום כך לכל מספר \({n}\) יופיע השבר \({\frac{1}{n}}\) כאחד המחוברים בסכום. (למשל, \({\frac{1}{600}}\) יופיע כ: \({\frac{1}{2^3}*\frac{1}{3}*\frac{1}{5^2}}\)). יוצא שפתיחת הסוגריים של המכפלה נותנת את סכום כל המספרים מהצורה \({\frac{1}{n}}\), כלומר המכפלה שווה ל:\({1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \dots}\) . זהו סכום הטור ההרמוני, והוא כזכור אינסופי. כך הגענו לסתירה המובטחת – מכפלה סופית, השווה לסכום אינסופי.

אני מודה שזוהי הוכחה לא לגמרי פשוטה. אבל נראה לי שהרעיון הלא צפוי בה, של הסתכלות במכפלה, שווה בטירחה שבהבנתה.